DM sur les polynomes.

[zgoute]

Bonjour j'ai un dm et c'est assez urgent.
1)Determiner le polynome P de degre 3 tel que pour tout reel x, P(x+1)-P(x)=x^2
et P(1)=0
2)Demontrer que pour tout entier n>=1 , 1^2+2^2+......+n^2=P(n+1)
3)En deduire que 1^2+2^2+.....+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6
4)Applications: Calculer la somme des carres des 10 et 100 premiers entiers superieurs ou egaux a 1.
Voila ma réponse pour la question 1 ou j'hésite sur deux réponse
Première.(x-1)(ax²+bx+c)
ou deuxième P(x)=ax^3+bx+cx+d
Et comme je bloque sur la question 1 je ne comprends pas la deuxième et la troisième merci d'avance. J'ai vraiment besoins d'aide.
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[cpalperou]

Salut,
P est de degré 3 -> P(x)=ax³+bx²+cx+d -> 4 inconnues (a,b,c,d), il faut donc 4 équations!
Utilises les indices de l'énoncé:
P(1)=0 -> a+b+c+d=1 (1ère équation)
Puis P(x+1)-P(x) =x² te fournis, par identification des termes de même degré, les 3 autr'es équations.
Bon courage

[zgoute]

J'aidéja fait la question 1 mais la deux je bloque.

[Jeanpaul]

Ca s'appelle un télescopage :
Tu écris
P(2) - P(1) = 1² et au-dessous :
P(3) - P(2) = 2²
...
P(n+1) - P(n) = n²
tu ajoutes colonne à colonne et tu simplifies. Ca donne directement la somme cherchée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zgoute]

ajouter colonne par colonne c'est à dire je ne comprends pas?

[Jeanpaul]

Ce que j'ai écrit, ça fait 2 colonnes séparées par des signes = . Tu ajoutes tout ce qui se trouve sur la colonne de gauche et c'est égal à la somme de tout ce qui se trouve dans la colonne de droite, ce qui répond à ta question.

[zgoute]

Oui mais a se moment la le P(3) ne s'annule pas tous comme P(n)

[zgoute]

Pourriez vous me détailler le calcul s'il vous plait.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Oui mais a se moment la le P(3) ne s'annule pas tous comme P(n)

Je reprend le message de Jeanpaul :

...
P(2) - P(1) = 1²
P(3) - P(2) = 2²
...
...
...
P(n+1) - P(n) = n²

Qu'écrirais-tu sur les pointillés rouges ?
Et sur les pointillés bleus ?

Duke.

[zgoute]

J'écrirai sur les pointillés en rouge P(2)-P(1)+P(3)-P(2)=1²+2²
et sur les pointillés en bleu P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+ P(n+1) - P(n) = n²+1²+2²

[vaincent]

Pourriez vous me détailler le calcul s'il vous plait.

par exemple si tu prends les lignes 1 et 2 dans le post de Jeanpaul et que tu les additionnes, on obtient :

P(2) - P(1) + P(3) - P(2) = 1² + 2²

Les P(2) s'annulent et P(1) =0, donc :

P(3) = 1² + 2²

si on étend cette propriété pour tout n >= 1(qui peut-être montrée par récurrence, ou par téléscopage), cela donne :

P(n+1) = 1² + 2² + .... + (n-1)² + n² ce qui répond à la 2ème question. La 3ème question est une simple déduction de la 1ère et de la 2ème. Encore faut-il avoir trouvé a,b,c, et d !

Les as-tu trouvé ? cpalperou t'as bien indiqué comment faire (sauf que a+b+c+d=0 et non 1)

La 3ème question te permettra de vérifier si tu as les bonnes valeur de a,b,c, et d. (si tu n'arrives pas à trouver par un quelconque moyen que P(n+1) = (n(n+1)(2n+1))/6 alors c'est qu'il y a un problème !)

