0.99999...= 1 ????

[invite6754323456711]

??? Vous en avez une autre à proposer ? C'est la définition de l'écriture décimale de position que vous mettez en question !

Conserver la notation sous forme de fraction.

Cette "Démonstration" :

X=0,9999….
10 x X =9,999…
10x X – X = 9xX = 9
Et donc que X=1 CQFD

en trouble plus d'un car on a l'impression d'un paradoxe

D'autant plus que si on le développe ainsi :

X = (9/10+9/100+ ……+9/10^n)

10xX= (9+9/10+………+9/10^n-1)

10xX-X=9X= (9+9/10+………+9/10^n-1)- (9/10+9/100+ ……+9/10^n) = 9 -9/10^n

D’où X=1 – 1/10^n

Ce qui donne avec la notion de limite

X = limite (9/10+9/100+ ……+9/10^n) quand n tend vers inf
10xX= limite (9+9/10+………+9/10^n-1) quand n tend vers inf
10xX-X=9X= limite (9+9/10+………+9/10^n-1) quand n tend vers inf - limite (9/10+9/100+ ……+9/10^n) quand n tend vers inf
= limite [(9+9/10+………+9/10^n-1)- (9/10+9/100+ ……+9/10^n)] quand n tend vers inf

Donc
9xX = limite (9 -9/10^n) quand n tend vers inf = 9

X=1 correspond bien à la limite cherchée.

Ce qui explique que cette question revienne souvent c'est que beaucoup de personnes ne connaissent pas, ou ne maîtrisent pas, la définition de l'écriture décimale (ou tout autre base) de position ; en connaissant cette définition, il n'y a aucune question sur cette égalité (entre autres), ni convention tordue.

Pourtant si apparemment simple et loin d'être clair pour une bonne majorité. Il me semble qu'il a de quoi s'interroger.


Patrick
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[Médiat]

Conserver la notation sous forme de fraction.

pas pratique pour racine(2).

Pourtant si apparemment simple et loin d'être clair pour une bonne majorité. Il me semble qu'il a de quoi s'interroger.

Nous sommes d'accord, l'enseignement des bases des mathématiques n'est pas parfait, bien expliqué en primaire pour les décimaux, le passage à la limite et aux irrationnels ne devrait pas posé de problème en secondaire.
Ce n'est pas parce que la majorité à objectivement tort, que l'on va changer les mathématiques.

[invite6754323456711]

??? Vous en avez une autre à proposer ?

Cette écriture conventionnelle 0,9 me semble plus approprié car attire plus l'attention sur l'aspect périodique du 9 qui répété à l'infini ne laisse la place à aucun réel entre 0,9 et 1. C'est donc un seul et même réel.

X = 1/3 = 0,3
3 x X = 3 x 0,3 = 0,9 = 1

Patrick

[invite7863222222222]

C'est donc un seul et même réel.

Mouais le donc n'est pas très clair, pourquoi s'il n'est pas possible de trouver un réel entre deux réels alors ces deux réels devraient-ils être égaux ?
Il me semble que le problème avec 0.999... c'est de le considérer comme autre chose que comme une convention pour dénommer la limite.

[stefjm]

pas pratique pour racine(2).

Pas si désagréable en fraction continue :
[1 2 2 2 2 2 ...]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282%29
Cordialement.

[DarK MaLaK]

pas pratique pour racine(2).

Nous sommes d'accord, l'enseignement des bases des mathématiques n'est pas parfait, bien expliqué en primaire pour les décimaux, le passage à la limite et aux irrationnels ne devrait pas posé de problème en secondaire.
Ce n'est pas parce que la majorité à objectivement tort, que l'on va changer les mathématiques.

Et comment faut-il l'enseigner ? Moi en gros on m'a dit que c'était pour introduire de nouveaux nombres pour que certaines équations puissent avoir une solution (et on faisait des cercles concentriques pour les ensembles).

Pour les nombres entiers négatifs : x+1=0 par exemple
Ensuite pour les fractions finies : 2x=3
Pour les irrationnels : x²-2=0
Pour les complexes : x²+1=0 (même si je sais maintenant qu'ils sont en fait apparus pour résoudre des équations du troisième ordre)

Est-ce insuffisant pour comprendre ?

[stefjm]

Est-ce insuffisant pour comprendre ?

T'as pas les transcendants. (pi, e)

[DarK MaLaK]

Mouais le donc n'est pas très clair, pourquoi s'il n'est pas possible de trouver un réel entre deux réels alors ces deux réels devraient-ils être égaux ?
Il me semble que le problème avec 0.999... c'est de le considérer comme autre chose que comme une convention pour dénommer la limite.

Il me semble clair que 0,999... sous-entend qu'il y a une infinité de 9, alors que 0,99...9 est un nombre fini...

Quand je vois ces deux notations, je suis tenté d'écrire :

[invite7863222222222]

Il me semble clair que 0,999... sous-entend qu'il y a une infinité de 9

Oui mais pour parler d'une limite, c'est pas trop mal de parler d'une infinité de 9.

