Thermodynamique

**phanta** · 17/04/2010, 18h23

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire et je n'arrive pas à le terminer. Pouvez-vous me corriger et/ou me donner des pistes ?

On s'intéresse à des suspensions de petites particules au sein d'un ﬂuide en équilibre et à la façon dont elles s'y répartissent. On considérera dans tout le problème que les suspensions considérées sont diluées, de sorte que les particules en suspension n'interagissent pas entre elles. On considère un tube cylindrique d'axe vertical de section S , de hauteur h et contenant un liquide, de l'eau par exemple. Ce liquide contient N particules en suspension, de masse m chacune. On note ρp la masse volumique des particules, ρ celle du liquide, et on suppose que ρ_p > ρ. Dans l'état initial du système, le mélange a été rendu homogène par agitation.
1. Soit m*=m(1- ρ/ρ_p) la masse apparente d'une particule. Exprimer la résultante des forces agissant sur une particule.
2. Donner l'expression de l'énergie potentielle Ep(z) d'une particule soumise à ce champ de force.
On admet qu'à l'équilibre de sédimentation, la répartition des particules obéit à la loi de Boltzmann, et Nv(z)=A.exp(-z/H).
3. Exprimer H.
4. Etablir l'expression de A.
5. Evaluer H pour deux particules de même masse volumique p=1,3.10³ kg.m^-3 et de masses molaires différentes : A (68000 g.mol^-1 ), et B (4,6.10⁶ g.mol^-1) dans l'eau à 20°C.
6. Que se passe-t'il si dorénavant on met en rotation le cylindre autour de son axe vertical à la vitesse angulaire uniforme et si on néglige le poids et la poussée d'Archimède devant la force centrifuge ? Comment appelle-t'on ce dispositif ?

Voici mes réponses :
1. P + F = mg +ρ (m/ρ_p g) = m*g
2. Ep(z)=m*gz
3. H = RT₀/(Mg(1-ρ/ρ_p)
4. A=Nv(z=0). Faut-il plus de précisions ?
5. Le problème c'est que H ne dépend pas de la constante d'Avogadro et que pourtant elle figure dans les données de l'énoncé.

Merci de votre aide !

**phanta** · 17/04/2010, 22h41

Personne ne peut m'aider ?

**cerfa** · 18/04/2010, 08h13

Bonjour

Envoyé par phanta

Bonsoir,
1. P + F = mg +ρ (m/ρ_p g) = m*g

OK

2. Ep(z)=m*gz

OK

3. H = RT₀/(Mg(1-ρ/ρ_p)

KO

La loi de Boltzman fait intervenir le rapport de l'énergie potentielle (ici m*gz) et une énergie d'agitation thermique $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la constante de Boltzmann.

4. A=Nv(z=0). Faut-il plus de précisions ?

Oui, il faut plus de précisions, car Nv(Z=0) n'est pas connu ! Il y a une condition dite de normalisationà utiliser si ça te dit quelques chose...

5. Le problème c'est que H ne dépend pas de la constante d'Avogadro et que pourtant elle figure dans les données de l'énoncé.

Cf. plus haut.

Merci de votre aide !

De rien

Cordialement

**phanta** · 18/04/2010, 10h23

Merci d'avoir répondu.
Pour la 3. je suis partie de l'expression H=k_BT₀/(m*g) puis j'ai transformé comme vous l'avez écrit k_B en R/Na et m* en m(1-ρ/ρ_p)=M/Na(1-ρ/ρ_p) car m=n M=NM/Na avec N=1. Et les Na se simplifient ... Où est mon erreur ?
Pour la 4. la condition dont vous parlez ne me dit vraiment rien

... mais d'après internet, ce serait très utile pour trouver A. N'y-a-t'il pas d'autre moyen car je ne pense pas l'avoir vu en cours ?

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**cerfa** · 18/04/2010, 10h47

Envoyé par phanta

Merci d'avoir répondu.
Pour la 3. je suis partie de l'expression H=k_BT₀/(m*g) puis j'ai transformé comme vous l'avez écrit k_B en R/Na et m* en m(1-ρ/ρ_p)=M/Na(1-ρ/ρ_p) car m=n M=NM/Na avec N=1. Et les Na se simplifient ... Où est mon erreur ?

En fait il n'y en a pas ! Je n'avais pas compris que $\text{[math]}$ était la masse molaire (tu n'avais précisé cela nulle part, et je pensais que tu voulais taper $\text{[math]}$ !

