A propos d'équations physiques : Schrodinger , Einstein ... , etc

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

J'ai quelques questions qui me préoccupent depuis longtemps, et qui sont d'ordre général, je vous les présente à vous tous :

J'aimerais savoir si on sait de nos jours résoudre mathématiquement ( i.e : Analytiquement ) des équations fondamentales en physique telles l'équation de Schrödinger, l'équation d'Einstein, l'équation de Yang-Mills, ... , etc et ce de manière complète ? Si oui, pouvez vous me diriger vers un cours qui parle davantage de ces méthodes de résolution ?
Si la réponse est négative, est ce que en soi, la résolution de ce type d'équations est d'une priorité fondamentale en physique et comment réussit t-on a comprendre ces domaines comme la mécanique quantique, la théorie de relativité, la théorie des champs sans savoir résoudre ces équations qui occupent une grande place dans ces théories ? Racontez moi ça svp en détail.
Pour infos, je suis géomètre algébrique et je fais très peu d'analyse ainsi que très peu de Physique. Donc, si mes questions sont bêtes, veuillez m'excuser.

Merci d'avance.
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[LPFR]

Bonjour.
Beaucoup de problèmes en physique n’ont pas de solution analytique. Et ceci, même pour la physique classique newtonienne. Par exemple, on n’a pas de solution analytique pour 3 corps (ou plus) soumis à leurs attractions gravitationnelles mutuelles (N-body problem).
Pour ce qui est de la compréhension, elle ne provient pas des équations. C’est l’inverse : c’est uniquement une fois qu’on a compris un problème que l’on peut écrire les équations qui le modélisent.
Mais il est vrai que, parfois, on peut trouver des solutions qui n’avaient pas été soupçonnées. C’est le cas de l’assistance gravitationnelle (sling-shot) dans le mouvement des sondes spatiales, qui fut découvert au cours des simulations à l’ordinateur.
D’autres problèmes peuvent être compris sans même écrire des équations. C’est le cas des orbitales atomiques ou moléculaires. Mais cela ne veut pas dire que la compréhension du problème permette de trouver des solutions analytiques ou numériques.
Les physiciens ont besoin des mathématiciens. Mais ceux-ci n’ont pas toujours de réponse à donner. Il faut se débrouiller « à la physicien », en faisant des approximations... ou des calculs numériques.
Au revoir.

[Amanuensis]

HS:

Mais il est vrai que, parfois, on peut trouver des solutions qui n’avaient pas été soupçonnées. C’est le cas de l’assistance gravitationnelle (sling-shot) dans le mouvement des sondes spatiales, qui fut découvert au cours des simulations à l’ordinateur..

Peut-être côté zétazuniens ne sachant pas lire le russe, voir https://en.wikipedia.org/wiki/Gravit..._of_the_method

[LPFR]

Re.
Au temps pour moi. J’avais lu cela dans un texte de la NASA qui donnait même le nom du « découvreur ».
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Salut, pour commencer, je te conseille les 3 tomes de géométrie contemporaine de Novikov,Fomenko, Doubrovine, surtout , le 2 où il y a les équations de la RG et de yang-Mills, il y'a un peu de tous, mais avec des méthodes algébriques comme le mouvement coplanaire ou rigide de N cops dans le 3 ème tome (méthodes de la théorie de l'homologie ).
il ne faut pas oublié que la physique a donné des grands mathématiciens ....

[azizovsky]

voici un type de mathématicien qui sais à quoi sert ses outils : http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf

https://link.springer.com/chapter/10...-642-31031-7_3
.....

[Anonyme007]

Merci beaucoup pour ces précisions LPFR , Amanuensis, et azizovsky.
Mais, pour être assez franc et direct, est ce que la résolution analytique ( théorique ) et non numérique, de ce type d'équations que j'ai cité plus haut, constitue une grande priorité en physique ?
Merci d'avance.

[stefjm]

Il a été prouvé que certains problèmes n'ont pas de solutions analytiques. On ne les cherche donc plus.
Reste à changer la modélisations pour espérer une solution mathématique.

[Amanuensis]

On pourrait faire la distinction entre «aucune solution exacte connue» et «pas d'expression fermée décrivant l'ensemble des solutions». Et il y a des intermédiaires : que dire par exemple des solutions du problème à deux corps? Ce qu'on en connaît correspond-il à des «solutions analytiques»?

