Forme des films de savon.

[invite1fddea83]

Bonjour à tous,

M'étant informé sur les surfaces minimales en mathématiques, je me pose la question suivante :

Sait-on prévoir (numériquement) la forme d'un film de savon, ayant plongé un contour donné dans une eau savonneuse?

Je sais que cela revient à déterminer une surface minimale (d'après l'équation de Laplace-Young) s'appuyant sur un contour donné, c'est le difficile problème de Plateau seulement résolu il y a peu de temps.

Je précise la petite nuance entre surface minimale et surface d'aire minimale :
Surface minimale = surface de courbure moyenne partout nulle.
Surface d'aire minimale parmi les surfaces s'appuyant sur un contour donné => surface minimale, mais la réciproque n'est pas toujours vraie (presque toujours vraie on va dire, mais il existe des cas pathologiques).

Il s'agit donc de résoudre une équation aux dérivées partielles avec conditions aux bord, cf mon post : http://forums.futura-sciences.com/ma...tiellesoe.html dans lequel j'impose pour commencer des conditions aux bords très simples (on doit normalement trouver un plan).
Cependant, cette équation semble très dure à résoudre numériquement (jamais rien vu à ce sujet).

D'ou ma question : sait-on aujourd'hui, par des méthodes numériques, prévoir la forme d'un film de savon s'appuyant sur un contour donné?

Merci d'avance.
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[invite111cf9ee]

Salut

Ah... je ne sais pas si je pourrais rentrer dans les details, j'ai eu un petit apercu en cours mais le limsi doit avoir la reponse

Oui en tout cas, c'est possible je crois
Mais en meme temps, si tu as le contour, le film aura forcement la forme du contour non?

En tout cas on avait montrer la forme d'un film pris entre deux cercles. Je ne sais plus comment ca s'appelle cette forme. Comme une sorte de revolution de paraboles

[invite1fddea83]

le limsi doit avoir la reponse

Merci, je vais me renseigner.

En tout cas on avait montrer la forme d'un film pris entre deux cercles. Je ne sais plus comment ca s'appelle cette forme. Comme une sorte de revolution de paraboles.

C'est la caténoide, figure de révolution engendrée par une chainette en fait (cosinus hyperbolique). Et encore, c'est valable quand la distance entre les cercles n'est pas trop grande devant leurs rayons.
Le problème est que dans ce cas on peut montrer que c'est une caténoide, mais pour des contours plus complexes, on ne peut pas (c'est un cas tout à fait particulier : on utilise l'argument : la surface est de révolution, et les mathématiques nous disent que toute surface minimale de révolution est plane ou est une partie de caténoide).

Mais en meme temps, si tu as le contour, le film aura forcement la forme du contour non?

Je ne suis pas sur de te suivre : considère l'exemple suivant : http://interstices.info/upload/courb...-savon-grd.jpg

Oui en tout cas, c'est possible je crois

Je ne suis pas sur, je n'ai vraiment rien trouvé à ce sujet et l'équation n'inspire pas des masses.
Il est clair qu'on voit grosso modo à quoi ça va ressembler, mais étant donné le contour du lien ci-dessus par exemple, peut-on tracer la forme de la surface savonneuse à l'aide d'un logiciel de simulation par exemple? Est-ce que ce genre de logiciels existent à l'heure actuelle?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
C'est très piège: avec un contour fait de fil de rayon non nul, on peut avoir une membrane alors que le contour n'est pas fermé.

Si non, la condition mathématique est que le rayon de courbure est infini si la pression est la même de deux côtés. Et si non il est donné par le théorème de Laplace.

Pour ce qui est des méthodes numériques, je vous conseille "Numerical Recipes" de Press, Flannery, etc. C'est une vraie bible et les programmes qui viennent avec, fonctionnent!
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite111cf9ee]

Ah bien vu! Je pensais a des contours 2D uniquement

Mais il me semble que mon prof le faisait sur matlab... mais ca, je n'en suis pas sur

mmmh... desole de pas apporter vraiment de reponse mais je suis curieux aussi de voir si qqn a la reponse, je vais continuer a surveiller le topic

bon courage

[invite2c6a0bae]

Vous pouvez vous tourner vers le programme de Ken Brakke (peu user friendly cependant...) surface evolver. Il existe toute une littérature où les auteurs utilisent ce logiciel. Je l'ai utilisé lors d'un stage pour faire des écoulements de mousses 2D.

http://www.susqu.edu/brakke/evolver/

Bon courage

[Jaunin]

Bonjour,Yep56,
Un lien ci-joint qui peut vous apporter quelque renseignement.
Cordialement.
Jaunin__

http://books.google.ch/books?id=5B19...page&q&f=false

[invite111cf9ee]

Ah merci pour les liens!
Alors la reponse serait oui