Electrostatique

[mc222]

Bonjours, je me suis posé un problème:

Imaginons une plaque plane infiniment grande de densité surfacique de charge .
Si on approche une charge ponctuelle de ce plan à une hauteur à sa normale, la force d'attraction sera elle infiniment grande ? et sinon, peut on la calculer ?




J'ai donc pris un élément de surface de la plaque, en coordonnée cylindrique.
On a :



Cet élement de surface est à une distance r de la normale à la charge ponctuelle.

L'attraction entre l'élément de surface et la charge est donc :



Avec k, une constante propre à la loi d'attraction.

Hors je cherche la composante verticale de cette force, puisque la somme des composante radiales ( macroscopiquement ) s'annulent (la charge ne se déplace que sur z).

Dans ce cas, on prend l'angle (voir schéma ) et on calcul sa tangente:



soit les compostantes de la force:

: qui reli directement la charche à l'élément de surface

: qui est la projeté de Fd sur z.

On a :



D'ou:



On a donc finalement l'expression d'un élément de force :



Soit finalement:



J'intègre d'abort sur l'angle, on trouve:



On intègre le rayon entre 0 et l'infini soit:




C'est une forme facile à intégrer;


(Intégrale convergente de justesse )






Donc je trouve ca, est ce correcte a priori ?

La force serait donc finie.
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[invite1091d7f6]

Yo,

Le raisonnement est bon. Par contre, y'a une boulette dans ton intégration me semble t'il (il manque un z² ). Ce qui donne:





Et donc ça ne dépend pas de z... Héhé. Physique ou pas?

Sinon, tu peux aussi calculer le champ électrique avec le théorème de Gauss (il faut le connaitre par contre) pour ce type de surface. Ce qui donne un truc du style:
(tiens ça dépend pas de z non plus...)

Ensuite tu dis: et tu dois tomber sur le même résultat.

En tout cas, bravo pour ton calcul, il est bien mené et très propre (et le dessin de même!!!). C'est un plaisir à lire!
@+

[invite15928b85]

Bonjour.

Et donc ça ne dépend pas de z... Héhé. Physique ou pas?

Résultat totalement lié au fait que la plaque est-elle même infinie, je dirais.

Cordialement.

[invite1091d7f6]

On se rapproche... mais en quoi une plaque infinie rend le pb indép de z?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Yo,

Le raisonnement est bon. Par contre, y'a une boulette dans ton intégration me semble t'il (il manque un z² ). Ce qui donne:

Oui exacte, je me suis trompé, on a une forme :

à intégré, et j'ai pris :

au lieu de

Donc on trouve bien :

Et donc ça ne dépend pas de z... Héhé. Physique ou pas?

Ca c'est assez incroyable au premier abort, j'ai toujours du mal à m'imaginer ca !

Ca veut dire qu'entre deux hauteurs, disons en altitude et au raz-motte, la force est indentique et que donc que en altitude, le champ éléctrique de la charge "intersepte" plus de surface mais moins "intensément" alors qu'au raz motte, la charge intersepte moi de surface mais plus intensement... ( c'est un peu bidon comme explication)

Mais ca a surtout comme effet que si les charges se repoussent, on pourrait faire leviter une charge au dessus de cette plaque à n'importe quelle hauteur

En tout cas, bravo pour ton calcul, il est bien mené et très propre (et le dessin de même!!!). C'est un plaisir à lire!

merci beaucoup !

[invite15928b85]

Re.

Par homogénéité, le champ est normal à la surface.

Le champ est également à divergence nulle.

L'application du th de Gauss à un volume de forme idoine, par ex un cylindre d'axe orthogonal à la surface, permet de conclure que le champ est indépendant de z.

Alambiqué, mais correct, je pense.

@+

[mc222]

Ca veut dire quoi que le champs à une divergence nulle ?

Pour ce que j'en sais, la divergence c'est le taux de création du champs à un endroit donné, nan?

Mais ici, parler de divergence, ca m'échappe !

[invite15928b85]

Re.

Sans recours à l'analyse vectorielle, je préfère m'abstenir de tenter une explication avec les mains. Faire de la physique en se passant totalement des math ne me paraît pas du tout raisonnable.

Mais je suis curieux de lire la version de Poual.