[Médiat]

Cette écriture conventionnelle 0,9 me semble plus approprié

Si vous m'avez déjà lu sur ce sujet, vous savez très bien que je préfère cette écriture qui donne sans ambiguité la partie périodique, je n'ai fait ici que reprendre l'écriture utilisée sur ce fil.
En tout état de cause la notation ne change rien, si l'on sait ce qu'est la numération décimale de position ; la connaissance du concept prévaut sur l'utilisation d'une convention d'écriture.

[Médiat]

Pas si désagréable en fraction continue :
[1 2 2 2 2 2 ...]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282%29
Cordialement.

Ce qui n'est pas une fraction, et fait aussi appel à la notion de limite !

[Médiat]

Et comment faut-il l'enseigner ? Moi en gros on m'a dit que c'était pour introduire de nouveaux nombres pour que certaines équations puissent avoir une solution (et on faisait des cercles concentriques pour les ensembles).

Pour les nombres entiers négatifs : x+1=0 par exemple
Ensuite pour les fractions finies : 2x=3
Pour les irrationnels : x²-2=0
Pour les complexes : x²+1=0 (même si je sais maintenant qu'ils sont en fait apparus pour résoudre des équations du troisième ordre)

Est-ce insuffisant pour comprendre ?

Oui : vous n'avez rien dit des nombres non algébriques (les transcendants).

[DarK MaLaK]

T'as pas les transcendants. (pi, e)

C'est vrai, mais je n'ai pas non plus les nombres premiers, car ils font partie des entiers en fait. Mais pour une première approche, c'est suffisant non ?

[Médiat]

C'est vrai, mais je n'ai pas non plus les nombres premiers, car ils font partie des entiers en fait. Mais pour une première approche, c'est suffisant non ?

En fait la question n'est pas là, mais sur l'enseignement de la numération décimale de position, de son usage, de sa définition, de sa justification.

[invite6754323456711]

En tout état de cause la notation ne change rien, si l'on sait ce qu'est la numération décimale de position ;

La différence est me semble t-il être le noeud au mouchoir qui rappelle qu'il faut se rappeler de quelque chose.

Patrick

[invite6754323456711]

Mouais le donc n'est pas très clair, pourquoi s'il n'est pas possible de trouver un réel entre deux réels alors ces deux réels devraient-ils être égaux ?

« L’éternité c’est long, surtout sur la fin… » Woody Allen

Si deux nombres réels sont différents on peut toujours en trouver un autre qui s’intercale entre les deux précédents ; Autrement dit, par contraposition : si on ne peut intercaler un nombre entre deux autres c’est que ces deux derniers sont égaux.

En quoi c'est pas clair ?

Patrick

[invite6754323456711]

Il me semble clair que 0,999... sous-entend qu'il y a une infinité de 9, alors que 0,99...9 est un nombre fini...

Il me semble que l'ambiguïté de cette notation avec les trois petits points est la lecture dynamique des trois petits points qui induit une appréhension « potentialiste » de l’infini (Achille et la tortue) qui n’ai, en fait, pas le cas ici puisque l’infini y est en acte ! « 0,999… » c’est tout « 1 »

Patrick

[invite7863222222222]

« L’éternité c’est long, surtout sur la fin… » Woody Allen

Si deux nombres réels sont différents on peut toujours en trouver un autre qui s’intercale entre les deux précédents ; Autrement dit, par contraposition : si on ne peut intercaler un nombre entre deux autres c’est que ces deux derniers sont égaux.

En quoi c'est pas clair ?

Patrick

Oui donc les deux nombres ne sont pas différents.

[invite6754323456711]

Oui donc les deux nombres ne sont pas différents.

Pour vous en convaincre essayez d’intercaler un nombre entre 0,9 et 1 ! Bonne chance !...

Patrick

[invite7863222222222]

Pour vous en convaincre essayez d’intercaler un nombre entre 0,9 et 1 ! Bonne chance !...

Patrick

J'adore cette démonstration !

[stefjm]

L'inverse de 0.99999..., ou 2-0.99999, c'est 1.
La notation 1.0000....1 n'a pas de sens : il n'y a pas de dernier chiffre au développement décimal d'un nombre.

0.9 < 1 < 1.1
0.99 < 1 < 1.01
0.9999 < 1 < 1.0001
....
Xmin < 1 < Xmax avec Xmax= 1-Xmin+1

Je dois être fatigué mais je ne vois plus pourquoi le développement symétrique à 0.9 en 1-0.9+1 n'est pas acceptable?

Cordialement.

[invite6754323456711]

J'adore cette démonstration !

Elle c'est volontairement voulue resté dans l'esprit afin de ne pas troubler la logique ...

Oui donc les deux nombres ne sont pas différents.

Patrick

[invite6754323456711]

Je dois être fatigué mais je ne vois plus pourquoi le développement symétrique à 0.9 en 1-0.9+1 n'est pas acceptable?

Peut être que la réponse que tu cherches est la http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post3066703

Car 0.9 = 1-0.9+1

Patrick

[invité576543]

J'adore cette démonstration !

Sauf qu'elle est "fausse". est entre les deux.

Faut préciser "insérer un réel" entre les deux (et la démo utilise un théorème spécifique aux réels).

