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0.99999...= 1 ????

  1. #1
    helicop-addict

    0.99999...= 1 ????

    Bonjour,

    On m'a récemment demandé si 0.9999... à l'infini est égal à 1.

    Je pense avir trouvé une méthode pour le démontrer mais je ne suis sûr de rien.

    Ma démonstration :

    Soit a le nombre 0.9999999... à l'infini.
    10a = 9.99999... à l'infini
    9.99999... - 0.99999 = 10a - a = 9a = 9
    Or 9a = 9
    a = 9/9 = 1
    Donc 0.9999... = 1

    Est-ce une démonstration valable ou non?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Tiluc40

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Bonjour,
    Oui, c'est valable.

  4. #3
    aurelien1558

    Re : 0.99999...= 1 ????

    voilà ce que je te propose:

    1=1
    3/3=1
    3*(1/3)=1
    3*0.33333...=1
    0.999999...=1

  5. #4
    alovesupreme

    Re : 0.99999...= 1 ????

    0.9 0.99 0.999 etc est une suite de rationnels qui est une suite de cauchy dans l'ensemble des réels et qui y converge vers 1. F a été construit de telle facon que ces limites y convergent.

  6. #5
    Scorp

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par aurelien1558 Voir le message
    voilà ce que je te propose:

    1=1
    3/3=1
    3*(1/3)=1
    3*0.33333...=1
    0.999999...=1
    Ce n'est pas valable car tu reporte juste le problème de savoir si 0.999999=1 sur le problème est ce que 0.333333=1/3 !!!

    Comme il a été dit, c'est un problème de limite. Il faut donc expliciter cette suite 0,9 0,99 0,999 et montrer qu'elle converge bien vers 1.

    Cette suite s'exprime très bien par récurrence qui converge bien vers 1

  7. #6
    skeptikos

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Bonjour,
    Cette question a fait l'objet de nombreuses discutions dans de nombreux forums. Tout est dit dans:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:El_Caro/0,999
    @+

  8. #7
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Bonjour,

    Oui mais entre avec pour limite 1 ou converger vers 1 et être égal à 1, il y a une (grosse) différence...

  9. #8
    invité576543
    Invité

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Edelweiss68 Voir le message
    Oui mais entre avec pour limite 1 ou converger vers 1 et être égal à 1, il y a une (grosse) différence...
    Laquelle quand il s'agit d'une notation ?

    Quel est le problème avec l'assertion :

    "La notation 0.9999... est toute aussi valable pour dénoter le nombre rationnel un qu'est la notation 0.3333... pour dénoter le nombre rationnel 1/3."

    La notation 0.3333... est-elle celle d'une série? Ou celle d'un nombre rationnel ?

    S'il y a une (grosse) différence, elle est là, c'est à dire dans la convention de ce que représente l'écriture 0.3333....

    (Et que représente 0.5000... ? Une série ou un nombre ? Quelle différence y a-t-il entre 0.5000... et 0.49999... ? Et faut-il faire une différence entre 0.5 et 0.5000... ? Si oui, laquelle ?)

  10. #9
    stefjm

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Bonjour,
    Pour le plaisir de confronter une idée fixe à une idée unique.
    Je trouve que le 0.9999=1.0001 est très physique. (par défaut et par excès, en symétrie et en inverse)
    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  11. #10
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Laquelle quand il s'agit d'une notation ?

    Quel est le problème avec l'assertion :

    "La notation 0.9999... est toute aussi valable pour dénoter le nombre rationnel un qu'est la notation 0.3333... pour dénoter le nombre rationnel 1/3."
    Pas de problème avec ça puisque la notation inclue la notion de limite.

    La notation 0.3333... est-elle celle d'une série? Ou celle d'un nombre rationnel ?
    Nombre rationnel puisque il s'agit du quotient de deux entiers relatifs.

    S'il y a une (grosse) différence, elle est là, c'est à dire dans la convention de ce que représente l'écriture 0.3333....

    (Et que représente 0.5000... ? Une série ou un nombre ?
    Une série...

    Quelle différence y a-t-il entre 0.5000... et 0.49999... ?
    0,0000...1

    Et faut-il faire une différence entre 0.5 et 0.5000... ? Si oui, laquelle ?)
    J'en fait une, la deuxième notation est plus précise.

  12. #11
    DarK MaLaK

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Salut, et le raisonnement suivant par une série ne fonctionne-t-il pas ?



    Donc s'il y a une infinité de décimales, on obtient que N tend vers l'infini et que 0,9999...=1.

