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Equation du mouvement abscisse curviligne



  1. #1
    MyTampax

    Equation du mouvement abscisse curviligne


    ------

    Bonjour,

    J'ai un problème concernant l'obtention de l'équation de mouvement d'une boule.

    Ma boule est soumise à :
    - son poids
    - force de frottement

    Elle décrit un mouvement en forme d'arc de cercle. Elle a une vitesse suivant les axes x et y ( xyz base orthogonale directe, z étant la normale sortante au sol ) et a une rotation selon les 3 axes.
    Donc 5 inconnus
    Seulement la boule - dû à ses rotations - va décrire un arc de cercle. Ainsi le sens de la composante tangentielle du frottement varie à chaque instant.

    Je pensais donc résoudre mon problème en passant par l'abscisse curviligne, le repère de Fresnet.

    Mais la commencent mes ennuis :
    Ils me font donc des équations en plus pour résoudre mon système ( 2 selon moi ).
    Je voulais résoudre mon problème par les torseurs et l'application du PFD.

    - Je connais la matrice d'inertie de ma boule, son rayon, sa masse et son coefficient de frottement avec le sol ainsi que sa position à l'instant t=0.

    Mon but est d'obtenir finalement l'équation de mouvement de ma boule pour :
    - tracer la courbe représentant la trajectoire du centre d'inertie de ma boule ( dans le plan x0y donc )
    - avoir la position/vitesse de ma boule à un instant t.



    Sauriez-vous comment je dois procéder ? Ma méthode est-t-elle envisageable ( passage par l'abscisse curviligne ) ?
    Combien d'équations dois-je trouver pour pouvoir résoudre ( j'entrerai mes équations dans un logiciel de calcul pour la résolution finale )

    P.S : Je comptais utilisé les 5 équations utiles issues du PFD, celles de Coulomb en faisant l'hypothèse que l'on soit à la limite ( sur le cône de frottement )


    Merci d'avance, n'hésitez pas à poster toutes aides ou remarques

    -----

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  4. #2
    vaincent

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    Bonsoir,

    Es-tu certain que le mouvement est un arc de cercle ? Y-a-t-il plus d'infos dans l'énoncé ? Le contexte du problème est assez flou. Est-ce-que tu pourrais préciser ? Si le mouvement est vraiment circulaire, la solution du problème est relativement simple.

  5. #3
    MyTampax

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    Hélas non la trajectoire ne décrit pas un cercle.

    Il ne s'agit pas d'un exercice ( donc pas d'énoncé ^^ ).
    J'essaye de modéliser la trajectoire d'une boule de bowling sur une piste.

    Une partie huilée : glissement pur - la boule va simplement en ligne droite avec des rotations selon tous les axes.
    Une partie dégraissée : roulement sans glissement. Toutes les rotations imprimées jusqu'à alors entrent donc "en jeu". Donc la boule va décrire une sorte d'arc de cercle, mais qui n'en est bien sur pas un.



    Je décompose mon étude en 2 parties :
    - Partie 1 huilée ligne droite toute bête. Je trace ma courbe correspondante jusqu'à la fin de cette zone.
    - Partie 2 : l'arrondie.

    Les forces : poids ( je connais la masse ) et les frottements ( je connais le coefficient de frottement et je comptais utiliser les lois de Coulomb à la limite du cône de frottement ).

    Mais le soucis la direction des frottements change à chaque instant avec la direction de la boule. Donc je voulais utiliser l'abscisse curviligne et le repère de Frénet. Mais bon je m'embrouille dans les calculs pour l'instant.

    Pensez-vous que cette méthode puisse quand même aboutir ? Avez-vous d'autres idées ?

    Merci d'avance

  6. #4
    MyTampax

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    Rectification.

    L'abscisse curviligne n'est en effet pas indispensable.

    Résolution via les torseurs.
    Torseur cinématique quasi plein sauf la composante de la vitesse selon z qui est nulle.
    Et après s'applique le poids et le frottement.
    Le frottement : T=Tx + Ty + Tz ( une composante dans les 3 directions )

    J'ai donc 8 inconnus.