[Duke Alchemist]

J'écrirai sur les pointillés en rouge P(2)-P(1)+P(3)-P(2)=1²+2²
et sur les pointillés en bleu P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+ P(n+1) - P(n) = n²+1²+2²

Ah ben forcément que tu coinces

Sur les rouges, c'est :
P(4)-P(3) = 3²

Sur les bleus, c'est :
P(n)-P(n-1) = (n-1)²

La somme, tu la fais en colonne à la fin. C'est une addition des n lignes qu'il faut faire et la plupart des termes se simplifient deux à deux d'une ligne à l'autre.

Duke.

[zgoute]

Comment prouver par recurrence ou telescopage je ne sais pas se que c'est?
Et P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+ P(n+1) - P(n) = n²+1²+2²
P(3),P(n+1), - P(n) -P(1) ne se simplifie pas

[vaincent]

Comment prouver par recurrence ou telescopage je ne sais pas se que c'est?
Et P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+ P(n+1) - P(n) = n²+1²+2²
P(3),P(n+1), - P(n) -P(1) ne se simplifie pas

Ok je viens de voir que tu es en 1ère donc oublis la récurrence.

On te demandes de montrer que la somme 1²+ 2² + ... + n² vaut P(n+1) et on te précise que P(x+1) -P(x) = x² pour tout réel x. En particulier, cette dernière équation est vérifiée pour tout entier n>=1, ce qui s'écrit P(n+1) - P(n) = n². Pour n=1 cela s'écrit P(2) - P(1) = 1², pour n= 2, P(3) - P(2) = 2², ...., pour n quelconque >= 1, P(n+1) - P(n) = n². Tu peux donc écrire le système :

P(2) - P(1) = 1²

P(3) - P(2) = 2²

...
...
...

P(n) - P(n-1) = (n-1)²

P(n+1) - P(n) = n²

Puisque tu cherches à déterminer l'expression de la somme 1² + 2² + ... + (n-1)² + n², tu peux te rendre comptes que c'est exactement la somme de tous les membres à droite de chaque égalité ci-dessus. Il va donc falloir également faire la somme de tous les membres de gauche. On écrit donc :

P(2) - P(1) = 1²
+
P(3) - P(2) = 2²
+
P(4) - P(3) = 3²
+
....
+
P(n) - P(n-1) = (n-1)²
+
P(n+1) - P(n) = n²
---------------------------------------------------
? = 1² + 2² + ... + (n-1)² + n²

Or on voit que le P(2) de la 1ère ligne va se simplifier avec le -P(2) de la 2ème ligne, que le P(3) de la 2ème ligne va se simplifier avec le -P(3) de la 3ème ligne, et ainsi de suite, jusqu'à le P(n) de la (n-1)ème ligne qui va se simplifier avec le -P(n) de la n ième ligne. Au final dans la somme des membres de gauche il ne reste plus que P(n+1) - P(1). Or P(1)=0, donc P(n+1) = 1² + 2² + ....+ n². C'est ça que l'on appel le "télescopage" ou bien une "élimination en chaîne". Ok ?

(est-ce-que tu as trouvé a,b,c, et d ?)

[zgoute]

Oui j'ai trouvé a b c et d mais je sais que je suis embetante le P(1-n) va lui aussi se simplifier? Mais je crois que j'ai compris il s'agit d'une suite de nombre ou l'on écrit pas tout?

[Jeanpaul]

Non, on ne peut tout écrire parce qu'on ne sait pas combien il y a de termes.
Le mieux est effectivement de l'écrire pour n=4, n=5 et de généraliser.
A chaque ligne le P(n-1) s'élimine avec la ligne au-dessus et P(1) = 0 par hypothèse.

[zgoute]

Oui mais a ce moment la le P(n+1) aussi.

[zgoute]

Avec P(n+2)-P(n+1)

[zgoute]

En fait je pense que je commence à saisir .C'est parceque les points de suspension désigne une suite indéfinisable je me trompe ou pas?

[zgoute]

C'est bon j'ai compris merci beaucoup à tous pour votre aide.

[Jeanpaul]

On n'écrit pas le P(n+2) - P(n+1) : on s'arrête avant car on veut la somme des carrés jusqu'à n inclus, pas au-delà.