Expliquer les tenseurs avec les mains

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Au-delà des remarques judicieuses de Rincevent, il y a dans cette discussion la résurgence ancienne d'une vision toujours aussi réductrice d'un certain intervenant, qui n'hésite pas à donner des leçons de mathématiques à un mathématicien là où il a tort

Donc je me permets de soutenir Therodre sur deux points en particulier :

[...]

Un produit tensoriel, ca sert a une chose, a transformer du bilinéaire en du linéaire.

Certainement pas.

Pourtant Therodre a raison, et même plus largement : mathématiquement une des motivations du produit tensoriel est effectivement de permettre d'adopter un point de vue linéaire pour l'étude des applications multilinéaires... Et cela sans même se rapporter à des bases, ce qui permet d'ailleurs de parler de produit tensoriel d'espaces de dimension infinie, par exemple

C'est archi-faux: un tenseur est toujours un vecteur. par contre un vecteur n'est pas forcemment un tenseur.

Pourtant Therodre a donné explicitement la construction tensorielle le permettant... Encore une fois c'est une histoire de point de vue, tu refuses d'envisager un autre point de vue que le tiens, à savoir envisager de regarder des décompositions tensorielles dans autre chose que TA base (en l'occurrence la base de l'espace vectoriel AxB des éléments produits tensoriels des espaces A et B).

Voilà juste deux petites remarques en passant. Sinon pour le reste, tout à fait en phase avec Rincevent : la rigueur en physique ça peut être très bien, mais point trop n'en faut et adaptons nous au but (physique) recherché.

Cordialement,

G.
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[Amanuensis]

On est bien loin du sujet, là. Pas vraiment "avec les mains" tout ça.

L'initiateur de la discussion ne se manifeste plus. Aurait-il fui ?

Dommage qu'il n'intervienne pas, parce que le mieux serait de faire passer les goûts personnels en arrière-plan et lui apporter des réponses adaptées à ses attentes, non?

[invite5f67e63a]

C'est fort possible

Bla Bla Bla

C'est une question très, très simple qui doit être une partie de rigolade pour un mathématicien.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Je ne désire pas pourrir inutilement ce fil, aussi si vous desirez une réponse je le ferai en privé, ou sur un fil dédié si cela vous sied. Mais sachez que vous avez été incpabale de pointer ne serait ce qu'une seule de mes erreurs, alors que votre laïus en contient des tas (d'ailleurs puisque vous affirmez qu'un produit tensoriel "Structurellement c'est la même chose qu'un produit cartésien." (qui est quand meme la plus grosse enormité que vous ecriviez), je suis pret a vous apporter un jus d'orange pressé frais a votre labo tous les matins si vous me montrez que est isomorphe a RxR, du reste vos definitions feraient rougir de honte un etudiant de L2 (soit Ai un espace vectoriel et ce qui suit...), quant aux EGA dont vous faites reference, sachez qu'il constitue la base de mon domaine de recherche, donc je les connais tres bieeeeen, et 1) difficile d'imaginer plus bourbakiste comme bouquin et le nombre de fois qu'il renvoie a bourbaki, 2) regardez la def de produit tensoriel dans EGA dans la remarque I.1.2.16, ne vous rappelle t elle pas la mienne?)

Pour répondre a l'auteur du sujet et être un petit peu utilse (promis cela sera ma dernière intervention sur ce fil), voila je pense une bonne façon d'apprender le porduit tensoriel "avec les mains".

ON veut traiter le bilniéaire comme du linéaire. Aussi au lieu de considerer f(x,y) comme une fonction de deux variable (bilinéaire ici), on la considère comme une fonction directement sur (x,y)... mais bien sur (x,y) justement ne peut plus etre le produit cartesien, on a pas par exemple (x,y)+(z,t)=(x+z,y+t) puisque pour une application bilinéaire, il est faut en general que f(x,y)+f(z,t)=f(x+z,y+t). Les addtions et multiplication se comportent differement, que lors d'un simple produit cartesien, que doit on avoir alors? Il suffit de "tester" sur des applications bilineaires.