Ton expression est soit dans le monde "microscopique" avec m et k_B :
$\text{[math]}$ ,

soit dans le monde "macroscopique avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Pour la 4. la condition dont vous parlez ne me dit vraiment rien

... mais d'après internet, ce serait très utile pour trouver A. N'y-a-t'il pas d'autre moyen car je ne pense pas l'avoir vu en cours ?

Inutile de l'avoir vu en cours ! C'est une façon compliquée de dire qu'au total (sur la hauteur $\text{[math]}$ ) il y a $\text{[math]}$ particules. Il y a juste cela à traduire avec ta loi de Boltzman pour trouver la constante $\text{[math]}$ .

**phanta** · 18/04/2010, 11h01

Pour la 4., je ne comprends pas comment faire. Ce que l'on recherche c'est la concentration volumique de particules pour z=0 or si z=0, h=0 donc pas de particule ... (A ne peut en aucun cas être nul sinon la loi n'a plus aucun sens...)
Si je traduis le fait que sur la hauteur h il y a N particules, Nv(z=0)=N/(h*S)=A ...

**cerfa** · 18/04/2010, 11h04

Envoyé par phanta

Pour la 4., je ne comprends pas comment faire. Ce que l'on recherche c'est la concentration volumique de particules pour z=0 or si z=0, h=0 donc pas de particule ... (A ne peut en aucun cas être nul sinon la loi n'a plus aucun sens...)
Si je traduis le fait que sur la hauteur h il y a N particules, Nv(z=0)=N/(h*S)=A ...

Bonjour

Je pense que si tu sais répondre à la question suivante, tu sauras comment faire :

Que représente physiquement Nv(z) ?

En particulier quelle est son unité ?

Cordialement

**phanta** · 18/04/2010, 11h12

Nv(z) est une concentration volumique donc elle s'exprime en m^-3. Cela correspond à un nombre de particules divisé par un volume : c'est pourquoi j'avais pensé d'après votre réponse précédente que l'on pouvait avoir Nv(z=0)=A=N/(S*h) si S est bien l'aire de la base du cylindre ...

**phanta** · 18/04/2010, 11h21

Et si l'on ne travaille pas à Nv(z=0) ? En prenant Nv(z=H)=A*e^-1, on peut trouver Nv(z=H)=N/(H*S) et en déduire A.
Merci d'avance !

**cerfa** · 18/04/2010, 11h25

Envoyé par phanta

Nv(z) est une concentration volumique donc elle s'exprime en m^-3. Cela correspond à un nombre de particules divisé par un volume : c'est pourquoi j'avais pensé d'après votre réponse précédente que l'on pouvait avoir Nv(z=0)=A=N/(S*h) si S est bien l'aire de la base du cylindre ...

On se rapproche

Cependant Nv n'est pas uniforme (car elle dépend manifestement de $\text{[math]}$ ).

Donc question supplémentaire quel est le nombre de particules entre les altitudes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Courage, c'est bientôt fini !

**phanta** · 18/04/2010, 11h33

Le nombre de particules entre les altitudes z et z+dz ??? On applique la formule avec z=dz ?
Je ne comprends pas pourquoi Nv n'est pas uniforme : car certes Nv dépend de z mais on cherche dans cette question A c'est-à-dire Nv(z=0) qui ne dépend donc pas de z...

**cerfa** · 18/04/2010, 11h41

Envoyé par phanta

Le nombre de particules entre les altitudes z et z+dz ??? On applique la formule avec z=dz ?

Ben non, et c'est de là que viens ton problème pour trouver A ! Il faut toujours connaître la signification physique des formules qui ne sont que des intermédiaires (certes très utiles) de calcul !

Regarde dans ton cours, il y a sûrement quelque chose y ayant trait.

Je ne comprends pas pourquoi Nv n'est pas uniforme : car certes Nv dépend de z mais on cherche dans cette question A c'est-à-dire Nv(z=0) qui ne dépend donc pas de z...

Certes A=Nv(z=0), mais comme je te l'ai dit plus haut, on ne connaît pas Nv(z=0), donc ce n'est pas la la voie à suivre.

**phanta** · 18/04/2010, 11h51

Je ne vois rien dans mon cours qui parlerait de Nv avec dz

**phanta** · 18/04/2010, 12h07

Et la méthode que j'ai proposée à 12h21, elle est sans doute fausse mais pouvez-vous m'expliquez pourquoi ?
Et un petit indice concernant le nombre de particules entre z et dz+z, svp ...

**cerfa** · 18/04/2010, 12h24

Envoyé par phanta

Et la méthode que j'ai proposée à 12h21, elle est sans doute fausse mais pouvez-vous m'expliquez pourquoi ?

