En combien de temps une boîte ayant un trou se dégonfle-t-elle?

**Rodrigue** · 13/04/2010, 14h21

Bonjour,

Soit une boîte (ou un ballon) hermétique dans laquelle est contenu de l'air à une pression égale à $\text{[math]}$ .
Lorsqu'on perce un trou d'une surface égale à $\text{[math]}$ sur une de ses faces, en combien de temps celle-ci se "dégonfle-t-elle"? Quand est-ce que la pression de la boîte devient égale à la pression atmosphérique. Enfin, je pose mal la question car je crois qu'il s'agit d'un temps infini.
Je souhaiterais plutôt obtenir la formule $\text{[math]}$ en fonction du temps.

Si j'écris Bernouilli en supposant que l'air est incompressible (hum hum) entre l'intérieur et l'extérieur, que je néglige les hauteurs et que je dis que la vitesse de l'air dans la boîte est nulle. La vitesse d'éjection de l'air est égale à :
$\text{[math]}$

Comme le débit est égale à la vitesse multiplié par la surface du trou, j'ai: $\text{[math]}$
Ce débit multiplié par le temps fait chuté la pression au sein de la boîte. Donc, il affecte le $\text{[math]}$ . Mais comment?

Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main, svp?

**Coincoin** · 13/04/2010, 14h29

Salut,
La dernière étape est d'utiliser l'équation d'état de ton gaz. Tu peux ainsi relier la pression au nombre de molécules présentes dans la boîte (en fonction du volume et de la température de la boîte). En convertissant le débit volumique que te donnes Bernoulli en nombre de molécules par unité de temps, tu dois pouvoir trouver l'équation donnant la pression en fonction du temps.

**Rodrigue** · 13/04/2010, 14h44

La température reste la même!

$\text{[math]}$
Je ne vois pas vraiment.

Ce à quoi j'avais pensé c'est :
$\text{[math]}$
La masse au sein de la boîte chute.

La pression est égale à (je ne suis pas certains que ce qui suit est correct): $\text{[math]}$
La nouvelle pression est égale à: $\text{[math]}$

Si je réécris le tout:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

J'ai du $\text{[math]}$ sous la racine qui doit disparaître.

**Coincoin** · 13/04/2010, 14h47

Utiliser le poids ne me paraît pas une bonne idée. Il n'a rien à voir avec le dégonflement. Par contre, la pression est bien proportionnelle à la masse... d'après l'équation d'état.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Rodrigue** · 13/04/2010, 15h00

Pour moi l'équation d'état s'écrit:
$\text{[math]}$
avec,

p : pression
V : volume
T: température
k_b: constante de Boltzmann à savoir 1,380×10-23 J⋅K-1
N: nombre de particules

Le volume, la température et k_b sont des constantes.

Donc:
$\text{[math]}$

Que je dois rattacher au débit. La pression est proportionnelle au nombre de particule comprise dans le volume V.
Donc:
$\text{[math]}$
Je reviens bien à une question de masse?

**Rodrigue** · 13/04/2010, 15h55

La question devient:
Combien de particules s'échappe par seconde par le trou?

C'est lié au débit qui s'exprime en m³/s.

Le débit mutliplié par la densité donne une masse extraite par seconde. Cette masse est égale au nombre de particules extraites $\text{[math]}$ multiplié par la masse d'une particule.

Autrement dit,
$\text{[math]}$

Comme la pression est proportionnelle au nombre de particule comprise dans le volume:

$\text{[math]}$

La pression au temps $\text{[math]}$ est égale à :
$\text{[math]}$

Comme on l'a vu:
$\text{[math]}$

Donc,
$\text{[math]}$

avec le débit égale à :
$\text{[math]}$

Il s'agit d'une équation aux différences. Ca ne me dérange pas.

Comment me débarrasser de cette masse de particule

? C'est quoi la masse d'une "molécule d'air" (ouuuuuuc

h azote + oxygène).

**Rodrigue** · 13/04/2010, 16h33

D'après Wikipedia, la masse molaire de l'air vaut $\text{[math]}$ .

Il y a $\text{[math]}$ particules dans une mole donc on peut en déduire la masse d'une particule.

