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Dérivée en physique et chimie



  1. #1
    zarma46

    Dérivée en physique et chimie

    Salut a tous

    J'ai besoin de votre aide:

    Je ne comprend pas comment on calcul une dérivée en physique ou en chimie.

    Par exemple dans l'expression de l'accèleration a=dV/dt (a et V sont des vecteurs mais je ne sait pas le faire avec un ordi...)

    Si vous pouviez m'aidez ça serait super sympa et si vous pouviez en + me donner un exemple a lors là ça serait super génial ^^

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Quelle est la question?

    Si un vecteur r a trois composantes x, y et z:


    alors le vecteur dérivé de r par rapport à t est défini par:


    Par exemple, si est le vecteur position d'un point et t est le temps, alors

    est le vecteur vitesse dont les composantes sont la vitesse selon l'axe Ox, selon l'axe Oy et selon l'axe Oz.

    Par exemple, si à tout instant t la position d'un objet est:


    alors à tout instant t sa vitesse (vectorielle) est:






    J'espère avoir répondu à tes interrogations.

  4. #3
    Ziplok

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Il faut conserver la notion de "Dérivées de f(x) par rapport à x" en mathématiques.
    Sauf qu'ici le cas est un peu plus compliqué, surtout selon le repère utilisé.

    En coordonnées cartésiennes (O,x,y,z) fixes les vecteurs x, y, et z, ne se déplacent pas. Donc l'expression de l'accélération est toute bête: il faut décomposer V suivant ses composantes en x, en y, et en z.
    Ensuite tu dérives chaque composante par rapport au temps (tu sais faire, n'est-ce pas?). Et tu as l'accélération.
    EDIT: Voir ci-dessus :P

    En coordonnées cylindriques (O,r,Têta,z) , c'est plus compliqué, car les vecteurs se déplacent.
    Pareil, décomposes la vitesse en ses composantes.
    Mais là tu dois dériver X r or le vecteur r varie donc sa dérivée est non nulle.

    En mathématiques, c'est l'équivalent de la dérivée de u(x)*v(x)
    => u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

    Pour info, si tu as:
    V= u(t) * r + v(t) * Têta
    la dérivée de r vaut Teta/dt*Têta
    la dérivée de Têta vaut u(t)/dt*r

    (ne pas confondre Têta vecteur unitaire orthogonal au rayon et Têta l'angle formé par r avec l'axe des abscisses)

    J'espère que c'est clair
    Dernière modification par Ziplok ; 24/04/2010 à 16h38. Motif: Simontheb a été plus rapide

  5. #4
    Ziplok

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Citation Envoyé par Ziplok Voir le message
    Pour info, si tu as:
    V= u(t) * r + v(t) * Têta
    la dérivée de r vaut Teta/dt*Têta
    la dérivée de Têta vaut u(t)/dt*r
    En plus, c'est faux
    la dérivée de r vaut bien Têta/dt*Têta
    mais je sais plus pour Têta
    ça doit être Têta/dt = -Têta/dt*r

    PS: si t'es en coordonnées cartésiennes je ne veux pas t'embrouiller va plutot lire Simontheb

  6. #5
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Heu, je ne te suis pas. r, c'est le vecteur position ou le rayon vecteur de ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ziplok

    Re : Dérivée en physique et chimie

    r chez moi c'est le rayon vecteur, j'ai mis les vecteurs en gras. Je me suis pas trompé ?
    (et j'ai pas embrouillé tout le monde j'espère ??)

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  10. #7
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Ah d'accord. Mais je n'avais jamais pensé qu'on pouvait considérer r et têta (c'est le vecteur (0; 0; 1), c'est ça?) comme une base "variable" de l'espace, r se mouvant dans le plan Oxy.

    Mais dans ce cas, pourquoi on a V = u(t) r + v(t) têta et pas V = r + v(t) têta ?

  11. #8
    DarK MaLaK

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Salut, la dérivée des vecteurs dépend des coordonnées. En coordonnées cylindriques, on a les vecteurs unitaires suivants :



    Ces vecteurs ne sont donc pas fixes, contrairement à ceux des coordonnées cartésiennes, et ils varient dans le temps. Par conséquent, si on les dérive, on obtient :



    Donc chaque fois qu'on veut calculer une vitesse en coordonnées cylindriques, il faut tenir compte de la dérivée des vecteurs unitaires associés à ces coordonnées.

    De plus, plus généralement, la dérivée en physique peut se comprendre intuitivement en se disant que dt est une quantité de temps infinitésimale : la vitesse qu'on calcule est donc logique, on se dit :"quand je fais avancer le temps d'une toute petite quantité que j'appelle dt, la distance parcourue va varier d'une toute petite quantité elle aussi que j'appelle dOM par exemple". On peut l'écrire comme ceci :



    Mathématiquement, on rajoute une limite pour bien montrer que dt tend vers 0... Enfin c'est ma façon de voir les choses. Je laisse le loisir à des physiciens/mathématiciens plus rigoureux d'en donner de meilleures.

