Problème flèche de poutre béton armé

[invited1b2fed6]

J'ai des valeurs tirées d'un livre mais dont leurs 4 méthodes passent par le multiples abaques.
-Poutre 0,30 x0,50 de haut sur 2 appuis, potée 6,00 m
- charge répartie 8,45 KN/m compris Poid de poutre soit Moment=3802 DaN.m
-axe des armatures comprimées et tendues à 0,05 m du béton brute
-E béton 30500 Mpa correspondant à un fc28 de 34 Mpa
-E acier 210000 MPa
Dans cette exemple il se propose d'étudier 5 cas de ferraillages.
Je me suis arrêté au premier:
*pas d'armature comprimé
*0,3% d'armature tendues soit 4,5cm2, j'ai retenu 3HA14=4,62cm2
Leur 4 méthodes sont:
a*MAPSDIFF qu'il définisse comme "exact"
b*Méthode trilinéaire
c*Méthode des coefficients globaux
d*Méthode SIA162/CM CEB-FIP 1990
Avec des résultats de flèches:
a=8,8 mm ; b=10,8 mm ; c=12,4 mm ; d=12,3 mm.
"source:Vol 8, Dimensionnement des structures en béton,
presse polytechniques et universitaires romandes"

Comme c'est une poutre béton+acier, la formule de la flèche de base f=(5*ql^4/384EI)~1,5mm le suffit pas car E et I pour béton seul.

Les méthodes exposées ne permettant pas d'obtenir un résultat rapide lorsqu'une donnée change,
je suis partis du principe que :

l'allongement des armatures tendue "-" raccourci des armatures comprimées=allongement provoquant la flèche[/I][/I].

**Donc je fait mon tableur et j'arrive à une flèche de plus de 91 mm contre 11mm moyen pour les méthodes a à d.
J'ai vérifié 3 fois mes unitées, calculs, tout semble correct.

Ci-après la synthèse des valeurs et leurs unitées.
Où se trouve s'te p..... d'erreur ?.
Je pense que le problème ne vient pas du programme en lui même mais plutot des unitées.

P= portée (m)
G=moment optimum (daN.m)
F=charge au mètre linéaire de poutre (daN/m) (non compris poid de poutre)
V=poid au ml de poutre (daN/m)
x=hauteur de poutre (m)
y=largeur de poutre (m)
L=longueur de poutre (m)
S=section d'armature reélle tendue (cm2)
SS=section d'armature reélle comprimée (cm2)
Ea=mod d'elasticité aciers (Mpa) valeur fixe 210000Mpa
U= mod d'elasticité béton (Mpa) valeur fixe 30500Mpa
K=coefficient position de l'axe neutre (poutre rectangle : 1/2)
I=module de flexion (m4) valeur fixe 0,003125m4
d=longeur des tronçons (m) valeur pour l'exemple 0,10 (d ne fait pas varier beaucoup la flèche à ce stade)
T=0,6 (le 0,6 de 0,6*fc28)
W=fc28 Mpa
LimallA=limite d'allongement unitaire aciers valeur fixe 10 pour mille
Limracbf=limite raccouci unitaire béton valeur fixe 3,5 pour mille
dj=distance entre dessus de poutre et CDG du triangle de traction m
dx=distance entre dessus de poutre et axe armatures tendues m
enr=enrobage béton (m) valeur pour l'exemple 0,036
dc=diamatre cadre (mm)valeur pour l'exemple 8
datx=diametre armatures tendues(mm)valeur pour l'exemple 14

Déclaration :
TENDUE
Mt = moment
Rbt= contrainte dans béton tendu
Nt = force correspondante au triangle de contrainte appliquée au centre de gravité du triangle
Nta= force ajustée à l'axe de armature (et plus au cdg)
Jat= contrainte dans armatures tendues
Aat= allongement des armatures tendues
COMPRIMEE
Mc = moment
Rbc= contrainte dans béton comprimé
Bbc= raccourci béton comprimé
Aac= allongement des armatures comprimées
----------------------------------------------
c=0 valeur départ 'puis c=c+d