Pour f bilineaire, on a f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), on doit donc avoir (x+y,z)=(x,z)+(y,z) et de meme (ax,y)=a(x,y). Ainsi pour bien faire la difference avec le produit cartesien, on note plus (x,y) mais et on construit ainsi (voir un cours de maths quelconque pour la construction precise) un espace que l'on note qui repond a la question, les applications lineraire de (dans un espace T) sont exactement les applications bilinéaires de ExF (dans ce meme espace T).

Pour finir, je dirai juste que je venias ici simplement, pour répondre a une question que j'avais comprise comme je ne comprends pas ces notions de tenseurs que l'on nous inculque en RG, qu'est ce vraiment qu'un produit tensoriel... d'ou ma reponse, qui etait vraiment dans le sens "Bah c'est normal, souvent ce genre de presentation est embrouillée". Bref j'ai été mal compris.

Et juste une dernière remarque, je ne vois pas en quoi c'est snob de parler de fibré vectoriel en geom riemannienne, je ne vois pas comment definir de manière simple la métrique sur une variété (et de montrer qu'elle existe toujours) sans cette notion. Je ne vois pas ce qu'il y a de snob dans vouloir placer les choses dans leur bons cadres. Ca ne me semble si superfetatoire, ni elitiste ni rien (d'autant plus que la notion de fibré, est souple, simple, puissante, et élégante)

[invite6754323456711]

Pas vraiment "avec les mains" tout ça.

C'est pas bien loin, c'est juste avec les poings. Avec les mains fermées en quelque sorte

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'en profite pour éclaircir un point qui m'est encore obscur :

Comment passe-t-on de cette propriétés

les applications lineraire de (dans un espace T) sont exactement les applications bilinéaires de ExF (dans ce meme espace T).

à cette propriété

Une définition plus simple peut être ici de le définir comme l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur


On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème E à son bidual E * * . On a donc de même :





?

Défini ici

Patrick

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Au-delà des remarques judicieuses de Rincevent, il y a dans cette discussion la résurgence ancienne d'une vision toujours aussi réductrice d'un certain intervenant, qui n'hésite pas à donner des leçons de mathématiques à un mathématicien là où il a tort

j'ai posé une petite question:

----------------------------------------------------------------------------------------------


Soit A = M.B

A et B sont des vecteurs cartésiens et M l'opérateur qui agit sur B pour donner A.

Quelle est la nature tensoriel de M et démontre le.

C'est une question très, très simple qui doit être une partie de rigolade pour n'importe quel mathématicien.
--------------------------------------------------------------------------------------

M n'apparait pas comme une forme linéaire et pourtant c'est un tenseur, oui mais lequel et pourquoi?.

[invite5f67e63a]

Bonsoir,

Bonjour,

J'en profite pour éclaircir un point qui m'est encore obscur :

Comment passe-t-on de cette propriétés


à cette propriété

Une définition plus simple peut être ici de le définir comme l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur


On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème E à son bidual E * * . On a donc de même :





?

Défini ici

Patrick

C'est tres simple, en voici une démonstration le point qui est clé ici c'est de se rendre compe que se donner une applcation linéaire de dans k (donc une forme linéaire sur ), c'est se donner une forme bilinéaire de ExF.

Maintenant l'espace des formes linéaires de , c'est le bidual de , et c'est donc canoniquement isomorphe à . Donc est canoniquement isomorphe a l'espace des formes linéaires sur

Il suffit maintenant de démontrer que la dualité "commute au produit tensoriel", comme on dit, c'est a dire que
C'est tres facile (je le donne en blanqué, pour ceux que la preuve n'interesse pas)

 Cliquez pour afficher

on a une application naturelle de dans qui a associe p la forme linéaire sur définie par qui est bien définie, cette application noté disons qui a associe p, est elle meme bilniéaire. Elle se factorise a travers le produit tensoriel et il existe donc une unique application linéaire (toujours noté tel que le diagramme auquel on pense (je ne sias pas l'ecrire sur ce forum ) commute, nous avons cond une applcation , il est facile de vérifier que l'application qui va dans l'autre sens et qui a associe en donne un inverse. Et le lemme est prouvé.

