theories de jauge en termes de fibres

[invite54165721]

Bonjour

J'aimerais trouver un article en ligne où un exemple concret de théorie de jauge (électrofaible par exemple) soit présenté en terme de fibrés principaux.
Qui indique précisément quelle est la base, la fibre, sur quel espace agit le groupe de Lie etc.
Dans la bibliothèque virtuelle j'ai bien trouvé Coquereaux et Masson mais ce sont des pavés énormes.
J'ai été attiré par ce sujet en voyant que la terminologie a beaucoup changé. On parle maintenant du champ électromagnétique en terme de courbure de connexion!
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[mariposa]

Bonjour

J'aimerais trouver un article en ligne où un exemple concret de théorie de jauge (électrofaible par exemple) soit présenté en terme de fibrés principaux.
Qui indique précisément quelle est la base, la fibre, sur quel espace agit le groupe de Lie etc.

Bonjour,


La base c'est l'espace de Minskovski.

Pour un fibré principal le groupe de Lie agit sur lui-même

J'ai été attiré par ce sujet en voyant que la terminologie a beaucoup changé. On parle maintenant du champ électromagnétique en terme de courbure de connexion!

Effectivement les champs de jauge sont les connexions et les champs sont la "courbure" cad le commutateur des dérivées covariantes

[invite54165721]

Dans le cas de su(2) la fibre n'est elle pas plutot un espace vectoriel electron neutrino sur lequel le groupe agit par rotation?

[mariposa]

Dans le cas de su(2) la fibre n'est elle pas plutot un espace vectoriel electron neutrino sur lequel le groupe agit par rotation?

Tout à fait c'est un fibré associé et non un fibré principal.

Les éléments du groupe SU(2) agissent dans un espace vectoriel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

merci

Je n'avais pas repéré la notion de fibré associé

[invite54165721]

Bonjour

On trouve facilement des liens sur des cours sur les fibrés, les dérivées covariantes etc.
De meme des cours de physique où l'on l'indique comment a partir d'un lagrangien muni d'une symétrie globale on passe à une symétrie locale par l'usage de la dérivée covariante.

J'aimerais faire le lien entre les deux: la définition de la dérivée covariante par la connexion a t elle un lien avec un principe d'extremum?

Existe t il un cours en ligne sur les théories de jauge utilisant le langage des fibrés de facon explicite et détaillé?

[mariposa]

J'aimerais faire le lien entre les deux: la définition de la dérivée covariante par la connexion a t elle un lien avec un principe d'extremum?

Bonsoir,

Il n'y a pas de lien directe entre les 2.

La dérivée covariante (et donc la connexion) te permettent d'&écrire un Lagrangien invariant de jauge.

Une fois acquis ce Lagrangien il te permettent de définir l'action S qui est l'intégrale du Lagrangien. L'extremun est celui de l'action.

Existe t il un cours en ligne sur les théories de jauge utilisant le langage des fibrés de facon explicite et détaillé?

Tu avais cité un PDF de Masson qui répond à ta question. Non?

[invite54165721]

Il y a effectivement le cours en ligne de Masson.

La partie ou il en vient au lien avec la physique est courte.
J'ai trouvé aussi ceci Yang Mills
Comment la forme différentielle définie sur la base du fibré et à valeur dans l'espace tangent au groupe permet elle d'obtenir l'écriture de la dérivée covariante qui remplace la dérivée habituelle?
(c'est peut être indiqué dans Masson mais je n'ai pas compris)

[mariposa]

Il y a effectivement le cours en ligne de Masson.

La partie ou il en vient au lien avec la physique est courte.
J'ai trouvé aussi ceci Yang Mills
Comment la forme différentielle définie sur la base du fibré et à valeur dans l'espace tangent au groupe permet elle d'obtenir l'écriture de la dérivée covariante qui remplace la dérivée habituelle?
(c'est peut être indiqué dans Masson mais je n'ai pas compris)

Bonjour,


C'est pas facile de répondre.

La connexion en mathématique s'appelle le champ de jauge en physique.

Ce champ a un double statut:

1- Vis a vis des transformations de Lorentz c'est un quadrivecteur qui se transforme comme un tenseur contravariant. La forme différentielle que tu évoques ne fait que traduire cela cad

A(p) = Aµ.dxµ

2- Vis avis des transformations de jauge donc à µ fixé

Il définit un produit scalaire invariant de jauge:

Lk.Ak

où Lk est un générateur du groupe et donc Ak est un vecteur qui se transforme comme Ak pour avoir un produit scalaire.

Ce qui permet d'écrire une dérivée covariante sous la forme

Dµ.|F> = [d/dµ - Lk.Bkµ]|F>

Avec µ fixé et sommation sur les k

µ varie de 1 à 4 correspond à la dimension de l'espace-temps.

k varie selon le nombre de générateurs du groupe. Si c'est SU(3) k balaie jusqu'a 8.

Le produit Lk.Bkµ joue le role des symboles de christoffel en RG.

L'objet de ce terme est d 'imposer une règle d'évolution du champ de matière par l 'intermédiaire des champs de jauge Bkµ (dans le cas de la RG cette évolution est complètement contrainte par le fait que l'espace de base possède une métrique).


Pour résumer la seule donnée d'une fibre sous la forme d'un groupe de Lie G (ce qui définit un fibré principal) permet de construire une loi d'évolution des vecteurs dans les fibrés associés cad dans les espaces vectoriels V dans lesquels agissent le groupe de Lie G.