@+

[mc222]

de mon coté, je vais tenté de trouver la résultante des force s'appliquant sur un charge ponctuelle poser sur la frontière plane d'un solide semi infini de densité de charge rho et de permitivité epsilone.

A mon avis, la force sera infinie du fais du contact

[obi76]

Oui c'est bien ça.

En fait en effectuant un zoom de ton système, quelque soit z, tu peux le ramener à la même config (en calculant sa nouvelle charge surfacique).

Cordialement,

[invite1091d7f6]

Bingo pour Obi76. C'est exactement ça.

C'est juste un jeu de changement d'échelle!

Pour ceux qui ne sont pas convaincus par

En fait en effectuant un zoom de ton système, quelque soit z, tu peux le ramener à la même config (en calculant sa nouvelle charge surfacique).

on peut aussi le voir avec les angles solides.

Pour une distance z, j'ai Q charges dans un angle solide donné. Le champ (et la force) est proportionnelle (cf. formule de mc22) à la charge Q divisée par la distance au carré z².

Pour une distance z' qui est C fois plus grande que z, j'ai C²Q charges dans un angle solide donné. Le champ (et la force) est proportionnelle (cf. formule de mc22) à la charge C²Q divisée par la distance au carré (Cz)². Les facteurs C s'effacent des équations et les deux situations sont équivalentes.

Ensuite, il reste à intégrer sur tous les angles solides (ie. même raisonnement partout) et le tour est joué.


Au final, l'effet des charges dans une angle solide donné est toujours le même quelque soit la distance pour une distribution plane et infinie! C'est donc bien Physique... bien que ce ne soit pas intuitif aux premiers abords!

@+

[mc222]

ouai, bien vu, mais elle est constante sur z, mais elle doit etre infinie pour z =0.

Donc F(z) doit donner un Dirac:



Maintenant, comment décrir la force si mon élément de volume contenant son élément de charge est situé à l'intérieur d'un solide de permitivité epsilone( de même constitution que l'élément de volume) et donc que la ligne reliant notre élément à la charge ponctuelle passe dans ce solide, puis dans le vide.

Faut t'il parler de permitivité equivalente , dépendante alors du chemin suivi (distance dans le solide, distance dans le vide, permitivité des deux milieux...)
Comment modéliser ca ?

merci

[obi76]

ouai, bien vu, mais elle est constante sur z, mais elle doit etre infinie pour z =0.

Non, pourquoi elle serait infinie ? Et puis un Dirac en physique c'est quand même pas très très fréquent, surtout pour un champ continu ^^

[mc222]

a oué, pas faut, je suis en train de me dire que justement, si la charge est confondu avec le plan, donc à une altitude 0, la force serait nulle, car il n'existerait aucune composante verticale pour les éléments de surfaces contenu dans la plaque, tout les élément de force étant radiale et dans le même plan, ils s'annulent.

Donc ce serait plutot une fonction echelon.

[invite93e0873f]

a oué, pas faut, je suis en train de me dire que justement, si la charge est confondu avec le plan, donc à une altitude 0, la force serait nulle, car il n'existerait aucune composante verticale pour les éléments de surfaces contenu dans la plaque, tout les élément de force étant radiale et dans le même plan, ils s'annulent.

Donc ce serait plutot une fonction echelon.

Une autre façon un peu plus mathématique de justifier la chose est de se fixer une direction positive de l'axe z (qui mesure l'altitude de la particule test) et de mesurer le champ électrique de part et d'autre de la plaque infinie. La situation étant symétrique par réflexion par rapport au plan de la plaque, si on a un champ E au-dessus de la plaque, on doit avoir un champ -E en-dessous. Reste à déterminer la valeur du champ E pour z=0 et, afin d'avoir une fonction 'symétrique' passant de -E à E, la valeur E=0 en z=0 est toute désignée. Autrement dit, on peut écrire le champ de la distribution dans tout l'espace grâce à la fonction signe : E(z) = E.sgn(z) .

[mc222]

oué, je ne connaissais pas cette fonction signe, elle ressemble cependant à la fonction echellon.

Ca reste quand même troublant de trouver de telle discontinuité dans la nature.
Un tel dipositif est-il réalisable ? peut on creer une plaque suffisement grand pour la considérer infiniment grande à coté de la charge ?