Toujours pour la même raison ! Tu ne connais la vraie valeur de Nv nulle part. Tu ne pourras le faire que quand tu auras trouvé A

Et un petit indice concernant le nombre de particules entre z et dz+z, svp ...

Bon d'accord, mais je ne vais pas encore te donner le résultat

Quel est le nombre de particules dans un volume élémentaire $\text{[math]}$ ?

Courage...

**phanta** · 18/04/2010, 13h23

Faut-il utiliser une intégrale ?

**phanta** · 18/04/2010, 13h24

Dans un volume élémentaire, ne peut-on pas considérer le nombre de particules constant ?

**phanta** · 18/04/2010, 13h49

Envoyé par cerfa

Inutile de l'avoir vu en cours ! C'est une façon compliquée de dire qu'au total (sur la hauteur $\text{[math]}$ ) il y a $\text{[math]}$ particules. Il y a juste cela à traduire avec ta loi de Boltzman pour trouver la constante $\text{[math]}$ .

Et si on écrit Nv(z=h)=A*e^-h/H=N/(h*S) ...

**cerfa** · 18/04/2010, 14h12

Envoyé par phanta

Faut-il utiliser une intégrale ?

Pas pour un volume élémentaire, mais pour la totalité du système c'est une bonne piste

**cerfa** · 18/04/2010, 14h14

Envoyé par phanta

Dans un volume élémentaire, ne peut-on pas considérer le nombre de particules constant ?

Oui, mais quelle est l'expression correspondante ?

**cerfa** · 18/04/2010, 14h16

Envoyé par phanta

Et si on écrit Nv(z=h)=A*e^-h/H=N/(h*S) ...

Non toujours pas.

N'insiste pas dans cette voie. Tant que tu ne connaîtras pas A, tu ne pourras pas donner la valeur de Nv pour un z particulier.

Quand tu aura compris clairement la signification physique de Nv, ce que à quoi j'essaie de t'amener depuis un certain nombre de message, cela te paraîtra clair.

**phanta** · 18/04/2010, 14h30

Envoyé par cerfa

Pas pour un volume élémentaire, mais pour la totalité du système c'est une bonne piste

je cherche, je cherche mais ...

Envoyé par phanta
Dans un volume élémentaire, ne peut-on pas considérer le nombre de particules constant ?

Oui, mais quelle est l'expression correspondante ?

N'=N/dr trop simple sans doute (et pas homogène?)

**cerfa** · 18/04/2010, 14h54

Envoyé par phanta

je cherche, je cherche mais ...

C'est ce qu'il faut !

N'=N/dr trop simple sans doute (et pas homogène?)

Je voudrais l'expression du nombre $\text{[math]}$ de particules contenu dans un volume élémentaire $\text{[math]}$ , en fonction de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ .

Une fois qu'on aura enfin répondu à cela, ce sera très facile...

**phanta** · 18/04/2010, 14h58

dN/dr=dNv ? donc dN=dNv*dr=Nv*dr

**cerfa** · 18/04/2010, 16h06

Envoyé par phanta

dN/dr=dNv ? donc dN=dNv*dr=Nv*dr

Oui ! (Enfin, j'imagine que tu écris $\text{[math]}$ sous la forme dr !)

Bon maintenant, quel est le volume élémentaire de ton système dont l'abscisse est comprise entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Quel est donc le nombre $\text{[math]}$ de particules dans ce volume, en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ? Comprends-tu la démarche ?

**phanta** · 18/04/2010, 16h11

Le volume élémentaire serait dz*S,
et dN=Nv*dz*S=A*e^-z/H*dz*S

**cerfa** · 18/04/2010, 16h17

Envoyé par phanta

Le volume élémentaire serait dz*S,
et dN=Nv*dz*S=A*e^-z/H*dz*S

Oui !! J'ai bien fait d'insister....

Et donc maintenant, comment calculerais-tu le nombre de particules sur une hauteur h ?

**phanta** · 18/04/2010, 16h19

On cherche A (faudrait pas l'oublier

) mais je ne vois pas comment y arriver. Faut-il utiliser des valeurs particulières (je ne pense pas...) ou plutôt utiliser dN/dz dans l'expression précédente ...

**phanta** · 18/04/2010, 16h23

Envoyé par cerfa

Oui !! J'ai bien fait d'insister....

Et donc maintenant, comment calculerais-tu le nombre de particules sur une hauteur h ?

euh... en remplaçant z par h

**phanta** · 18/04/2010, 16h41

en fait, lorsqu'on a calculé dN, ce n'était pas pour un volume de hauteur z mais dz donc il faut plutôt remplacer dz par h, non ?

Thermodynamique