électromagnétisme

[invite3efbab03]

Bonsoir,

J'ai des incompréhensions au niveau des symétries pour une spire et une nappe surfacique:

Pour la spire, je ne comprends pas pourquoi on a B(z)= B(-z). OK, le plan de la spire est un plan de symétrie, pourquoi n'ai-je pas B(z)= -B(-z) étant donné que l'image de B par un plan de symétrie est l'opposé du symétrique du champ B crée par M, l'antécédent de M'?

De même pour la nappe surfacique, si j'utilise les coordonnées cartésiennes, j'ai forcément (xOy) et (yOz) plans de symétrie, or B est dirigé selon Uz (si je considère que xOy est un plan de symétrie, alors B est orthogonal à ce plan) mais dans ce cas il est colinéaire au plan Yoz??

Merci d'avance
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Est-ce que vous voyez (direction de B) le champ produit par in morceau de fil conducteur à un endroit donné?
Si oui.
Faites un dessin de votre spire coupée par un plan qui contient l'axe z et l'axe x.
Regardez la direction du champ produit par le petit bout de spire coupé par le plan à différents endroits. En particulier sur l'axe z de chaque côté du plan xy (en z et -z quelconques).
Le plan xy n'est pas un plan de symétrie pour le champ magnétique. Il l'est pour l'amplitude, et la direction, mais pas pour le sens. Il paraît que c'est pour cela que le champ B n'est pas un vecteur mais un pseudo-vecteur.
Au revoir.

[stefjm]

Le plan xy n'est pas un plan de symétrie pour le champ magnétique. Il l'est pour l'amplitude, et la direction, mais pas pour le sens. Il paraît que c'est pour cela que le champ B n'est pas un vecteur mais un pseudo-vecteur.

Bonsoir,
Ah, le bonheur des pseudo-vecteurs...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur

Ou l'art du physicien qui adapte les outils mathématiques à sa sauce.

Cordialement.

[invite7ce6aa19]

Bonsoir,

J'ai des incompréhensions au niveau des symétries pour une spire et une nappe surfacique:

Pour la spire, je ne comprends pas pourquoi on a B(z)= B(-z). OK, le plan de la spire est un plan de symétrie, pourquoi n'ai-je pas B(z)= -B(-z) étant donné que l'image de B par un plan de symétrie est l'opposé du symétrique du champ B crée par M, l'antécédent de M'?

Bonjour,

Tu fais une erreur de raisonnement, mais cette erreur peut-être productive.

Effectivement le plan de la spire est un plan de symétrie horizontale, mais tu as oublié de noter que ce plan est orienté. Cette orientation est donnée par le courant dans la spire.

Dessines sur feuille une boucle de courant dans un plan horizontal et supposons que le champ magnétique est dirigé vers le haut.

Regarde par en-dessous de la feuille (cela revient à changer z en -z), tu constateras que la boucle a changé de sens, donc le champ magnétique doit-être dirigé vers la feuille et donc dans le même sens que le champ initial et donc:


B(z) = - B(-z)


Il est clair que cette bizarrerie est liée au fait qu'il y a une orientation du plan du au sens du courant.

Si on aurait examiné le même problème avec un plan de charges électriques on aurait avec la même démarche:

E(z) et E (-z)

Cela est du au fait que le plan n'est pas orienté comme le cas précèdent.

Quelle est la mathématiquement qui se cache derrière tout cela?

Le champ électrique E et le champ magnétique B sont des vecteurs on peut vérifier que ces 2 grandeurs physiques obéissent aux axiomes des espaces vectoriels.

Ce qui fait la différence est le comportement des composantes de ces vecteur dans un changement de base (ici le changement était une pure inversion).

Ce qui permet de distinguer le comportement des vecteurs dans un changement de base est leur caractère tensoriel. C'est ainsi que le vecteur champ électrique est un tenseur de rang 1 alors que le champ magnétique est un tenseur antisymétrique de rang 2. Donc pour comprendre la généralité du problème il faut étudier ce que sont les tenseurs.

L'usage est d'appeler le champ magnétique un pseudo vecteur, cela ne veut pas dire que c'est un faux vecteur (le champ magnétique est un vrai vecteur) mais qu'il se transforme presque comme un tenseur de rang1 (que l'on appelle dans ce contexte vecteur) sauf dans les changements de base impliquant l'inversion. En effet dans un changement de base d'une rotation quelconque les composantes E et B ont même comportement.

Donc en résumé B est un vrai vecteur, mais tensoriellement c'est un tenseur antisymétrique de rang2 que l'on appelle en pratique pseudo vecteur. On aurait pu dire pseudo tenseur de rang1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

L'usage est d'appeler le champ magnétique un pseudo vecteur, cela ne veut pas dire que c'est un faux vecteur (le champ magnétique est un vrai vecteur) mais qu'il se transforme presque comme un tenseur de rang1 (que l'on appelle dans ce contexte vecteur) sauf dans les changements de base impliquant l'inversion. En effet dans un changement de base d'une rotation quelconque les composantes E et B ont même comportement.