  12. #9
    Ziplok

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Citation Envoyé par Simontheb Voir le message
    Ah d'accord. Mais je n'avais jamais pensé qu'on pouvait considérer r et têta (c'est le vecteur (0; 0; 1), c'est ça?) comme une base "variable" de l'espace, r se mouvant dans le plan Oxy.
    euh, non, têta, c'est le vecteur (0,1,0) et r c'est le vecteur (1,0,0) dans la base mouvante (0,r,têta,z)

    A tout instant r et têta valent respectivement er et e(têta) décrits ci dessous:
    .
    Ainsi têta et r se meuvent dans (0xy)

    Citation Envoyé par Simontheb Voir le message
    Mais dans ce cas, pourquoi on a V = u(t) r + v(t) têta et pas V = r + v(t) têta ?
    chez moi r est le vecteur unitaire dirigé par le rayon, en fait.
    Donc la vitesse du point, se décompose suivant r et têta (à condition qu'il n'y ait pas de mouvement suivant z) et j'ai nommé u(t) et v(t) les décompositions respectives!

    Pour résumer... la description de DarK MaLak est plus complète et rigoureuse

  13. #10
    stefjm

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Bonsoir,
    Et tout cela en exponentielle complexe est bien plus facile à voir et à surtout à calculer.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  14. #11
    DarK MaLaK

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonsoir,
    Et tout cela en exponentielle complexe est bien plus facile à voir et à surtout à calculer.
    Personne ne m'a jamais présenté ce calcul en utilisant les nombres complexes ! Peux-tu développer ta pensée ?

  15. #12
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Dark Malak et Ziplok: Ah, je comprend maintenant. Très intéressant... Et en pratique, quand a-t-on interêt à mener les calculs dans cette base? Lors des mouvements de rotation, j'imagine.

    Dark Malak: ta façon de présenter la dérivation est exactement celle de mon prof de physique. Elle est, à mon avis, plus adaptée en physique qu'une présentation formelle, parce qu'elle parle de physique et pas de maths pures.

    Stefjm: Oui, pourrais-tu développer? Ça m'intéresse...

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  17. #13
    DarK MaLaK

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Citation Envoyé par Simontheb Voir le message
    Dark Malak: ta façon de présenter la dérivation est exactement celle de mon prof de physique. Elle est, à mon avis, plus adaptée en physique qu'une présentation formelle, parce qu'elle parle de physique et pas de maths pures.
    Merci du compliment ! Enfin, si ton prof de physique est un bon prof bien sûr...

    Citation Envoyé par Simontheb Voir le message
    Dark Malak et Ziplok: Ah, je comprend maintenant. Très intéressant... Et en pratique, quand a-t-on interêt à mener les calculs dans cette base? Lors des mouvements de rotation, j'imagine.
    Oui ou dans des calculs en électromagnétisme, en fonction des symétries. On a souvent des symétries cylindriques dans les exercices BAC +1 mais aussi des symétriques sphériques où on utilise les coordonnées sphériques... L'intérêt est de simplifier car même si les vecteurs varient dans le temps et compliquent la dérivation, on obtient des expressions qui resteront beaucoup plus simples que si on avait gardé les coordonnées cartésiennes. Cependant, tu peux traiter un problème à symétrie sphérique en coordonnées cartésiennes ou cylindriques mais tu abandonneras très vite, à moins d'être vraiment passionné de trigonométrie.

    Pour aller plus loin, tu peux même créer tes propres coordonnées si le besoin s'en fait sentir (mais ça m'étonnerait que tu en aies besoin dans ta scolarité, les coordonnées sphériques suffisent largement...), il n'y a pas de limitation, il faut s'adapter au problème et à sa symétrie.

  18. #14
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Je vois. C'est vrai que les coordonnées cylindriques et sphériques peuvent être très utile, mais pour l'instant, les équations de base , , , et m'ont suffi.

    Concernant mon prof de physique, je le considère comme un bon prof oui, même s'il ne fait pas l'unanimité ^^

  19. #15
    stefjm

    Re : Dérivée en physique et chimie

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Personne ne m'a jamais présenté ce calcul en utilisant les nombres complexes ! Peux-tu développer ta pensée ?
    C'est tout bête (mais très peul enseigné, la preuve... )

    Plutôt que de s'enquiquiner (et je suis diplomate) avec de la trigonométrie, on passe en complexe en écrivant



    x est porté par . (car )

    Lorsque l'on a , y est porté par (La multiplication par i fait une rotation de .

    Dans les liens qui suivent, je n'avais pas à l'époque souligné les complexes utilisés. (x, v et a sont complexes.)
    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    On pose , nombre complexe isomorphe à un vecteur du plan.
    x est porté par . (car )
    On dérive le produit par rapport au temps.

    Le premier terme est porté par et le second par (Une multiplication par i fait tourné de .)

    On dérive encore



    On retrouve ainsi tous les termes de l'accélération. (centripète, entrainement, Coriolis)

    Il faut juste savoir dériver un produit et une exponentielle complexe.
    La totale :
    http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1810958

    En un peu plus simple (quand tout ne varie pas)
    http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1749953

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  20. #16
    Simontheb

    Re : Dérivée en physique et chimie

    En effet, c'est très élégant!

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