    Par contre, je n'arrive pas à tenir le même raisonnement pour 1,000...1.

  13. #12
    erik

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Par contre, je n'arrive pas à tenir le même raisonnement pour 1,000...1.
    Peut être que cela vient du fait que cette notation n'a aucun sens ?
    Comment veux tu définir 1,000...1 ?

  14. #13
    DarK MaLaK

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    Peut être que cela vient du fait que cette notation n'a aucun sens ?
    Comment veux tu définir 1,000...1 ?

    C'est justement ce que je me demande, et ce que j'espérais que quelqu'un me définisse, si jamais une définition existe !

  15. #14
    mach3

    Re : 0.99999...= 1 ????

    c'est le 99999....9é fil sur le sujet : http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  16. #15
    stefjm

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    Peut être que cela vient du fait que cette notation n'a aucun sens ?
    Comment veux tu définir 1,000...1 ?
    Comme étant l'inverse de 0.9999... à la même précision?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  17. #16
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Ou 2-0,9999...

  18. #17
    telchar

    Re : 0.99999...= 1 ????

    L'inverse de 0.99999..., ou 2-0.99999, c'est 1.

    La notation 1.0000....1 n'a pas de sens : il n'y a pas de dernier chiffre au développement décimal d'un nombre.

  19. #18
    invite6754323456711
    Invité

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    S'il y a une (grosse) différence, elle est là, c'est à dire dans la convention de ce que représente l'écriture 0.3333....
    C'est bien cette convention qui crée l'ambiguïté et laisse entendre une notion de limite.

    Ce fameux 0,9… avec des neuf à l’infini peut aussi s'interpréter sous la forme d’une série 9 x 1/10^n dont la limite est égale à 1 quand n tend vers l’infini. La formulation d’une telle limite s’écrira donc : Limite (9/10 + 9/100 + 9/1000+…9/10^n) quand n tend vers inf = 1. Et dans ce cas Il serait incorrect d’écrire que cette limite est égale à 0,999…. car cela reviendrait à dire que la limite d’une série Sn est égale à cette même série Sn.

    L’ensemble R des nombres réels peut ce formuler ]-inf ;+inf [ ce qui implique bien que le -inf et le +inf ne font pas partis de R. Si c'est une limite il est donc incorrect d'écrire 0,99999 .. = 1 non ?

    L’ensemble Q, quant à lui, est parfaitement bien défini. 1/3 = 1/3

    Patrick

  20. #19
    telchar

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Un développement décimal d'un réel strictement positif est une suite d'entiers compris entre 0 et 9, tels que


    Il est traditionnellement noté en juxtaposant les termes de la suite, en mettant la virgule à gauche de : 123,56..

    On montre assez facilement qu'un nombre décimal admet exactement deux développements décimaux (l'un se terminant par des 0, l'autre par des 9) alors qu'un nombre non décimal admet un développement unique.

    Tout cela est parfaitement standard, sans rien de spéculatif. Notamment on a bien 0,9999.. = 1,0000..

  21. #20
    DarK MaLaK

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Comme étant l'inverse de 0.9999... à la même précision?
    En fait je pense que ce que veulent nous dire telchar et erik est que 0,999... a une précision infinie (et c'est pourquoi on peut prendre la limite de la série) alors que 1,00...1 aura forcément une précision finie, et donc on doit s'arrêter à un certain ordre N...

  22. #21
    Médiat

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Si c'est une limite il est donc incorrect d'écrire 0,99999 .. = 1 non ?
    Pourquoi ? S'il a été démontré que la limite existe et est égale à 1, où est le problème ?

    Rappel : La notation 0,9999... inclut la limite (celle de la série décrite par DarK MaLaK)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  23. #22
    pelkin

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    En fait je pense que ce que veulent nous dire telchar et erik est que 0,999... a une précision infinie (et c'est pourquoi on peut prendre la limite de la série) alors que 1,00...1 aura forcément une précision finie, et donc on doit s'arrêter à un certain ordre N...
    Alors là, il va falloir préciser :

    Ce qu'est une précision infinie
    Ce qu'est une précision finie
    Tant qu'on y est, précisons donc la notion de précision
    Et , je sais, je suis ch.... mais j'aimerais franchement savoir ce qu'est l'ordre N ... et accessoirement sa précision finie (vous pouvez rajouter, pour me faire plaisir, à quel ordre s'apprente la précision infinie) .... et accessoirement m'expliquer le langage mathématique utilisé

  24. #23
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    L’ensemble R des nombres réels peut se formuler ]-inf ;+inf [ ce qui implique bien que le -inf et le +inf ne font pas partis de R. Si c'est une limite il est donc incorrect d'écrire 0,99999 .. = 1 non ?
    Ben voilà c'est ce que je pense...