Une mole occupe approximativement un volume de $\text{[math]}$ aux conditions normales de température et de pression (CNTP), ce qui correspond à une pression de 1 atmosphère soit 101 325 Pa et une température de 0 °C, conditions à distinguer des conditions standards où la pression vaut 1 bar et la température 25 °C.
Dans les conditions habituelles de température et de pression (CHTP), une mole de gaz occupe environ 24,0 litres, la pression est à 1 bar et la température à approximativement 20 °C.

Sa masse volumique $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ .

Donc, comme une mole a un volume de $\text{[math]}$ , sa masse est égale à :
$\text{[math]}$ .

La masse d'une "particule équivalente" est donc égale à :
$\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si je remets tout ça dans ma formule:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

avec
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

D'où,
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Avec,
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ incrémentation de temps

$\text{[math]}$

Il faudrait que je supprime la notion de particules.

**Rodrigue** · 13/04/2010, 19h34

Si on distribue la formule:

$\text{[math]}$

On s'aperçoit que le terme:

$\text{[math]}$ n'est autre que la pression à l'instant t: $\text{[math]}$ .

Donc,

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Le terme $\text{[math]}$ doit certainement représenter quelque chose mais je ne sais pas vraiment quoi... La pression d'une mole de particules d'air???

**Rodrigue** · 13/04/2010, 20h13

Excusez-moi, il y a une erreur

. Peut-être y-en-a-t-il d'autres, quelqu'un pourrait-il regarder, svp?

Le débit est égale à :

$\text{[math]}$

J'avais oublié la surface du trou!!!

Donc, cela donne:

$\text{[math]}$

En renommant: $\text{[math]}$

La formule se simplifie en:

$\text{[math]}$

Avec $\text{[math]}$

Le débit $\text{[math]}$ s'exprime en $\text{[math]}$ .
Il faut donc que $\text{[math]}$ s'exprime en $\text{[math]}$ pour que la formule soit correcte.

$\text{[math]}$

???:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Bizarre, il doit encore y avoir une faute quelque part

**Rodrigue** · 13/04/2010, 20h21

Bon même si mes unités semblent ne pas fonctionner!

$\text{[math]}$

Lorsqu'on calcule cette constante, on s'aperçoit que sa valeur est égale à 101421,95 Pa/m³ ce qui est très proche de la valeur de la pression atmosphérique???

invite356bf811 · 13/04/2010, 21h47

Honnêtement je n'ai pas la réponse à cette question... mais je vais quand même proposer mes pistes de réflexion:

Tout d'abord, en considérant que le ballon se dégonfle très lentement, on a une transformation quasi-statique et donc la pression interne du ballon est presque la même que la pression extérieure, c'est pourquoi je pense qu'il est normal de voir que la pression du ballon diffère peu de la pression atmosphérique.

Avant que l'on perce le ballon d'ailleurs, la pression dans le ballon est égale à la pression atmosphérique, puis une fois percé, la pression chute légèrement, c'est pourquoi l'air sort.

Pour ce qui est de mes idées, les voilà:

Il est possible de relier la variation de volume V au débit massique noté Dm:
Dm = µ(-dV/dt) avec µ la masse volumique de l'air.

Or d'après ce que tu as dit: Dm = Sv_s en notant S la surface du trou et v_s la vitesse d'éjection de l'air.

Par ailleurs, toujours d'après tes résultats: v_s = (2ΔP/µ)^1/2
Faisons apparaitre P₁ la pression dans le ballon:
v_s = (2(P₁ - P₀)/µ)^1/2
avec P₀ la pression atmosphérique.

L'équation d'état donne:
P₁V = nRT et on suppose T constant (là j'ai des doutes)
et n = m/M avec m la masse et M la masse volumique de l'air.
On peut connaitre m(t). C'est donné par les relations
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On a donc
$\text{[math]}$

On y est presque... injectons cette expression de P₁ dans v_s qui est plus haut:

$\text{[math]}$

Donc
$\text{[math]}$

C'est une équation différentielle sur le volume V qu'il faut résoudre...