Et il y a tout un travail mathématique cherchant à trouver des solutions exactes aux équations apparaissant en physique...


(Notons à ce sujet que d'une certaine manière on n'a pas d'expression fermée de l'ensemble des solutions de l'équation x²=a sur les réels... Utile de réfléchir deux fois avant d'objecter à cela!)

[azizovsky]

Un exemple avec résumé ici :http://www.sciences.ch/htmlfr/physat...ntchamps01.php

L'électrodynamique quantique a fait défaut cependant dans les années 1940 pour décrire bon nombre de particules mises en évidence par les accélérateurs. Certes, d'une certaine manière, elle a été étendue pour décrire de nouvelles particules. Mais beaucoup d'entre elles semblaient jouir de propriétés dont l'électrodynamique quantique ne pouvait rendre compte.
En fait, la raison est simple... c'est une théorie dans laquelle aucune solution exacte n'est connue, une situation qui perdure jusqu'à nos jours (2008). La seule méthode de calcul disponible est appelée développement perturbatif. L'idée est essentiellement la même que celle du développement limité que l'on pratique dans le domaine du calcul différentiel. En l'occurrence, si nous ne savons pas calculer la valeur d'une fonction, nous la décomposons en une séquence de polynômes et l'approximation s'affine au fur et à mesure que nous prenons en compte des termes de degrés de plus en plus élevés. Un tel développement en série commence par un terme d'ordre zéro, qui est juste la valeur de la fonction inconnue en un certain point où l'on sait calculer cette fonction.
Dans le cas du développement perturbatif de l'électrodynamique quantique, le terme d'ordre zéro représente la propagation pure, sans interaction (l'intensité de l'interaction entre l'électron et le champ magnétique est mise à zéro). Dans cette approximation, l'électrodynamique quantique est une théorie des particules libres et elle est exactement calculable. Nous avons des électrons, des positons et des photons mais ils se croisent sans s'influencer. Le terme suivant dans le développement en série, celui du premier ordre, est aussi exactement calculable. Dans cette approximation, la théorie semble refléter assez fidèlement le monde réel. Des phénomènes physiques très intéressants apparaissent dans cette approximation de premier ordre de la théorie réelle de l'interaction photon-électron et la théorie s'accorde bien avec les résultats expérimentaux.
Malheureusement on eut tôt fait de découvrir que le calcul des termes de second ordre et des termes plus élevés semblait dénué de sens jusqu'à donner des valeurs infinies... aujourd'hui il n'existe encore que des méthodes de résolution approximatives et non totalement satisfaisantes dès lors on a été obligé de chercher une autre technique d'approximation se basant sur une renormalisation des équations... et les résultats sont extraordinairement bons (à la 11ème décimale près!) mais au fond cela sent un peu le bricolage sur mesure quand même...

[azizovsky]

il y'a aussi une utilité mathématique de quelques équations de la physique comme les équations de Yang-Mills (un sens géométrique profond) ou comme l'opérateur de Dirac dans le théorème d'indice....

[coussin]

Il y a une récompense de 1 million de dollars pour la résolution analytique de l'équation de Navier-Stokes si le cœur vous en dit.

[azizovsky]

aussi pour les équations de Yang-Mills.
wiki:

d'une part l’existence d'une théorie quantique des champs cohérente, fondée sur une théorie de Yang-Mills2*;
d'autre part l'existence d'un gap de masse (en) qui ne permet l'observation des gluons, particules élémentaires de la théorie quantique associées à toute théorie de Yang-Mills, que sous forme de combinaisons massives appelées boules de glu (glueball en anglais). Ce problème non résolu est intimement lié à celui du confinement de couleur qui affirme que seuls sont observables les états quantiques de charge nulle.
La résolution de ces deux points constitue l'un des problèmes du prix du millénaire3.

http://www.stat.physik.uni-potsdam.d...Yang_Mills.pdf

[0577]

Bonjour,

comme rappelé par Amanuensis, il n'est pas clair ce que "solution analytique" veut dire (de la même façon qu'il n'est pas clair ce que "résoudre une équation" veut dire) sans précisions additionnelles.

Il y a une récompense de 1 million de dollars pour la résolution analytique de l'équation de Navier-Stokes si le cœur vous en dit.