****************début boucle*************
Zone tendue:
Mt=((F+V)*c/2)*((1-(c/L))*L) unité:daN.m
Rbt=Mt*(x/2)/I/100000 unité:Mpa
Nt=((Rbt*(x/2)*y)/2)*1000*1000 unité:Newton
dj=(x-(1-K*(x/3))) unité:m
dx=x-enr-(dc*0,001)-(datx*0,001/2) unité:m
Nta=Nt*dj/dx unité:Newton
Jat=Nta/(S*100) unité:Mpa
Aat=Jat*d/Ea unité:m
si Aat>(d*limallA/1000)
then "erreur allongement armatures tendues supp à 10 pour mille"
goto fin
else
end if
**************
Zone comprimée:
Mc=Mt unité:daN.m
Rbc=Mt*(x/2)/I/100000 unité:Mpa
Bbc=Rbc*d/U unité:m
si Bbc>(d*limracbf/1000)
then "erreur raccourci béton comprimé supp à 3,5 pour mille"
goto fin
else
end if
***************
Allongement:
Al=(Aat-Bbc)
c=c+d
While c<L
goto Zone tendue
fin

****************fin boucle*************
-----------------------------------------------
Calcul de flèche:
C=longueur de corde = L (m)
A=longueur de l'arc = C+somme(Al) (m)
(C/A)=(sin(a/2))/(a/2) a:angle (radian)
le solveur entre C/A et (sin(a/2))/(a/2)
donne a donc
R=A/a (m)
et la flèche F=R*(1-(racine(1-((C^2)/(4*R^2)))))
-----------------------------------------------
Même en fixant une valeur limite de l'axe neutre à 2*0,05m la flèche reste de 0,0504m soit 50mm
Donc d'où vient l'erreur ou pourquoi cette démarche serait fausse.

Merci pour toutes sujestions
-----

[Titiou64]

salut,

K=coefficient position de l'axe neutre (poutre rectangle : 1/2)
I=module de flexion (m4) valeur fixe 0,003125m4

C'est faux. En effet, tu ne peux pas dire que l'axe neutre est au milieu de la poutre. Si tu fais cela, tu négliges les aciers. De même pour l'inertie.
En fait, sur ta section droite, il faut que tu cherches l'axe neutre avec le moment statique=0 (Moment statique= Aire*distance par rapport a l'axe neutre) en faisant attention au signe. tout ce qui est au dessus de l'AN est positif. De plus, il faut multpilier la section d'acier par 15. (coefficient d'homogénéité)
Ensuite tu calcules ton inertie par rapport a ton axe neutre avec le théorème de Huygens (I'=I+A*d²).
Ensuite tu as le droit d'utiliser la formule 5ql^4/384EI avec I la valeur que tu viens de trouver et E=30500MPa.
Avec cette méthode, je trouve f=5mm.

[invited1b2fed6]

soit (SS*dx*15)+(x*y*(x/2))/((SS*15)+(x*y))=0,0504m (qui me semble être centre de gravité ?)
I armat tendue=0,0000737m4 (soit 3 fois rien, mais section d'armat faible)
I béton = 0,003125
soit 0,003199m4
donc la flèche serait
5*845*6^4*10*0,000001/(384*30541*0,003199)=1,5mm et pas 5mm
et un E béton * I béton +acier se n'est pas multiplier des chouxnavets à des choux?

Quel axe neutre trouves-tu? avec quelle chiffre?


Merci pour ta première réponse.

[Titiou64]

salut,

pour les calculs suivants, tu te places dans la section de béton 0.2*0.5.