Allez c'est partit pour les calculs marrants:

$\text{[math]}$

donc

$\text{[math]}$

On dérive pour faire disparaitre les termes déplaisants:

$\text{[math]}$

Soit

$\text{[math]}$

On pose
$\text{[math]}$
donc

$\text{[math]}$

Déjà je trouve une équation différentielle pas simple que je ne sais pas résoudre... quand bien même, une fois résolue, pour déterminer la durée t₁ du dégonflement, il faut introduire le volume au repos du ballon que l'on notera V₀ et résoudre V(t₁) = V₀.

Je crois que c'est la solution, car le volume V₀ ne peut pas être déterminé: il dépend de comment le ballon est construit... dans le commerce on peut acheter des gros ballons ou des petits ballons... donc c'est une donnée supplémentaire qu'il faudra connaitre.

D'après moi, en résolvant l'équation, et en connaissant V_ini, V₀, S, et les données habituelles µ et P₀, on peut résoudre le problème... mais je ne suis pas certain de ma réponse.

invite356bf811 · 13/04/2010, 21h56

Après une seconde réflexion, je me dis que la tension du ballon équilibre la pression donc que je me trompe en disant que la pression est la pression atmosphérique.

Il nous faudrait la relation entre le volume et la tension de la membrane du ballon pour résoudre... je crois.

**Rodrigue** · 13/04/2010, 22h39

Envoyé par Malkovich

Après une seconde réflexion, je me dis que la tension du ballon équilibre la pression donc que je me trompe en disant que la pression est la pression atmosphérique.

Il nous faudrait la relation entre le volume et la tension de la membrane du ballon pour résoudre... je crois.

Je pense qu'on s'est mal compris. Il s'agit d'une boîte rigide ou d'un ballon rigide si tu préfères. Le volume ne change pas.
Au départ, ce volume est en surpression par rapport à l'extérieur.
On perce un trou dans son enveloppe.
Je cherche à savoir comment évolue cette différence de pression entre l'extérieur et l'intérieur.

invite57f30d74 · 13/04/2010, 22h53

je le sens comme la vibration d'un système R L C votre truc...
vous devriez tomber sur une équation différentielle de l'expression de la pression en fonction du temps du même style que celle obtenue en électricité ou en mécanique avec un ressort une masse et des frottements.

**Rodrigue** · 13/04/2010, 23h11

J'ai réalisé une simulation aux différences finies via Excel. C'est bcp plus facile que de commencer à solutionner des équations différentielles.

J'ai joint ce fichier à mon message.

On peut voir que dans le cas d'une maison qui présente un volume de 700m³ lorsqu'on a un trou d'1 cm² (1E-4cm²) si la différence de pression initiale est de 50Pa, cette différence chute de moitié après seulement 220 secondes. Il me semble que la pression chute quand même assez rapidement!

invite356bf811 · 13/04/2010, 23h17

Mes calculs restent alors presque les mêmes:

$\text{[math]}$

On dérive:

$\text{[math]}$

On sépare les variables:

$\text{[math]}$

On intègre:
$\text{[math]}$

Finalement:

$\text{[math]}$

**Rodrigue** · 13/04/2010, 23h28

Si je comprends bien M et µ représente tous les deux la masse volumique de l'air?

invite356bf811 · 13/04/2010, 23h29

Non M est la masse molaire.

D'ailleurs j'ai oublié la masse volumique dans le débit massique... je corrige dans quelques secondes

invite356bf811 · 13/04/2010, 23h33

Correction:

$\text{[math]}$

donc

$\text{[math]}$

Espérons que je ne me sois plus trompé

**Rodrigue** · 14/04/2010, 10h57

Bon malgré que mes formules fonctionnent, même si je m'en sers comme une équation aux différences et que je ne l'ai pas intégré, je vais essayer de reprendre tes calculs en les expliquant un petit peu plus:

Tu prends la même formule que moi en ce qui concerne le calcul du débit de la fuite d'air ;op. Celle-ci a été calculée en utilisant Bernouilli.
Il est égale à:

$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ la masse volumique de l'air.

Tu utilises ensuite de l'équation des gaz parfaits:

$\text{[math]}$

Le volume de la boîte est une constante car celle-ci est rigide.
On considère que la température $\text{[math]}$ est constante dans notre problème (les taux de compression sont suffisamment faibles pour que cette hypothèse soit correcte).

