Problème de viscosité

[mc222]

Bonjours, m'interressant aux phénomènes de viscosité, je me suis imaginé un problème:

Imaginons un bassin, du fond de ce bassin jahirait de l'eau d'un trou linéaire à une vitesse
Il ne faut pas perdre de vue que le bassin contient déja de l'eau, on a donc de l'eau qui est diffusée dans de l'eau.

Ma question : Quelle sera le profil de vitesse obtenue si il y a un régime premanant qui s'établit ?

J'ai fait le bilan sur un élément de volume et j'ai trouvé jusque là que deux forces : la visocosité et le poids.
Doit-je introduire une force de pression dynamique d'après vous ?

merci d'avance, a +
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[chwebij]

bonjour

Imaginons un bassin, du fond de ce bassin jahirait de l'eau d'un trou linéaire à une vitesse

qu'entends tu pas trou linéaire ????

Il ne faut pas perdre de vue que le bassin contient déja de l'eau, on a donc de l'eau qui est diffusée dans de l'eau.

l'eau s'autodiffuse microscopiquement en permanence même au repos.La seule chose qui se diffuse via la viscosité c'est la quantité de mouvement, l'eau est "brassée" mais pas diffusée.

Ma question : Quelle sera le profil de vitesse obtenue si il y a un régime premanant qui s'établit ?

tu commences par un problème un peu trop compliqué. Il faut tout d'abord que tu saches nommer les choses par leur nom. Lorsqu'un écoulement rapide sort d'un appendice, on dit qu'on a affaire à un jet. La phénoménologie du jet (en laminaire bien sûr) est bien connue.
Ton jet va entraîner le fluide environnant par viscosité. Le jet va donc s'évaser. L'étude analytique du jet se fait via la théorie des similitudes, en clair, le profil est invariant via une transformation.
On suppose que l'épaisseur du jet s'élargit selon une loi de puissance par rapport à la distance du début du jet qu'on nomme y ici, ainsi . Si x est la coordonnée transverse, on suppose que le profil de vitesse ne dépend que de la coordonnée définie par: qui est le rapport de la coordonnée transverse sur l'épaisseur du jet.
ce n'est pas tout car comme le jet entraine de plus en plus d'eau (élargissement du jet), sa vitesse maximum va décroitre en fonction de y.
Au final on suppose que la vitesse s'écrit comme:


du coup, on reprend les équations de NS avec les termes non-linéaires, on fait le changement de variable puis on résoud le problème qui est normalement solvable et on détermine aussi la puissance .

Je sais qu'il y a des arguments dimmensionelle qui permettent d'avoir sans se manger toutes les maths citées ci-dessus mais je ne les ai pas en tête.

sinon il parait plus judicieux d'aller voir dans un cours de méca flu au chapitre couches limites/similitudes/jet.
Il y a par exemples les livres de Patrick Chascaing qui sont très bien fait.

[mc222]

woua ! ca parrait bien au dela de mon niveau ! ^^

Je vais me rabattre sur des problèmes plus élémentaires je pense...

merci en tout cas, merci beaucoup !

Tant qu'on y est, je ne comprend pas comment Stokes à put trouver l'expression de la force sur la boule : la fameuse formule : F = -6.pi.n.r.v
Je ne m'attend pas à comprendre la démarche pour en arriver à cette formule, elle est réputée très compliquée, mais je ne comprend pas qu'il ait put trouvée un profil de vitesse stationnaire !
Si la bille va avance à une vitesse v par rapport au fluide, elle l'entraine avec lui, donc la force tend à devenir nulle.

Donc quand elle est constante dans le temps, elle est nulle nan?

[chwebij]

re
je ne comprend pas ton intérogation, si tu prends une particule soumise à une force f, la gravité par exemple et un frottement proportionnel à v, le PFD est alors:
avec

si f est indépendant du temps, on a alors bien un régime permanent avec
et le système va tendre vers cet état exponentiellement du genre

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

oui je suis bien d'accords, mais mon interrogation est plus fondamentale que ca:

Je ne comprend pas comment il a put trouver une force constante : pour moi, si on met une balle dans un liquide visqueux, la balle va entrainer le liquide avec elle jusqu'a ce que tout le liquide soit à la même vitesse que la balle, et donc que le gradient de vitesse sur les parois de la balle soit nul et donc que la force soit nulle.

Si on imagine un mur entrainé à une vitesse v et en contact avec un volume semi infinie de liquide visqueux, la force va varier avec le temps de même pour le profil de vitesse.
A t = 0, la profil sera une fonction du type Headviside avec v0 pour x négatif, (coté mur) et vitesse nulle pour tout x positif (coté fluide).
Ce profil va changer, (on aura une fonction d'erreur si c'est comme l'équation de la diffusion ou de la chaleur) jusqu'à obtenir une vitesse constante dans le fluide : la vitesse du mure.

Par analogie avec la bille , je ne vois pas pourquoi pour la bille, la force ne varirait pas avec le temps.

[mc222]

je suis en train de me dire que c'est justement parcqu'une bille n'est pas infiniment grande que la perturbation locale qu'elle engendre n'est que temporaire ( à un endroit donné de l'espace), donc ca tient pas la route ce que je dit plus haut.

[chwebij]

D'un point de vue énergétique, il parait impossible que le travail de la force gravitationnelle sur la particule mette en mouvement tout le liquide.
La particule ne va mettre en mouvement qu'une partie du fluide en mouvement. On peut d'ailleurs faire une petite estimation, supposons que la masse de fluide mise en mouvement ne dépend que de la vitesse de la particule (m/s) ,de la viscosité du fluide (m2/s) et le diamètre de la particule (m).
On peut estimer un temps caractéristique d'advection (qui est le temps de passage de la particule) et ainsi évaluer la distance de diffusion de la quantité de mouvement pendant le temps

plus la particule est rapide, moins elle entraine de fluide (car elle passe trop vite)! ce qui est un peu contre-intuitif.
De plus on montre que

soit


ce qui semble correct( j'ai checké dans mon cours ).

ps: c'est bien de s'intéresser à la méca flu!!!!!

[mc222]

salut, y a une truc qui m'échappe :

Comment on sait que la distance de diffusion évolue en racine carrée inverse du temps ?

En racine carrée, ça me parrait pas bête puisque par exemple en diffusion unidimentionnelle ( diffusion chimique, chaleur) le front de diffusion évolut en racine du temps, mais en racine inverse ???

[chwebij]

tu as raison, je me suis planté à l'écrire! fort heureusement, j'ai continué avec la bonne formule dans le terme juste à droite et pour la suite aussi!

[mc222]

ok, dans ce cas ca m'va

[mc222]

autre question, on a trouvé sur un autre poste la formule suivante :

la loi de Poiseuile:



Si on considère que le gradient de pression est apporté l'inclinaison du tuyau :





Cette formule nous donne donc la dénivelé minimale necessaire à l'écoulement du fluide, nn?