  25. #24
    Médiat

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Edelweiss68 Voir le message
    Oui mais entre avec pour limite 1 ou converger vers 1 et être égal à 1, il y a une (grosse) différence...
    Citation Envoyé par Edelweiss68
    Ben voilà c'est ce que je pense...
    La première phrase n'est pas "grammaticalement" correcte, car "avec pour limite 1" ou "converger vers 1" s'applique à des suites (ou des séries, qui peuvent se voir comme des suites), et aucune suite n'est égale à 1, pas même la suite constante définie par un = 1.
    Par contre 0,9999... ne représente pas une suite, mais la limite, si elle existe, d'une certaine suite, écrire que "0.9999... a pour limite" est une phrase fondamentalement incorecte, puisque 0.999... est cette limite (puisque l'on sait démontrer qu'elle existe).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #25
    DarK MaLaK

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par pelkin Voir le message
    Alors là, il va falloir préciser :

    Ce qu'est une précision infinie
    Ce qu'est une précision finie
    Tant qu'on y est, précisons donc la notion de précision
    Et , je sais, je suis ch.... mais j'aimerais franchement savoir ce qu'est l'ordre N ... et accessoirement sa précision finie (vous pouvez rajouter, pour me faire plaisir, à quel ordre s'apprente la précision infinie) .... et accessoirement m'expliquer le langage mathématique utilisé
    Euh, ce que je voulais dire, c'est que le nombre 0,999... a une infinité de 9 alors que pour le nombre 1,00...1, le nombre de 0 est forcément fini puisque le nombre est fini (il y a un 1 au bout). Cela me paraissait évident, peut-être que ça ne l'est pas dans une théorie rigoureuse de la mesure et de la précision ?

  27. #26
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    En fait je pense que ce que veulent nous dire telchar et erik est que 0,999... a une précision infinie (et c'est pourquoi on peut prendre la limite de la série) alors que 1,00...1 aura forcément une précision finie, et donc on doit s'arrêter à un certain ordre N...
    Pourquoi l'infini + 1 aurait une précision plus finie que l'infini?

  28. #27
    Edelweiss68

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    La première phrase n'est pas "grammaticalement" correcte, car "avec pour limite 1" ou "converger vers 1" s'applique à des suites (ou des séries, qui peuvent se voir comme des suites), et aucune suite n'est égale à 1, pas même la suite constante définie par un = 1.
    Par contre 0,9999... ne représente pas une suite, mais la limite, si elle existe, d'une certaine suite, écrire que "0.9999... a pour limite" est une phrase fondamentalement incorecte, puisque 0.999... est cette limite (puisque l'on sait démontrer qu'elle existe).
    OK en gros je compare ce qui n'est pas comparable dans ma première phrase

  29. #28
    DarK MaLaK

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Edelweiss68 Voir le message
    Pourquoi l'infini + 1 aurait une précision plus finie que l'infini?
    Ben ce que je veux dire, c'est que dans le nombre 1,00...1, j'ai l'impression que ça n'a pas de sens de dire qu'il y a une infinité de zéros et à la fin un 1, car dans cas le nombre serait fini et infini à la fois, donc j'en ai conclu qu'il ne pouvait y avoir au mieux que N zéros pour que la notation ait un sens.

  30. #29
    invite6754323456711
    Invité

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Rappel : La notation 0,9999... inclut la limite (celle de la série décrite par DarK MaLaK)
    C'est plutôt tordu comme convention, ce qui doit expliquer pourquoi cette question réapparaît si souvent.

    Patrick

  31. #30
    Médiat

    Re : 0.99999...= 1 ????

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    C'est plutôt tordu comme convention
    ??? Vous en avez une autre à proposer ? C'est la définition de l'écriture décimale de position que vous mettez en question !


    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    ce qui doit expliquer pourquoi cette question réapparaît si souvent.
    Ce qui explique que cette question revienne souvent c'est que beaucoup de personnes ne connaissent pas, ou ne maîtrisent pas, la définition de l'écriture décimale (ou tout autre base) de position ; en connaissant cette définition, il n'y a aucune question sur cette égalité (entre autres), ni convention tordue.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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