Soit yser la hauteur de béton comprimé. Le béton tendu est négligé. Tu as :
b*yser*(yser/2)-15*Ast*(0.45-yser)=0. 15 est le coefficient d'homogénéité (on remplace la section d'acier par 15 fois la section en béton)
On a yser²*(b/2)+15*Ast*yser-15*Ast*0.45=0. Tu trouves, avec b=0.3m et Ast=4.62 cm², yser=0.123m en partant du haut.
Donc ton axe neutre est situé à 0.123 m en partant du haut (ou 0.377m en partant du bas)

Puis tu calcules l'inertie de ta section par rapport à l'axe neutre.
avec yser=0.123m, tu as I=9.271*10^-4 m^4

Après, comme tu as une section homogénéisée, tu peux utiliser E=30500MPa (car I correspond à une section de béton homogène=sans aciers) et la formule 5qL^4/384EI

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1b2fed6]

**Pour ton calcul de I,
avec b*yser3/12+b*yser*(yser/2)2
*Ne calcules tu pas l'inercie de partie comprimée seule? Est tu sûr du 1er therme? de plus l'I par rapport à la base serait bh3/3?
*Et ne faut-il pas ajouter l'I de la partie tendue en plus du 2ème therme?
*Le 3ème therme (15*Ast*(d-yser)2), ne ressemble en rien à l'I d'une barre (PI*d4/64)? auquel il faudrait ajouter huygens?

T'enerve pas, j'essai de comprendre.

[Titiou64]

rassure toi je ne suis pas énervé. c'est bien de vouloir comprendre.
Dans le calcul d'inertie totale, tu as deux termes. Le premier est le béton comprimé de section b* yser. Le second est les aciers tendus de section 4.62cm². Le béton tendu est négligé=>on ne le prend pas en compte dans les calculs.

Calcul du I du béton comprimé : inertie d'un rectangle (b*yser^3/12) + théorème de huygens [b*yser*(yser/2)²](A*d²)

Calcul du I des aciers tendus : on néglige l'inertie propre des barres d'aciers (PI*d^4/64) car elle est négligeable. ensuite, on applique huygens n*Ast*(d-yser)².

Désolé si je ne suis pas assez clair. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à me les poser ...

[invited1b2fed6]

Hhhhhhhhhhhhhhey bien oui, maintenant que tu le dit. merci

Mais j'ai refait le calcul de l'axe neutre, et je trouve:
a=0,15
b=69,272
c=-31,17
DD=4817,33 donc
yser2=-462
yser1=0,449 par rapport au dessous je suppose soit 0,0504/dessus
Et 0,0504 qui semble être la réponse de mon 3ème message, est-ce le juste hasard?

A L'ELS, ne peut-on pas choisir la position de l'axe neutre afin de minimiser la section d'acier? Et de la vérifier bien sur à l'ELU.

[Titiou64]

salut,
dans ton b et ton c, où sont passées les puissances de 10? il faut tout mettre da

[Titiou64]

salut,
dans ton b et ton c, où sont passées les puissances de 10? il faut tout mettre en mètre et mètre carré. Donc b=69.272*10^-4 et c=-31.17*10^-4.

Pour répondre à ta question sur la minimisation de la section d'acier, on ne peut pas. En effet, pour optimiser la section, il faudrait descendre l'axe neutre (plus grande section de béton comprimé utilisé). Pour cela, il faut réduire ta section d'acier. Or quand tu fais ton calcul à l'ELU, tu as déjà choisi ta section qui correspond le mieux à ton moment. Tu ne peux donc pas la réduire car c'est sur qu'elle ne passerait pas à l'ELU.
Et même si on va au bout de ton raisonnement, il ne faudrait pas d'acier du tout car le béton serait entièrement comprimé (axe neutre sur face inférieure). Tu te rend bien compte que ce n'est pas possible physiquement...
Mais je n'avais jamais vu les choses sous cet angle
Je vais essayer d'envoyer une pièce jointe polur être sur que l'on a le même schéma en tête.
Bonne journée

[Titiou64]

voila le schéma de notre poutre

[invited1b2fed6]

J'ai 2-3 truc à faire puis je m'y remet.

Ouille, les 10^-4.

Mais,"tu as déjà choisi ta section qui correspond le mieux à ton moment.",oui,
mais le section est enorme, pour une poutre enorme et un moment ridicule.