Nous avons prouvé donc que est (canon. isom à) l'espace des formes linéaire sur lui meme canon. isom à . Mais l'espace des formes linéaires sur , c'est par la prop universelle, l'espace des formes bilinéaires de . Ce qui est la definition alternative que vous donnez.

[invite5f67e63a]

j'ai posé une petite question:

----------------------------------------------------------------------------------------------


Soit A = M.B

A et B sont des vecteurs cartésiens et M l'opérateur qui agit sur B pour donner A.

Quelle est la nature tensoriel de M et démontre le.

C'est une question très, très simple qui doit être une partie de rigolade pour n'importe quel mathématicien.
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M n'apparait pas comme une forme linéaire et pourtant c'est un tenseur, oui mais lequel et pourquoi?.

Je démontre juste ceci au passage, pas pour passer dans un quelconque cercle enflammé, mais au cas où qqun tombe dessus et veut la réponse.
Bon deja je comprends pas trop la question (c'est quoi la nature tensorielle?).
J'imagine que ce que vous avez en tete c'est l'affirmation suivante (qui rebondira joliment avce mon dernier message), que l'espace des applications linéaire de E dans F (noté Lin(E,F)) est canoniquement isomorphe a . En voici une démo.

 Cliquez pour afficher

On a une application naturelle de dans Lin(E,F), qui a associe que je note , alors cette application de dans Lin(E,F) ce factorise a travers la prduit tensoriel, vu qu'elle est bilinéaire et on a donc une applcation naturelle de dans Lin(E,F), cette application n'est pas une isom en tout genralité, il est un isomorphisme sur l'espace des applications linéaire de rang fini, en particulier il est un isom si F et E sont de dimension fini. Voila son inverse dans ce cas là à une application linéaire f, on associe ceci a bien un sens vu les hypothese de finitude sur l'une et l'autre des dimensions. Cette application est bien inverse de la precedente

Donc on a une isomorphisme completement canonique entre et Lin(E,F), en dim finie, ce qui autorise a voir (sans ambiguité) une application linéaire comme un element de .

[invite5f67e63a]

Dailleurs, c'est quoi des vecteurs... "cartesiens"?

De plus dans mon premier message , je viens de me rendre compte que je n'ai pas precisé, je me place dans le cas de la dimension finie (ca me semblait impliciute dans le message d'avant mais deux precisions valent mieux qu'une), sinon le resultat est faux car on ne peut affirmer que le bidual de est canon isom a lui meme, et en fait ca devient faux des que l'un des deux est de dim infinie, par le théorème bien connu (mais penible a prouver)

[invite7ce6aa19]

Bon deja je comprends pas trop la question (c'est quoi la nature tensorielle?).

Ce qui prouve que nous n' employons pas le même langage bien que nous parlons de la même chose!!!!

J'imagine que ce que vous avez en tete c'est l'affirmation suivante (qui rebondira joliment avce mon dernier message), que l'espace des applications linéaire de E dans F (noté Lin(E,F)) est canoniquement isomorphe a . En voici une démo.

 Cliquez pour afficher

On a une application naturelle de dans Lin(E,F), qui a associe que je note , alors cette application de dans Lin(E,F) ce factorise a travers la prduit tensoriel, vu qu'elle est bilinéaire et on a donc une applcation naturelle de dans Lin(E,F), cette application n'est pas une isom en tout genralité, il est un isomorphisme sur l'espace des applications linéaire de rang fini, en particulier il est un isom si F et E sont de dimension fini. Voila son inverse dans ce cas là à une application linéaire f, on associe ceci a bien un sens vu les hypothese de finitude sur l'une et l'autre des dimensions. Cette application est bien inverse de la precedente

Donc on a une isomorphisme completement canonique entre et Lin(E,F), en dim finie, ce qui autorise a voir (sans ambiguité) une application linéaire comme un element de .

