Mécanique symplectique

[mtheory]

Je sais qu'ils y en a qui s'intérrogent sur ce qu'est le formalisme symplectique et son utilisation.
Je propose d'en discuter ici.
Une bonne référence compréhensible me semble être l'ouvrage de Vladimir Arnold:

V. Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique

Je rappelle que ce formalisme intervient dans la théorie des systèmes dynamiques et dans la théorie du chaos (mécanique céleste,hydrodynamique,MHD etc...) ainsi que dans les processus de quantification des systèmes dynamiques.


ps:ixi ta boite MP déborde
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[merou]

Bonjour,

c'est la mécanique formulée en utilisant l'hamiltonien et les équations canoniques qui y sont associées lesquelles présentent une dualité caractéristique du symplectisme

[mtheory]

Sur les origines historiques de la mécanique symplectique:

http://www.umpa.ens-lyon.fr/~iglesia...nge/HGSMSH.pdf

Où l'on retrouve Lagrange.

[chaverondier]

Bonjour, c'est la mécanique formulée en utilisant l'hamiltonien et les équations canoniques qui y sont associées lesquelles présentent une dualité caractéristique du symplectisme

Elle présente au départ un caractère assez inhabituel. Un système dynamique est modélisé par une variété symplectique (une variété munie d'une 2-forme non dégénérée dite 2-forme symplectique étroitement reliée au Lagrangien du système quand il existe) et les mouvements du système y sont représentés par des points de cette variété (c'est l'espace des mouvements du système).

Une notion importante est celle de groupe dynamique. Il s'agit des groupes agissant sur l'espace des mouvements du système qui laissent invariante sa 2-forme symplectique. Par exemple, pour un système respectant l'invariance relativiste, le groupe de Poincaré est un groupe dynamique du système.

Les constantes du mouvement vivent dans le dual de l'algèbre de Lie du groupe dynamique et l'application qui à chaque mouvement du système associe les constantes du mouvement est appelée application moment. Pour une particule libre, ces constantes sont rassemblées dans le quadrivecteur énergie-l'impulsion et la 2-forme moment de Lorentz. L'espace où vivent ces constantes, le dual de l'algèbre de Lie du groupe, est appelé espace des torseurs du groupe ou encore espace de moments du groupe (les torseurs de la mécanique classique sont d'ailleurs précisément ceux du groupe d'Euclide SE(3), le groupe des isométries de l'espace Euclidien 3D).

Un aspect très important de la gométrie symplectique il me semble, c'est le fait que la transformation des constantes du mouvement du système sous l'action d'un groupe dynamique (un changement de référentiel Galiléen quand le groupe dynamique est le groupe de Galilée ou encore le groupe de Poincaré) est réalisée par l'action dite coadjointe du groupe dynamique sur son espace de moments (cette action est la représentation canonique du groupe dynamique dans le dual de son algèbre de Lie, cad son espace de torseurs).

Bernard Chaverondier

[A voir en vidéo sur Futura]

[merou]

.Un aspect très important de la gométrie symplectique il me semble, c'est le fait que la transformation des constantes du mouvement du système sous l'action d'un groupe dynamique (un changement de référentiel Galiléen quand le groupe dynamique est le groupe de Galilée ou encore le groupe de Poincaré) est réalisée par l'action dite coadjointe du groupe dynamique sur son espace de moments (cette action est la représentation canonique du groupe dynamique dans le dual de son algèbre de Lie, cad son espace de torseurs).

Bernard Chaverondier

transformation des CONSTANTES..! voulez vous m'expliquer comment des constantes qui sont normalement invariantes par les groupes de transformations se trouvent elles memes transformées !

[mtheory]

transformation des CONSTANTES..! voulez vous m'expliquer comment des constantes qui sont normalement invariantes par les groupes de transformations se trouvent elles memes transformées !

C'est pourtant simple, l'énergie et la quantité de mouvement se conservent certes mais penses à ce qui se passe avec des collisions de particules en relativité par ex

[merou]

mais les collisions et autres actions en cours de route font changer complètement le sens de l'action des groupes de transformations car ceux-ci n'ont de sens que si le système est fermé et évolue de lui meme sans actions extérieures en cours de route d'ou le sens de constantes en cours d'évolution sinon on pourrait tout changer par actions extérieures et rien ne resterait constant !