Il me faut donc :
*soit finir mon prog afin de trouver la flèche quelque soit la position de l'AN tant que les contraintes béton et acier ne sont pas dépassés.
*et /ou finir de vérifier ta formule de flèche, pour arriver à mes valeurs de references, en y ajoutant peut être fr=Mmax/(G*S') pour lequel il me reste à définir ce qu'est (G*S'). La page web explicant fr et ces unitées c'est volatilisée.

le mieux est l'ennemi du bien.

[Titiou64]

Mais,"tu as déjà choisi ta section qui correspond le mieux à ton moment.",oui,
mais le section est enorme, pour une poutre enorme et un moment ridicule.

Dans ma phrase, je te parle de ta section d'acier (qui elle n'est pas importante). Par contre, tu peux diminuer (si possible) ta section de béton. Dans ce cas tu trouveras une section d'acier plus importante (à l'ELU).

[invited1b2fed6]

En effet je peux optimiser la section de mieux en mieux avec ce calcul d'axe neutre(mais ce n'est pas mon objectif premier), et vais donc modifier le programme.
Mon objetcif est flèche, je pense flèche, je mange flèche, je suis flèche.

J'ai refait les calculs de I, et trouve 9,268.10^-4
et flèche: 5,04mm
Je suppose que l'écart est dù aux décimales.

Comment expliquer la différence :
*~5mm avec la méthode 5ql^4/384EI
*et 9 à 12 mm des 4 méthodes du livre"source".

[Titiou64]

Comment expliquer la différence :
*~5mm avec la méthode 5ql^4/384EI
*et 9 à 12 mm des 4 méthodes du livre"source".

Je ne peux pas te dire. je ne connais pas ces méthodes. Si tu peux essayer de les mettre ou de me les envoyer par MP je pourrais essayer d'y jeter un oeil si j'ai le temps.

[invited1b2fed6]

Cet ouvrage est consultable via : google book
exemple p159
les méthodes p132

J'ai vérifié la formule d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre et j'insiste, le premier therme est bh^3/3
donc I=1,066*10-4 et flèche 4,4mm

A l'ELS, quelles valeurs de contraintes trouves-tu à L/2;
*pour la fibre de béton la plus comprimée?
*pour la fibre de béton la plus tendue (ou à défaut la contrainte des armatures)?
Oui, normalement c'est à l'elu mais c'est pour vérifier un truc.

Si tu parviends à définir de quelle flèche il s'agit / aux méthodes exposées j'espére éviter une finalitée représentée p127.
En résumé est-ce la flèche maximale à long therme?.Ce qui m'étonnerait comparé aux résultats, et donc comment relativiser le résultat obtenu.
A titre indicatif, leur calcul de flèche de base p160.
Certaisn de leurs thermes me sont encores obscures, comme rotation imposée,...

[Titiou64]

salut,

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt mais en ce moment j'étais surchargé de boulot.
J'ai regardé le livre sur google book et je t'avoue que je n'ai pas tout compris. A priori la méthode que je t'ai donné est comparable à celle avec le béton fissuré entièrement.
En l'absence d'info plus précises, je te conseille de prendre la flèche de 11mm même si je ne sais pas comment tu l'as trouvée.

J'ai vérifié la formule d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre et j'insiste, le premier therme est bh^3/3
donc I=1,066*10-4 et flèche 4,4mm

A l'ELS, quelles valeurs de contraintes trouves-tu à L/2;
*pour la fibre de béton la plus comprimée?
*pour la fibre de béton la plus tendue (ou à défaut la contrainte des armatures)?
Oui, normalement c'est à l'elu mais c'est pour vérifier un truc.

Je suis d'accord sur le bh^3/3 car bh^3/12+bh^3/4=bh^3/3. Ca revient au même.
Les calculs qu'on a fait ont été fait à l'ELS.
La contrainte dans le béton est M*yser/I
La contrainte dans l'acier est 15*M*(d-yser)/I

Peux-tu m'écrire comment tu trouves ton inertie et ta flèche stp?