En particulier, personne ne parle de "résolution analytique de l'équation de Navier-Stokes". Le problème ouvert est celui de l'existence de solutions régulières pour toute condition initiale régulière.

aussi pour les équations de Yang-Mills.

Le problème du "mass gap" n'a que peu à voir avec les équations de Yang-Mills puisqu'il concerne la théorie de Yang-Mills quantique et non sa version classique.

[azizovsky]

je ne sais pas où réside la différence entre classique et quatique car dès le départ la théorie était inventé pour les particules élémentaire... :

Les travaux de C.N. Yang et R.Mills, qui eurent lieu au début des années cinquante, étaient basés sur l’hypothèse audacieuse que les propriétés symétriques des particules possèdent essentiellement un caractère local. Cette hypothèse constitue en quelque sorte la base d’une théorie de jauge d’un point de vue moderne. Cette hypothèse établit donc un pont entre les symétries globales et les symétries locales exactement comme le fait la théorie de la relativité générale d’Einstein qui relie les différents référentiels (voir la troisième partie). Ce qui est remarquable, c’est que la théorie de la relativité générale ne traite que la force de la gravité alors que la théorie de Yang-Mills ne traite que de la force nucléaire forte. Ainsi, Yang et Mills ont traité un problème microscopique d’une manière similaire à celle d’Einstein pour un problème d’une échelle de grandeur extrêmement éloignée. Cette similitude entre ces théories qui semblent initialement éloignées a permis au concept d’une symétrie de Jauge d’être promus comme fondement profond pour la formulation subséquente de théorie plus vaste, plus unificatrice.

C.N. Yang et R. Mills proposèrent que les interactions fortes puissent être décrit par une théorie de champs similaire à celle de l’électromagnétisme. Une telle théorie respecte le concept d’invariance de jauge comme il est expliqué dans la première partie. Ils proposèrent d’introduire un champ de vecteurs (champ de jauge) qui est responsable des interactions fortes entres les nucléons et en correspondance avec la conservation de
l’isospin. C.N. Yang et R.Mills ont remarqué que la conservation de l’isospin est identique aux exigences de l’invariance de toutes les interactions qui subissent les rotations d’isospin. En d’autres termes, cela signifie que l’orientation de l’isospin n’a pas de signification physique indispensable, c’est-à-dire que l’interaction électromagnétique peut être négligée. Comme on l’a déjà vu, sans l’interaction électromagnétique et en omettant la différence de masse, le neutron et le proton peuvent être considérés comme étant deux états de la même entité qui ne sont pas associés à une position dans l’espace.

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau.../YANGMILLS.pdf

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Merci à nouveau à vous tous pour toutes ces précisions.

J'ai un autre problème qui m’empêche d'avancer dans la compréhension de mes cours de physique :
Dans mon cours, on parle parfois de la notion du Hamiltonien de manière ambiguë :
en effet le terme Hamiltonien apparait dans deux contextes différents :
Il apparait dans le premier chapitre lorsqu'on évoque la notion du Hamiltonien comme la fonction transformée de Legendre du Lagrangien :
.
Il apparait aussi à la fin du meme chapitre lorsqu'on évoque la notion du Hamiltonien comme l'opérateur apparaissant dans l'équation de Schrödinger :

Alors j'aimerais savoir est ce qu'il y'a une différence entre ces deux notions du Hamiltonien, ou bien, il s'agit d'un meme objet et d'une meme notion ?
S'il s'agit d'un meme objet, pourquoi alors, le premier Hamiltonien est une simple fonction ( i.e : la fonction transformée de Legendre du Lagrangien ), alors que le second Hamiltonien est un opérateur de Hilbert ( i.e : l'opérateur apparaissant dans l'équation de Schrödinger ) ?

Merci infiniment pour vos éclaircissements.

[Deedee81]

Salut,

Il s'agit de la même notion mais pas du même objet. L'hamiltonien dépend du système considéré (l'hamiltonien d'un pendule n'est pas le même que l'hamiltonien de ma voiture) mais aussi du cadre théorique. Dans le cas quantique la différence n'est pas si flagrante car si tu considère par exemple l'oscillateur harmonique (par exemple un ressort parfait) :
H= p²/2m + 1/2 mw²x² (w = omega = pulsation)

Et si tu prends l'oscillateur harmonique quantique...... l'hamiltonien est exactement le même !!!! Si ce n'est que x et p sont maintenant des opérateurs et donc forcément H aussi.