Integration sur un volume d'un laplacien

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

J'ai une integration par partie à faire sur un volume est j'aimerai savoir si je me trompe:

voici ma relation à integrer:



avec : qui est le laplacien de U c'est a dire en coordonnées cartesiennes:




Il y a t il plusieurs facon d'integrer le terme ?

voici ce que j'ai commencé à faire:


on fait une integration par partie:



mais par contre je n'arrive pas à trouver la primitive de car j'ai une fonction à plusieurs variables et cela ca me perd un peu.

peut etre que l'on peu utiliser des transformations d'integrales pour resoudre cela ?
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[LPFR]

Bonjour.
Pour faire des utilisez \partial.
Il n'y a pas de méthode générale. Si psi ou le Laplacien de U ont des propriétés particulières, peut-être que l'on peut simplifier.

Finalement, vous pouvez oublier les intégrations par parties. En quelques décennies d'expérience en physique je n'ai pas trouvé, plus d'une ou deux fois, des problèmes pour lequel l'intégration par parties soit utile.

C'est quoi le problème précisément? Je n'arrive pas à deviner le sens physique du produit scalaire du Laplacien par un autre vecteur.
Au revoir.

[membreComplexe12]

Bonjour.
Pour faire des utilisez \partial.
Il n'y a pas de méthode générale. Si psi ou le Laplacien de U ont des propriétés particulières, peut-être que l'on peut simplifier.

Finalement, vous pouvez oublier les intégrations par parties. En quelques décennies d'expérience en physique je n'ai pas trouvé, plus d'une ou deux fois, des problèmes pour lequel l'intégration par parties soit utile.

C'est quoi le problème précisément? Je n'arrive pas à deviner le sens physique du produit scalaire du Laplacien par un autre vecteur.
Au revoir.

Bonjour,

En faite c'est une methode de Galerkine qui doit etre mis en place pour notre probleme:

on est donc obligé d'integrer ce terme par partie (le fait partie de la methode egalement).

en faite mon probleme est plutot mathematique mais je l'ai posé sur le forum de physique car les mécaniciens on l'habitude d'utiliser la methode de Galerkine lors de l'utilisation des elements finis

[LPFR]

Re.
Jamais eu à faire à ce monsieur.

Si vous faites le produit scalaire, vous vous trouverez avec une somme de termes du type:

Et là vous pouvez intégrer par parties et la primitive de la dérivée seconde est la dérivée première. Mais il faut aussi exprimer dV en fonction des x,y et z. (dxdydz, par exemple).
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Re.
Jamais eu à faire à ce monsieur.

Si vous faites le produit scalaire, vous vous trouverez avec une somme de termes du type:

Et là vous pouvez intégrer par parties et la primitive de la dérivée seconde est la dérivée première. Mais il faut aussi exprimer dV en fonction des x,y et z. (dxdydz, par exemple).
Au revoir.

merci de votre réponse,

En fait je pensais qu'avec une formule de tranformation d'integrale (type ostrogradski) on pouvait modifier ce terme et obtenir par exemple un gradient ou une divergence.

[LPFR]

merci de votre réponse,

En fait je pensais qu'avec une formule de tranformation d'integrale (type ostrogradski) on pouvait modifier ce terme et obtenir par exemple un gradient ou une divergence.

Re.
Ce n'est pas impossible.
Mais, soit vous connaissez les identités vectorielles adéquates par cœur (ce n'est pas mon cas), soit vous détricotez les expressions, quitte à les remettre sous forme vectorielle une fois que vous aurez vu ce que cela donne.
A+

[chwebij]

bonjour

vous pouvez utiliser l'indentiter:
c'est à dire que le divergent du gradient est le laplacien. et l'intégration d'un divergent sur un volume est égal à l'intégrale du flux de ce vecteur à travers la surface délimitant ce volume (green). du coup, ça peut sans doute simplifier l'affaire.
à suivre

[invite1091d7f6]

Avec ce que dis chwebij et en utilisant la deuxième formule de cette page ici, ça marche très bien.

Par contre, faut mettre


++

[membreComplexe12]

bonjour

vous pouvez utiliser l'indentiter:
c'est à dire que le divergent du gradient est le laplacien. et l'intégration d'un divergent sur un volume est égal à l'intégrale du flux de ce vecteur à travers la surface délimitant ce volume (green). du coup, ça peut sans doute simplifier l'affaire.
à suivre

bonjour, c'est ce que je pensais mais la divergence ne sera pas sur tout le terme sous l'integrale donc la formule ne s'applique pas...

[chwebij]

peux-tu expliciter les propriétées des champs u et psi? du genre à flux nul pour le champ u.

[membreComplexe12]

peux-tu expliciter les propriétées des champs u et psi? du genre à flux nul pour le champ u.

En ce qui concerne U il n'y a pas de précisions cela peut etre n'importe quel champ, psi quand à lui est une fonction appelé fonction test en géneral pour ces méthodes, elle à la particularité de s'annuler sur les bord du domaine afin de virer le terme entre crochet de l'integration par partie

[membreComplexe12]

j'ai trouvé sur internet une réponse à mon problème mais j'ai un peu de mal à comprendre.

Voici la réponse en [pièce jointe] c'est la partie nommée formulation faible de cette page:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...%A9ments_finis


==> Ce qui me gêne est que la primitive du Laplacien est donnée par le gradient d'après cette page (et d'apres la correction que j'ai vu de mon exercice)

Or le Laplacien d'un scalaire est un scalaire alors que la gradient d'un scalaire est un vecteur!
Donc pourquoi la primitive n'aurait pas le même ordre de tensorialité que la fonction de base?

[membreComplexe12]

j'ai oublié la piece jointe

[invite66ac4c45]

Bonjour,


peut être que tu peut utiliser la seconde identité de Green, c'est celle là:



Si ton champ est à Laplacien nul ça marche.

[membreComplexe12]

Bonjour,


peut être que tu peut utiliser la seconde identité de Green, c'est celle là:



Si ton champ est à Laplacien nul ça marche.

bonjour et merci de ta participation.
en effet ca pourrait venir d'ici mais à Psi n'a pas à prioro de condition sauf le faite de s'annuler sur les bords du domaine...

[chwebij]

re
du coup nos conseils était bon:
tu transformes le terme en puis tu utilises l'identité:

du coup on a :

le premier terme, tu le transformes via Ostrogradsky d'une intégrale de volume à une intégrale de surface. du coup comme est partout nul sur la surface il ne reste que le second terme qui est le produit scalaire des gradients de psi et u (ce qui fait bien un vecteur!!).

[membreComplexe12]

merci de votre aide, je n'y avais pas pensé à le decomposer, je pensais que la solution etait plus immediate.

A+