[chaverondier]

Transformation des CONSTANTES..! Voulez vous m'expliquer comment des constantes qui sont normalement invariantes par les groupes de transformations se trouvent elles mêmes transformées !

OUI. Les constantes d'un mouvement (sauf précision complémentaire les qualifiant) ne sont pas invariantes par les groupes de transformations. Elles sont constantes au cours du temps (c'est à dire invariantes sous l'action de la seule translation temporelle).

Exemple : l'impulsion d'une particule libre se conserve au fil du temps, mais elle change de direction lors d'une rotation. Elle change d'ailleurs lors de tout changement de référentiel inertiel (autre qu'une translation spatio-temporelle). Seuls les Casimirs du groupe dynamique (norme du quadrivecteur énergie impulsion et norme du quadrivecteur polarisation [1] pour le groupe de Poincaré) restent invariants sous l'action de toutes les actions du groupe dynamique

Bernard Chaverondier
[1] Structure of dynamical systems, a Symplectic View of Physics, Jean Marie Souriau, Editions Birkhäuser (ouvrage accessible par amazon.com mais très couteux. Parfois disponible en BU) §13 The principles of symplectic mechanics, sous paragraphe Relativistic mechanics, formules 13.104, 13.110 et 13.111 pages 172 et 173

[merou]

il fallait s'entendre sur la signification d'une constante..maintenant je suis d'accord avec vous Bernard. Merci

[Heimdall]

salut,


je me permet de reprendre un peu ce vieux topic car je suis à la recherche d'informations concernant ce fameux formalisme symplectique.

En fait j'étudie un système hamiltonien conservatif et j'aimerai le résoudre par un algorithme umérique symplectique, mais je ne parviens à trouver aucun site donnant un algorithme concret et compréhensible.

De plus j'ai la malchance d'avoir un hamiltonien qui n'est pas à variables séparables :



Je ne sais pas vraiment si mon post convient bien à l'esprit du forum physique, (le problème correspondant à cet hamiltonien est le problème à trois corps gravitationnel), où s'il aurait plutot sa lpace dans la partie mathématique...

anyway, merci si vous avez des pistes voir même connaissance d'un algo :-s

[invite7ce6aa19]

Je serais intéressé de discuter de géométrie symplectique et son application à la mécanique.
.
Personnellement je ne suis pas un spécialiste de la question. J'aimerais que quelqu'un d'entre nous joue l'animateur afin que l'on puisse progresser ensemble.
.
Mariposa

[livre]

Bonjour,

Personnellement je ne suis pas un spécialiste de la question.

Moi non plus, mais voici quelques textes introductifs :

Janvier 1990 : Formes et mécanique : la topologie symplectique, Hervé This in Pour la Science, n°147, p. 17
M.Audin et P. Iglésias , La géométrie symplectique, la Recherche 271, 1994, pages 1246-1252
Les caprices du satellite, Michèle Audin, Pour La Science N° 317 - mars 2004

www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/0401prlascience.pdf (lire)
www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/aimagesmath.pdf (lire)
vvv.umpa.ens-lyon.fr/~iglesias/articles/GS%20avec%20Michele/GSMAPI.pdf (lire)


J'aurais en plus une question : ni dans "Vladimir Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique" ni dans" Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien - Claude Gignoux - Bernard Silvestre-Brac" je n'ai trouve qu'est-ce que c'est au juste une "2-forme". Si j'ai compris, c'est une variete; et ... ?

[livre]

Bonjour,

Personnellement je ne suis pas un spécialiste de la question.