Et cela reste la confusion entre la notation d'un nombre et la notation d'une série.

Soit il s'agit d'une notation, et la question "insérer" n'a pas de sens (l'égalité est par convention) ; soit il s'agit d'une série, et alors 0.999... et 1.000... dénotent deux séries différentes qui se trouvent avoir la même limite dans les réels (et l'égalité est celle des limites dans R, ce n'est pas l'égalité des séries).

Selon ma vue, tant qu'il y aura des intervenants pour maintenir la confusion entre notation d'un nombre et notation d'une série, la discussion pourra continuer (en tournant en rond autour de la question de fond, qui est la distinction entre nombre et série).

[invite6754323456711]

Sauf qu'elle est "fausse". est entre les deux.

On est nombreux à ne pas comprendre ton génie : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9..._d.C3.A9cimaux

Patrick

[invité576543]

On est nombreux à ne pas comprendre ton génie

Bof... L'explication qui suit la phrase que tu as citée n'est-elle pas suffisamment claire ?

Pour me répéter, la propriété que tu indiques "pas de nombres entre 0.999.... et 1" n'a pas de sens qu'en considérant que ce sont des objets différents, et donc des séries.

Ensuite, la propriété "rien entre" est plus forte que "même limite" (par exemple dans C, on a égalité des séries 9/10^ke et 1.0000..., mais la notion de "entre" n'est pas applicable).

Du coup, autant dire "même limite", c'est plus clair. Et "rien entre" n'est pas une démo plus claire, puisqu'elle demande de montrer que la limite est la même.

Et pas ailleurs, cela ne change pas mon point, que toi comme d'autres confondent notation et séries. (Pour moi, 0.999... est la notation d'un nombre, pas d'une série. C'est d'ailleurs en ligne avec le wiki que tu cites, qui parle d'une écriture, e.g., "Écriture décimale d'un rationnel" (1)).

PS : Cela veut dire que pour moi l'assertion "toutes les décimales de 1 sont 9" est correcte ou non par convention, et par convention uniquement. De même, c'est par convention qu'on choisit laquelle des deux assertions suivantes est vraie "un nombre est décimal si toutes ses décimales sont égales à 9 à partir d'un certain rang" ou "il n'existe pas de nombre dont toutes les décimales sont égales à 9 à partir d'un certain rang".

[invite6754323456711]

Et pas ailleurs, cela ne change pas mon point, que toi comme d'autres confondent notation et séries. (Pour moi, 0.999... est la notation d'un nombre, pas d'une série. C'est d'ailleurs en ligne avec le wiki que tu cites, qui parle d'une écriture, e.g., "Écriture décimale d'un rationnel" (1)).

Sauf, me semble t-il, que c'est une notation non anodine contrairement à poser par convention par exemple Un = 1. Elle découle d'un formalisme. Dans 0,9 le 9 a une signification/sémantique.

Patrick

[invité576543]

Sauf, me semble t-il, que c'est une notation non anodine contrairement à poser par convention par exemple Un = 1. Elle découle d'un formalisme.

Certes.

Mais c'est vrai de la plupart des notations en maths (et encore plus en physique) !!

La seule chose qui semble particulière à celle-là est qu'on la découvre dès le primaire...

Bien comprendre les possibilités et les limites d'une notation, c'est juste bien connaître un outil de communication.

---

Mais mon point reste : est-on d'accord qu'il n'y a aucun problème ni question si on considère qu'il s'agit de notations (conventionnelles) de nombres. Ni aucun problème ni question si on considère qu'il s'agit de notations (conventionnelles) de séries (1)? (Et donc que c'est le mélange des deux qui est à l'origine de cette pléthore de fils sur le sujet ?)

(1) Ce qui en particulier permet de les utiliser en analyse non standard aussi bien que dans R pour mettre une autre lumière sur ma réaction à "rien entre".

[invite6754323456711]

Mais mon point reste : est-on d'accord qu'il n'y a aucun problème ni question si on considère qu'il s'agit de notations (conventionnelles) de nombres.

Cela me semble réducteur. Par exemple les nombres décimaux possèdent deux développements décimaux illimités, l’un fini, (avec des 0 indéfiniment), l’autre avec des 9 indéfiniment. Par uniquement pure convention on peut écrire 17/50 = 34/100 = 0, 34 = 0, 34000... = 0, 33999... "Zero virgule trente quatre". Je reste perplexe.

En ce qui concernent les nombres rationnels non décimaux, ils possèdent un unique développement décimal illimité périodique : si on pose la division du numérateur par le dénominateur, le nombre des restes possibles est inférieur au dénominateur, au bout d’un moment la division boucle.

Patrick

[Médiat]

Cela me semble réducteur. Par exemple les nombres décimaux possèdent deux développements décimaux illimités, l’un fini, (avec des 0 indéfiniment), l’autre avec des 9 indéfiniment.

Et alors ?

Par uniquement pure convention on peut écrire 17/50 = 34/100 = 0, 34 = 0, 34000... = 0, 33999... "Zero virgule trente quatre". Je reste perplexe.

De quelle convention parlez-vous ? De la définition de la numération décimale de position ?[/quote]