Tenseurs et questions....

[Paul1]

Bonjour,

Je me suis acheté un bouquin d'analyse tensorielle que je viens de finir et de nombreuses questions restent sans réponses...

Je ne comprend pas. Un tenseur est censé être un objet intrinsèque qui ne doit pas dépendre d'une base. Seulement pour l'écrire on doit le mettre sous forme contravariantes, covariante ou mixte donc introduire une base. Seulement lors de l'écriture en composantes covariantes les éléments d'une base de Vn* et lors de l'écriture en composantes contravariantes on utilise les éléments d'une base de Vn (et mixte les deux). Seulement les objets de Vn et Vn* sont fondamentalement différents. Donc à quel espace appartient un tenseur ? Est-ce que les représentations contra, cova et mixte sont les différente manière de voir un même objet appelé tenseur ? Dans ce cas n'existe-il pas une écriture générale d'un tenseur ?

Dans le livre que j'ai lu il n'explique à aucun moment qu'un tenseur est une application multilinéaire (ce que j'ai lu sur internet) quel est donc le lien avec la définition sur les espaces produits ? peut-on se passer de cette définition ?

Ah oui et puis l'identification de la base duale à la base réciproque n'est-elle pas franchement gênante ? même si il y a isomorphisme entre un espace et son duale c'est pas très propre non ?

Ça fait beaucoup de question

merci d'avance
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[chaverondier]

Donc à quel espace appartient un tenseur ? Le livre que j'ai lu n'explique à aucun moment qu'un tenseur est une application multilinéaire.

Dommage parce que c'est ça un tenseur. Un tenseur (covariant) en un point d'une variété est une application multilinéaire sur l'espace vectoriel tangent en ce point. On appelle aussi tenseur (par abus de langage) un champ de tenseurs (de même ordre n) sur un ouvert O d'une variété V, c'est à dire une application qui à chaque point x de l'ouvert O associe une application mutilinéaire d'un même ordre n.

Est-ce que les représentations contra, cova et mixte sont les différentes manières de voir un même objet appelé tenseur ?

Oui, du moins dans une variété munie d'une métrique souvent notée ds^2, c'est à dire d'un tenseur symétrique d'ordre 2, non dégénéré (cad dont le noyau se réduit à 0) permettant de passer de l'espace tangent à son dual via l'isomorphisme induit (en chaque point de la variété) par ce tenseur (entre l'espace vectoriel tangent et son dual, comme dans le cas particulier des espaces riemanniens ou pseudoriemanniens).

Pour répondre proprement aux questions que vous posez, comme vous en exprimez le souhait, il faut vous appuyer sur des documents donnant une présentation plus mathématique des tenseurs, c'est dire les présentant dans le cadre de la géométrie différentielle. Attention quand même au fait qu'une lecture attentive des bases de la géométrie différentielle (variétés, champs de vecteurs tangents, tenseurs, p-formes et dérivée extérieure, feuilletages, groupes de Lie, algèbres de Lie et torseurs, actions et représentations de groupe, revêtement groupe, application exponentielle...) demande pas mal de temps.

[Paul1]

Merci. J'ai commandé le libre "Eléments de calcul tensoriel" d'André Lichnerowicz. Apparemment plus rigoureux que l'ouvrage que je pocède.