Moi non plus, mais voici quelques textes introductifs :

Janvier 1990 : Formes et mécanique : la topologie symplectique, hervé This in Pour la Science, n°147, p. 17
M.Audin et P. Iglésias , La géométrie symplectique, la Recherche 271, 1994, pages 1246-1252
Les caprices du satellite, Michèle Audin, Pour La Science N° 317 - mars 2004

www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/0401prlascience.pdf (lire)
www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/aimagesmath.pdf (lire)
vvv.umpa.ens-lyon.fr/~iglesias/articles/GS%20avec%20Michele/GSMAPI.pdf (lire)


J'aurais en plus une question : ni dans "Vladimir Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique" ni dans" Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien - Claude Gignoux - Bernard Silvestre-Brac" je n'ai trouve qu'est-ce que c'est au juste une "2-forme". Si j'ai compris, c'est une variete; et ... ?

[mtheory]

Le Arnold est pourtant un des meilleurs bouquins sur la mécanique analytique et sa structure symplectique.

Tout repose sur la théorie des invariants et les groupes de Lie dans la formulation qu'en a donnée cartan.

Au 19 ième siècle la géométrie algébrique était déjà caractérisée par l'étude des ensembles de droites,courbes et de surfaces définies par des systèmes polynomes en x,y,z de degré n

aⁱxⁱ=d
a_ijxⁱx^j=d
a_ijkxⁱx^jx^k=d

etc... ou les indices en bas et en haut indiquent une somme sur les valeurs 1,2,3.

Donc tu pars d'un vecteur en (x,y,z) et tu obtiens un scalaire d.
Les formes c'est seulement ces ensembles de a_ij... qui avec des vecteurs donnent un scalaire.

ex équation de droite :
a₁x+a₂y+a₃z = d

équations de coniques ou de surfaces quadriques comme un ellipsoide.

Maintenant tu peux considérer les différentielles totales premières,secondes etc... de ces polynomes/formes et tu vas obtenir des équations différentielles avec des variables en dx,dy,dz.
Si tu considère une surface avec un vecteur tangent alors ces dernières équations sont un peu des polynomes du genre précédent mais avec les vecteurs dérivées.

Donc oui une 1 formes différentielle est l'équation différentielle d'une série de courbes,une 2 formes différentielle est l'équation d'une surface etc...

Bon,j'ai simplifié et c'est pas rigoureux mais les concepts sont là je crois.

Maintenant si tu écris une équation différentielle sous la forme implicite f(x,y,y') et que tu différencies tu vas tomber sur une forme différentielle du style précédent.
pose x=x1,y=x2,z=y' et tu pourra exprimer une équation différentielle comme une équation de surface dans ce qu'on appelle l'espace de phase.
Toute une théorie sur l'intégration des équations différentielles se trouve alors traduite en terme de géométrie et de lois de transformations des équations,donc avec la théorie des groupes.
La géométrie symplectique traite de ça.
C'est ce que je crois avoir compris en tout cas.

[inviteca4b3353]

qu'est-ce que c'est au juste une "2-forme". Si j'ai compris, c'est une variete; et ... ?

Pas vraiment. Une p-forme (p=0,1,2...) est une sorte de "champ" défini sur la variété à p indices complètement anti-symétrique.

Plus exactement,

On se donne une variété M différentiable. En chaque point de M, on définit un espace vectoriel tangent de dimension n. Associé à cet espace tangent on peut construire un espace dual appelé espace cotangent dont les éléments sont appelés des formes linéaires (je ne sais pas si tu es familier avec l'algèbre linéaire mais c'est assez connu en principe). Par définition une forme linéaire est une 1-forme. Après on peut construire (toujours localement ! en chaque point de M) à partir du produit tensoriel de plusieurs copies de l'espace cotangent (mettons p) des formes multilinéaires à p indices. En imposant en plus que ces objets soient completement anti-symétriques, on obtient une p-forme.

Comme cette construction est faite en chaque point de la variété M, on obtient un champ de p-forme prenant des valeurs différentes en chaque point.

KB

[invite7ce6aa19]

Toute une théorie sur l'intégration des équations différentielles se trouve alors traduite en terme de géométrie et de lois de transformations des équations,donc avec la théorie des groupes.
La géométrie symplectique traite de ça.
C'est ce que je crois avoir compris en tout cas.