    Le PFD m'en donne 5. Il m'en manque 3... On m'a conseillé d'utiliser les 2 équations de Coulomb et de considérer qu'il y a roulement sans glissement ( vitesse du point de contact roue/sol nulle donc ).
    Par contre... quels sont ces 2 fameuses équations de Coulomb ?
    - L'effort tangentielle = f * Effort normal ok
    - L'autre ? heu ... pouvez-vous m'éclairez ?

    N.B : je veux simplement obtenir les équations. Je compte réaliser la résolution via un logiciel de calcul formel ( type Mapple a priori ). A ce titre d'ailleurs je suis également preneur de toute aide pour cette partie bien que j'ai déjà quelques pistes je pense...

    Encore une fois, merci d'avance !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    verdifre

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    Bonjour,
    tu ne peut poser le roulement sans glissement, cela suposerai des accelerations infinies lors du passage de la zone huilée au passage à la zone "seche".
    Les equations qui te manquent sont surement celles traitant de l'energie du système
    Il va donc te falloir modeliser la conservation de l'energie dont une partie en chaleur
    tu vas surement devoir travailler avec le moment cinetique et sa dérivée
    la dérivée du moment cinetique sera egale au moment des forces de frottement
    donc equations de conservation de l'energie totale et dérivée du moment cinetique sont surement les deux equations manquantes
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  9. #6
    MyTampax

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    En fait je comptais scinder mon étude :
    - une partie huile glissement sans roulement simpliste
    - une partie sèche roulement sans glissement

    De toute façon je fais de nombreuses hypothèses ( coefficient de frottement uniforme, cône de frottement etc... ). Je comptais donc faire une étude "à part" pour la zone huilée en prenant simplement pour conditions initiales celles finales de ma première étude.

    Après je "recolle" les 2 graphiquement.
    ( Mon but est de tracer la trajectoire de la boule dans le plan x0y ).

    Est-ce trop simpliste ? ( en séparant entièrement les 2 études j'esquive cette accélération qui serait infinie selon mes hypothèses ) La continuité entre mes 2 partes via les conditions initiales.

    Cela peut-il engendrer des résultats plausibles ( et surtout pourrais-je trouver assez d'équations pour résoudre ^^ ) ? Ou est-ce que je dois vraiment en passer par là ?
    ( Dans ce cas alors une seule étude sur toute la longueur ou de nouveau en séparant en deux et en rajoutant l'équation de la conservation de l'énergie dans chacune des parties ? )

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  11. #7
    verdifre

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    bonjour,
    j'ai pas fait le calcul, mais si tu negliges le glissement je pense que tu risques de te retrouver avec une trajectoire circulaire
    la boule qui tourne en rond devant les quilles , cela fait pas serieux
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  12. #8
    MyTampax

    Re : Equation du mouvement abscisse curviligne

    Ok merci pour tes conseils !

    J'ai "bidouillé" un peu tout ça, rajouter des équations etc... J'ai donc plusieurs systèmes d'équations plausibles.

    J'aimerais à présent les résoudre. Bien sur à la main c'est impossible et donc je voulais passer par un logiciel de calcul pour la résolution effective.
    Celui que je connais le mieux est Mapple. Est-ce possible via ce log ?

    Mon système comporte essentiellement des équations différentielles liant x(t), v(t), a(t), w(t), F(t) : F étant les force de frottement, w(t) le taux de rotation.
    Pour le résoudre je pensais simplement "recopier" mon système de 8 équations et rajouter à cela que a(t) est la dérivée de v(t), elle même de x(t), et de même pour w(t), w'(t).

    Donc à ceux qui connaissent un peu Mapple : est-ce la bonne méthode ( je test cette méthode sans y parvenir pour l'instant...)
    Ou connaissez-vous un autre logiciel qui serait capable de m'aidait ? ( et dans ce cas par hasard sauriez-vous la démarche à appliquée ? )

    Merci d'avance !

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