Donc en résumé B est un vrai vecteur, mais tensoriellement c'est un tenseur antisymétrique de rang2 que l'on appelle en pratique pseudo vecteur. On aurait pu dire pseudo tenseur de rang1.

Je ne cite que la fin que je trouve quand même un brin , contradictoire où j'ai mis en gras.

B est un pseudo vecteur (pas un vrai).

[invite7ce6aa19]

Je ne cite que la fin que je trouve quand même un brin , contradictoire où j'ai mis en gras.

B est un pseudo vecteur (pas un vrai).

Si justement B est un vrai vecteur, il obéit trivialement aux axiomes mathématiques d'un expérience vectoriel. Par exemple:

B = I1.B1 + I2.B2 + .........In.Bn


J'ai fixé la distance entre le point où B est regardé et où le courants sources sont d'orientation fixes. Les Bi sont donc des vecteurs de base et les Ii des intensités.

Cela correspond à la définition de vecteurs et c'est indépendant de toutes représentations.


Pour connaître la nature tensorielle De B il faut voir comment se comporte les composantes de B dans un changement de base. La réponse est qu'il s'agit d'un tenseur antisymétrique de rang2.


On appelle ce comportement maladroitement pseudo-vecteur comme synonyme de tenseur antisymétrique de rang 2.


Pourquoi?

Lorsque l'on fait une transformation propre (cad de déterminant positif) il se comportement exactement comme vecteur (cad comme le champ électrique, tensorielle ment un tenseur de rang1). Par contre si l'on tient compte des transformations impropres (cad déterminant négatif) alors il ne se comporte plus comme un vecteur.


C'est la raison pour laquelle on dit que c'est un pseudo-vecteur dans le sens: presque un vecteur (au sens tensoriel du terme).

Ceci ne marche que dans un espace à 3 dimensions pour lequel un tenseur antisymétrique est de dimension 3 comme un vecteur.

Par exemple dans un espace de dimension 4 (comme en RR) un tenseur antisymétrique de rang 2 est de dimension 6 comme le tenseur champ électromagnétique alors qu'un vecteur (tenseur de rang 1) est de dimension 4 comme le quadricourant qui est la source du champ électromagnétique.

[inviteec07bcb2]

Si justement B est un vrai vecteur, il obéit trivialement aux axiomes mathématiques d'un expérience vectoriel. Par exemple:

B = I1.B1 + I2.B2 + .........In.Bn


J'ai fixé la distance entre le point où B est regardé et où le courants sources sont d'orientation fixes. Les Bi sont donc des vecteurs de base et les Ii des intensités.

Cela correspond à la définition de vecteurs et c'est indépendant de toutes représentations.


Pour connaître la nature tensorielle De B il faut voir comment se comporte les composantes de B dans un changement de base. La réponse est qu'il s'agit d'un tenseur antisymétrique de rang2.


On appelle ce comportement maladroitement pseudo-vecteur comme synonyme de tenseur antisymétrique de rang 2.


Pourquoi?

Lorsque l'on fait une transformation propre (cad de déterminant positif) il se comportement exactement comme vecteur (cad comme le champ électrique, tensorielle ment un tenseur de rang1). Par contre si l'on tient compte des transformations impropres (cad déterminant négatif) alors il ne se comporte plus comme un vecteur.


C'est la raison pour laquelle on dit que c'est un pseudo-vecteur dans le sens: presque un vecteur (au sens tensoriel du terme).

Ceci ne marche que dans un espace à 3 dimensions pour lequel un tenseur antisymétrique est de dimension 3 comme un vecteur.

Par exemple dans un espace de dimension 4 (comme en RR) un tenseur antisymétrique de rang 2 est de dimension 6 comme le tenseur champ électromagnétique alors qu'un vecteur (tenseur de rang 1) est de dimension 4 comme le quadricourant qui est la source du champ électromagnétique.

Bin c'est faux, c'est encore faux.
Il suffit de faire une transformation de déterminant positif, mais non orthonormale, pour que la contradiction coutumière saute aux yeux.
On peut même la laisser orthogonale :
Changer la cote verticale en mètres, en cote en pieds. En effet les U.S.A. sont la puissance aéronautique dominante, et ont imposé le retour aux pieds au monde entier.
La spire n'a pas changé de coordonnées. Le champ magnétique n'a pas changé de coordonnées, mais toutes les composantes verticales des vecteurs ont changé de coordonnées.
Maintenant il faut décider :
Soit le champ magnétique de la spire horizontale est (dans le plan de symétrie) un vecteur vertical et il a changé de coordonnées,
soit le champ magnétique de la spire horizontale est (dans le plan de symétrie) un tourneur horizontal, et il n'a pas changé de coordonnées.

C'est bien pour préserver le mythe de l'infaillibilité communautaire, qu'en pratique il est interdit aux étudiants tout changement de base autre qu'orthonormé. Sinon tout saute.

Et puisqu'une coutume ne peut ni se tromper ni nous tromper...