Calcul du volume d'un cône par intégration

[invitebc8bb346]

Je bloque depuis quelques temps sur la détermination des volumes de solides par intégration.

Plus particulièrement pour le cône, qui est un bon exemple (je suppose).

Voilà mon raisonnement:

Un cône est une somme de cercles d'épaisseurs infiniment petite dz, z variant de 0 à H. ayant pour aire pi*r², r variant de 0 à R.

donc j'obtiens: dV = pi*r²*dz

Malheureusement, je ne vois pas comment intégrer la variable "r" sachant que je n'ai pas d'élément "dr"
V = ᶴᶴ pi*r²*dz


Il y a donc une faut dans mon raisonnement mais je ne vois pas où

J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
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[invitefa784071]

Tu vois que tu dois sommer des cercles de rayons de plus en plus petit sur une hauteur h: il y a donc deux variable qui changent h et r.
Tu dois donc effectuer une intégrale double:

MALHEUREUSEMENT, r et h ne sont pas indépendantes donc tu ne peut pas calculer d'abord
puis intégrer le résultat sur h.
D'où la difficulté de "l'intégration" du cone. Par contre l'intégrale du cylindre est aisée puisque qu'il y a seulement une variable.
Si tu veux calculer cette intégrale double, reporte toi a wikipédia...

[invitebc8bb346]

Dans cette expression:


Je n'ai aucun problème pour intégrer mais je ne vois pas très bien bien comment établir cette intégrale.

Lorsque j'intègre, je fait la "somme" de cylindres de volume: base*hauteur.
Donc, base: pi*r²; hauteur: dh.

Mais je ne comprend pas d'où viens ce dr qui est la seule différence entre ton expression et la mienne.

J'aimerais donc quelques explication. Plus physiques que mathématiques si possible

[invitea3eb043e]

Reprends dV = pi.r².dh qui additionne les disques.
Tu remarqueras que r = h. tan(a) si on compte depuis la pointe.
Tu remplaces r par son expression, tu intègres sur h et c'est bouclé.

[A voir en vidéo sur Futura]