$\text{[math]}$ représente le nombre de moles contenu dans notre boîte rigide, on peut l'exprimer sous forme de masse:

$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ la masse molaire qui est une constante.

Grâce à l'équation des gaz parfaits, on peut exprimer la pression de la boîte en fonction de la masse que celle-ci contient:

$\text{[math]}$

Comme cette masse change au cours du temps, elle diminue, on voit bien que la pression chute au cours du temps.

$\text{[math]}$

La masse initiale est égale à :

$\text{[math]}$

avec,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si on réécrit le tout:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et la pression varie au cours du temps comme:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On a une expression du type :

$\text{[math]}$

On dérive:

$\text{[math]}$

On nomme:
$\text{[math]}$

L'expression devient:
$\text{[math]}$

Comme tu le dis, on sépare les variables:

$\text{[math]}$

En intégrant, on obtient:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je souhaite obtenir l'expression de la pression en fonction du temps.

$\text{[math]}$

Si on pose:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On met le tout au carré:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

La pression est égale à:

$\text{[math]}$

avec,
$\text{[math]}$

La pression varie de manière parabolique?

invite356bf811 · 14/04/2010, 11h09

Il semblerait. D'après nos hypothèses en tout cas.
Mais si je me souviens bien, la question de départ sur la page 1 était de trouver le temps de vidange... je l'ai donné en haut de cette page 2.

Normalement, en résolvant P(t₁) = P_atm tu devrais retrouver le même résultat.

Tu as fait la même erreur que moi au départ: tu as oublié de multiplier par µ ton débit massique.

**Rodrigue** · 14/04/2010, 11h42

Envoyé par Malkovich

Il semblerait. D'après nos hypothèses en tout cas.
Mais si je me souviens bien, la question de départ sur la page 1 était de trouver le temps de vidange... je l'ai donné en haut de cette page 2.

Normalement, en résolvant P(t₁) = P_atm tu devrais retrouver le même résultat.

Tu as fait la même erreur que moi au départ: tu as oublié de multiplier par µ ton débit massique.

Oui, je pensais que le temps de vidange tendrait vers l'infini. Ce n'est pas le cas.

J'ai en effet oublié la masse volumique

.

La variable a est donc égale à:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donne bien $\text{[math]}$

et pour le temps de vidange:

$\text{[math]}$
... trop long.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc pour le problème suivant:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ca semble réaliste.

invite57f30d74 · 14/04/2010, 17h29

Envoyé par Rodrigue

Donc pour le problème suivant:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ca semble réaliste.

hé bé, tous ces calculs pour en arriver là...

1/ calcul de la vitesse d'éjection des gaz...
v ejection=sqrt(2*DP/1.2)=9.1 m/s
ce qui donne avec un trou d'un cm2 un débit de
9100cm3 par seconde soit en gros un débit de 9litres par seconde
d'autre part l'excés de volume sous forme de pression
est de
700m3*(10000+50)/10000= 350L
350litres à 10Lpar seconde ça donne 35 secondes.
Ce qui veut dire qu'en l'espace de 73 secondes environ en tenant compte de la baisse de pression tout l'air s'est trouvé évacué...
Personnellement, je ne vois pas comment vous pouvez trouver 12 minutes...

invite356bf811 · 14/04/2010, 17h36

Envoyé par fautons

hé bé, tous ces calculs pour en arriver là...

1/ calcul de la vitesse d'éjection des gaz...
v ejection=sqrt(2*DP/1.2)=9.1 m/s
ce qui donne avec un trou d'un cm2 un débit de
9100cm3 par seconde soit en gros un débit de 9litres par seconde
d'autre part l'excés de volume sous forme de pression
est de
700m3*(10000+50)/10000= 350L
350litres à 10Lpar seconde ça donne 35 secondes.
Ce qui veut dire qu'en l'espace de 73 secondes environ en tenant compte de la baisse de pression tout l'air s'est trouvé évacué...
Personnellement, je ne vois pas comment vous pouvez trouver 12 minutes...

J'ai pas lu en détail, mais il me semble que tu n'as pas tenu compte de la variation de la vitesse d'éjection... elle n'est pas constante.