C'est OK, mais penses-tu que cela parles aux physiciens. Car le problème est là. Comment se fait-il que d'une manière récurrente, sur Futura et ailleurs, les physiciens disent, j'ai rien compris aux tenseurs. Pour moi c'est la présentation standard, des mathématiciens, qui n'est pas adaptée aux physiciens.

Le problème de fond n'est pas une controverse sur la nature mathématique des tenseurs, mais sur la manière d'apprendre les tenseurs et surtout de s'en servir.

[invite7ce6aa19]

Dailleurs, c'est quoi des vecteurs... "cartesiens"?

Des tenseurs de rang 1 exprimées dans l'ensemble des bases orthogonales (voir orthonormées). C'est a dire une restriction des transformations générales des tenseurs aux transformations orthogonales cad celles qui forment le groupe O(n) au lieu de GL(n,R).

La présentation usuelle équations de Maxwell sont écrites dans des bases cartésiennes.

Dans ces équations tu as par exemple div.E = rho.

L'opérateur div est tensoriellement un tenseur cartésien de rang 1, mais non un tenseur tout court. Pour qu'il soit un tenseur tout court il faut remplacer div par la dérivée covariante D.

De plus dans mon premier message , je viens de me rendre compte que je n'ai pas precisé, je me place dans le cas de la dimension finie (ca me semblait impliciute dans le message d'avant mais deux precisions valent mieux qu'une), sinon le resultat est faux car on ne peut affirmer que le bidual de est canon isom a lui meme, et en fait ca devient faux des que l'un des deux est de dim infinie, par le théorème bien connu (mais penible a prouver)

C'est une très bonne remarque et qui montre le rôle respectif des physiciens et des mathématiciens. En tant que physicien j'aurais tendance à traiter l'infini comme le fini. C'est donc prendre un risque dont les conséquences se verront ou pas dans l'expérimentation. C'est le rôle du mathématicien de me dire: Attention ...danger

[invite6754323456711]

Bonsoir,


C'est tres simple, en voici une démonstration le point qui est clé ici

Ok merci.

Je comprenais qu'il y avait un lien avec la bidualité mais ne voyais pas la démarche la faisant intervenir.

Je trouve bien souvent sur mes lectures autodidacte en physique le notion de forme.

Patrick

[invitea29d1598]

Et juste une dernière remarque, je ne vois pas en quoi c'est snob de parler de fibré vectoriel en geom riemannienne, je ne vois pas comment definir de manière simple la métrique sur une variété (et de montrer qu'elle existe toujours) sans cette notion. Je ne vois pas ce qu'il y a de snob dans vouloir placer les choses dans leur bons cadres. Ca ne me semble si superfetatoire, ni elitiste ni rien (d'autant plus que la notion de fibré, est souple, simple, puissante, et élégante)

je répondrai par quelques questions :

- quand est née la RG ?
- quand a été formulée proprement la notion de fibré ?
- comment expliquer les réponses aux questions précédentes (ainsi que le nombre non négligeable de résultats en RG ayant été obtenus entre ces deux dates) si les fibrés sont vitaux en RG ?

je suis prêt à le réécrire haut et fort : parler de fibré dans un cours d'intro à la RG pour physiciens c'est au minimum du snobisme et au pire un truc que la décence m'interdit de nommer ici

Des tenseurs de rang 1 exprimées dans l'ensemble des bases orthogonales (voir orthonormées). C'est a dire une restriction des transformations générales des tenseurs aux transformations orthogonales cad celles qui forment le groupe O(n) au lieu de GL(n,R).

exemple d'un cas où parler de fibré simplifie et clarifie grandement la discussion... mais j'insiste : ce n'est pas le genre de choses dont on discute dans un cours d'intro pour physiciens...