;
Ton exposé est sympa. mais;

1-A quel moment parle-t-on de géométrie symplectique.
.
Selon la géométrie du programme d'Erlangen une géométrie est définie par un invariant. un exemple bien conu de géométrie originale est la géométrie de Minskowski qui laisse invariant ds2= dt2-dx2.
.
Quel est l'invariant qui définit la géométrie symplectique.
.

2- En physique ou trouve-t-on la nécessité de faire appelle à la géométrie symplectique?

[inviteca4b3353]

En physique ou trouve-t-on la nécessité de faire appelle à la géométrie symplectique?

En mécanique analytique.
Le crochet de Poisson est une transformation symplectique.

[invite7ce6aa19]

En mécanique analytique.
Le crochet de Poisson est une transformation symplectique.

.
Si le crochet de poisson est une transformation, il faut préciser ce qui reste invariant sous cette transformation.
.
En attente d'une réponse.

[inviteca4b3353]

Oups pardon,

les transformations canoniques sont des éléments du groupe symplectique.
Et l'invariant associé à ce groupe est le crochet de Poisson.
Mea culpa pour cette confusion.

KB

[mtheory]

;
Ton exposé est sympa. mais;

1-A quel moment parle-t-on de géométrie symplectique.
.
Selon la géométrie du programme d'Erlangen une géométrie est définie par un invariant. un exemple bien conu de géométrie originale est la géométrie de Minskowski qui laisse invariant ds2= dt2-dx2.
.
Quel est l'invariant qui définit la géométrie symplectique.
.

2- En physique ou trouve-t-on la nécessité de faire appelle à la géométrie symplectique?

Alors pour 1 c'est une 2 forme différentielle en dqⁱdp^j si ma mémoire est bonne.
Cela définie des éléments de surface qui sont des invariants canoniques dans l'espace de phase.
On peut donc reformuler la théorie des transformations canoniques de la mécanique analytique ,et cette mécanique elle même, comme une géométrie particulière.
Pour 2
Il y a des théorèmes sur les systèmes dynamiques ,en mécanique céleste notamment,qui sont alors traduits en des propriétés de géométrie de l'espace de phase du système considéré.
Cela a donc des applications aussi bien en physique classique qu'en MQ car c'est à la source de ce qu'on appelle la quantification géométrique.
Après tout, dans la MQ selon Bohr et Sommerfeld, les conditions quantiques sont liées à des invariants adiabatiques en liasons avec une intégrale curviligne dans l'espace des phases.
Là encore c'est ce que je crois avoir compris.

[invite0b16296d]

Bonjour,

Je crois que ce fil est un peu ancien, mais peut-être c'est mieux que d'en créer un nouveau...

Voilà, je me demande s'il existe des exercices corrigés de mécanique symplectique?
Est-il possible d'appliquer la mécanique symplectique à la résolution du pendule simple ou de la toupie?

Je parle d'exercices exposant et expliquant bien les concepts symplectiques, pas simplement une résolution avec les équations de Hamilton.

Merci

[invite0b16296d]

Dans quel domaine la mécanique symplectique est-elle le plus utilisée ?

[invitec998f71d]

Je suppose que depuis le temps Mtheory a fait le tour des mysteres de la mecanique symplectique. Ce n'est pas mon cas.
Dans un article, je lis page 20
que Lagrange part d'un "Lagrangien" avec des T et V (energie cinetique et potentielle) pour l'étude simplifiée des planetes du systeme solaire.
le systeme est integrable cad que chaque planete possede 6 constantes dans leur mvt soit la dimension de l'espace des phases.
Pour rendre compte de l'interation entre les planetes, Lagrange introduit en plus de l'energie potentielle un terme perturbatif . C'est ainsi que le coté symplectique apparait. Les constantes vont se mettre a evoluer dans le temps grace a cet Omega. Par la suite les maths aidant ca deviendra une forme bilineaire antisymetrique sur un fibré cotangent.
J'en viens à ma question. On etait parti d'un cas tres particulier sans terme antisymetrique. Dans le cas général Y a t il quelque chose qui se décompose en une partie antisymétrique (cet Omega) plus une partie symetrique (laquelle?).