De plus j'ai des doutes sur tes calculs...

invite356bf811 · 14/04/2010, 17h53

Pour Rodrigue: Il semble que l'on soit parfaitement d'accord sur toutes les expressions littérales, mon application numérique donne 12 min 40 secondes ce qui correspond à peu près à ton 12,69 min (je trouvais 12.66 min).

invite57f30d74 · 14/04/2010, 18h36

Envoyé par Malkovich

J'ai pas lu en détail, mais il me semble que tu n'as pas tenu compte de la variation de la vitesse d'éjection... elle n'est pas constante.

De plus j'ai des doutes sur tes calculs...

effectivement, 9,1m/s sur 1 cm3 ça fait 0,91Litre par seconde et non 9,1litre /seconde
je trouve donc une fois cette erreur corrigé 763s soit 12 mn 43s...
désolé...

invite356bf811 · 14/04/2010, 19h55

Envoyé par fautons

effectivement, 9,1m/s sur 1 cm3 ça fait 0,91Litre par seconde et non 9,1litre /seconde
je trouve donc une fois cette erreur corrigé 763s soit 12 mn 43s...
désolé...

Je pense pas... avec ta méthode, je trouve 420 Litres à évacuer et donc une vidange qui dure 7 minutes et des brouettes. Mais de toute façon, ce résultat n'est pas valable puisque la vitesse d'éjection de l'air varie, et il faut en tenir compte... pour cela, il faut lire ce que Rodrigue et moi avons trouvé.

Tourne ta langue 7 fois dans ta bouche la prochaine fois

invite57f30d74 · 14/04/2010, 20h18

Envoyé par Malkovich

Je pense pas... avec ta méthode, je trouve 420 Litres à évacuer et donc une vidange qui dure 7 minutes et des brouettes. Mais de toute façon, ce résultat n'est pas valable puisque la vitesse d'éjection de l'air varie, et il faut en tenir compte... pour cela, il faut lire ce que Rodrigue et moi avons trouvé.

Tourne ta langue 7 fois dans ta bouche la prochaine fois

700 000*(100050/100000-1)=350 litres...
de plus, si tu donnes la valeur 763 à n dans ce programme,
tu t'aperçois que la totalité des 350 litres ont disparu...

program boite;
var dv,v,dp,p :real;
n,i :integer;
begin
readln(n);
dp:=50.0;
v:=350.0;
for i:=n downto 1 do
begin
dv:=sqrt((2.0*dp)/1.2);
dv:=dv/10.0;
v:=v-dv;
dp:=(7.0E+5+v)/7.0E+5;
dp:=1.0E+5*dp-1.0E+5;
end;
writeln(dv);
writeln(v);
writeln(dp);
end.
Donc ton commentaire vaut aussi pour toi...

invite356bf811 · 14/04/2010, 20h25

Envoyé par fautons

700 000*(100050/100000-1)=350 litres...
de plus, si tu donnes la valeur 763 à n dans ce programme,
tu t'aperçois que la totalité des 350 litres ont disparu...

program boite;
var dv,v,dp,p :real;
n,i :integer;
begin
readln(n);
dp:=50.0;
v:=350.0;
for i:=n downto 1 do
begin
dv:=sqrt((2.0*dp)/1.2);
dv:=dv/10.0;
v:=v-dv;
dp:=(7.0E+5+v)/7.0E+5;
dp:=1.0E+5*dp-1.0E+5;
end;
writeln(dv);
writeln(v);
writeln(dp);
end.
Donc ton commentaire vaut aussi pour toi...

Ouaip après vérification je me suis planté dans mon application numérique :P Comme quoi... personne n'est à l'abri...

invite356bf811 · 14/04/2010, 20h35

Après avoir répété le calcul, c'est bien 350 litres à évacuer et pas 420 litres... je ne sais pas comment je me suis débrouillé pour me tromper plusieurs fois lors de l'application numérique

En revanche, je ne savais pas que tu utilisais ce petit programme pour trouver la réponse... je croyais que tu considérais la vitesse d'éjection constante, ce qui n'est manifestement pas le cas, donc ta réponse est correcte!

En revanche, on pouvait résoudre le problème à la main plutôt que d'avoir recours à l'ordinateur...

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