[invite6754323456711]

- quand est née la RG ?
- quand a été formulée proprement la notion de fibré ?
- comment expliquer les réponses aux questions précédentes (ainsi que le nombre non négligeable de résultats en RG ayant été obtenus entre ces deux dates) si les fibrés sont vitaux en RG ?

D'un point de vue épistémologique cela semble donner raison à Poincaré sur son concept de pluralisme théorique. Des discours mathématiques conceptuellement différents (au niveau des concepts mathématiques portés par les notions utilisées) peuvent décrire le même phénomène physique. Le "réalisme" mathématique ne s'applique pas à la physique. Si il y a unicité d’un domaine phénoménal, il y a multiplicité des espaces mathématiques, mais prédictivement équivalents.

Patrick

[invitea29d1598]

D'un point de vue épistémologique cela semble donner raison à Poincaré sur son concept de pluralisme théorique. Des discours mathématiques conceptuellement différents (au niveau des concepts mathématiques portés par les notions utilisées) peuvent décrire le même phénomène physique. Le "réalisme" mathématique ne s'applique pas à la physique. Si il y a unicité d’un domaine phénoménal, il y a multiplicité des espaces mathématiques, mais prédictivement équivalents.

c'est encore plus simplement vrai quand on voit l'équivalence entre la mécanique newtonienne et sa formulation variationnelle [qui utilisent même des concepts physiques différents]... mais là on repart dans le décor par rapport au sujet initial

reste que pour continuer dans le HS, une reformulation peut être très enrichissante, même pour la physique... on le voit en particulier quand on passe de la physique classique à la physique quantique, ce qui se fait différemment si on fait du Newton ou du variationnel [et même pour la formulation variationnelle, les choses changent selon le type de variables choisies... c'est d'ailleurs le cas en RG, et pour revenir sur celle-ci, la formulation à la Einstein ou celle à base de fibrés sont différentes et ne permettent pas les mêmes choses : avec le formalisme fibrationné on peut gérer les spineurs alors qu'avec Einstein, c'est moins simple... mais une chose est sûre : c'est HS dans un cours d'intro à la RG pour physiciens ]

[invite5f67e63a]

je répondrai par quelques questions :

- quand est née la RG ?
- quand a été formulée proprement la notion de fibré ?
- comment expliquer les réponses aux questions précédentes (ainsi que le nombre non négligeable de résultats en RG ayant été obtenus entre ces deux dates) si les fibrés sont vitaux en RG ?

je suis prêt à le réécrire haut et fort : parler de fibré dans un cours d'intro à la RG pour physiciens c'est au minimum du snobisme et au pire un truc que la décence m'interdit de nommer ici

La RG est née au milieu des années 1910 il me semble.
La notion de fibré? Proprement je ne sais pas, cela a du etre fait probablement dans les memes eaux. Mais pas proprement, alors c'est connu depuis treeeeees longtemps, je dirais au moins le XVIII, d'ailleurs la notion formalisée des corps (ou des ev) d'ailleurs n'a été faite que tres tard dans les année 1900, (voire peut etre 1930 j'ai deja entendu, puisqu'il me semble que c'est Banach je crois qui en a donné la première definition axiomatique), mais c'etait connu bien avant.
Les fibrés sont vitaux en RG, sauf qu'avant les gens etaient moins precuationneux (surtout des physiciens) ils utilisaient des notions mal definies, travaillaient sur des bases floues, et il leur arrivait de faire un peu n'importe quoi.

UN mathémaaticien aussi immense que Gauss, je peux vous assurer que pour avoir lu certaines de ses preuves dans les textes, ecrit parfois des trucs completement non rigoureux approximatifs etc... On s'est aprecu ensuite qu'il fallait mieux définir les choses et faires les choses proprement, ca prend du temps de digerer les notions.

Aussi certaines choses tres complexes et confuses du temps de leur creation, sont par la suite, fondamentalement compris, et il suffit d'une ou deux pages pour exprimer de manière limpide ce qui prenait avant des centaines de pages, avec des passages douteux.

Je pense que l'approche historique est vraiment mauvaise en maths (je ne me prononcerai pas sur la physique). Aussi si Riemann n'a pas degagé lui meme la notion de fibré, elle est pourtant indispensable pour parler de métrique, et entre les lignes, on peut trouver chez Riemann, cette définition de fibré. Quand on a compris aujourd'hui a quelle point cette notion est fondamentale et simple, c'est naturel de la mettre au coeur des choses.
Ce serait pour moi comme tenter de faire un cours sur les espaces vectroeil, en voulant obligatoirement ne pas parler de famille libre... Bien sur ca doit etre possible.

Ici, c'est pareil, les notions de faisceau et de fibrés sont a la base de la géométrie, ce sont les premières notions que l'on manipule, faire de la géométrie sans ca.... Ca me laisse vraiment circonspect.

J'aimerai bien voir une "bonne" définition de métrique sur une variété qui ne parle pas de fibré, et avec laquelle bien sur, on puisse vraiment démontrer des théorèmes.

Vous semblez penser que la notion de fibré, est artificielle, que c'est du luxe... Ce n'est vraiment pas mon point de vue, pour moi elle est simple, vraiment tres simple, car "minimale" en un sens.
Bien sur vous pouvez me donner d'autre définition de métrique, je suis pret a parier qu'aucune ne sera aussi conceptuelle, generale et "elegante" (encore que ca reste subjectif) que celle de section de la seconde puissance symetrique du fibré cotangeant, c'est comme ca qu'on m'a enseigné la première fois ce qu'etait une métrique, et je trouve ca vraiment limpide.

Et c'est dans le meme sens que la définition d'un espace topologique est simple par exemple, elle a emergé tres tard... Pourtant, il est a peu pres clair aujourd'hui que c'est LA bonne notion pour faire de la topologie (et pas celle d'espace métrique, ou d'espace normé). Aussi, on la place maintenant au début.

C'est la meme chose ici, certes historiquement on ne s'en rendait pas compte, mais la facon naturelle de faire les choses, et qui est faite dans tous les cours de géométries riemannienne en maths, c'est de définir les fibrés d'abord. Le point de vue est plus fécond. Les démonstrations sont agréables, les phénomènes se passent "bien". Je vois vraiment pas l'interet de se penibiliser sur des notions maladroites, calculatoires, ou peu adaptées, alors que quelque part, la jolie définition,et le joli point de vue est present, il me semble que c'est se mettre des batons dans les roues.

Tout comme a l'origine en géometrie lagébrique on pensait a un point comme en géométrie differentille (donc un element de k^n ou de P^n_k) et bien sur on a "démontré" tout un tas de resultats avec ca. Mais on s'est apercu ensuite que ce n'etait pas la bonne vision et qu'un point localement c'etait un idéal premier d'un anneau de fonctions. Et c'est avec cela qu'on débute aujourdh'ui.

Il me semble quand meme que c'est cette abstraction et cette volonté de remettre les choses dans le bon ordre, qui n'est pas celui historique, mais celui naturel, qui a engendré tous les progres des mathématiques, depuis a peu pres tout le temps.

Alors, bon, je ne pensais meme pas qu'on puisse avoir une vision differente en fait
Mais je pense (enfin tres modestement), que dans un cours de géo diff, oui la notion de faisceau et de fibré devrait etre la base.

Et tiens d'ailleurs, voila un joli cours qui se veut une introduction aux groupe de Lie, qui semble penser comme moi
Ici
Vous remarquerez que c'est un cours d'introduction, et les notions introduites en premier sont celles de variétés, puis fibrés et faisceaux.

Qu'en pensez vous?

[invitea29d1598]

La RG est née au milieu des années 1910 il me semble.
La notion de fibré? Proprement je ne sais pas, cela a du etre fait probablement dans les memes eaux.

pour plus de détails, je vous conseille la lecture de cette thèse (que je n'ai moi-même que survolée tant elle est longue, bien qu'intéressante)... où vous verrez que c'est encore plus tardif que ça...

Mais pas proprement,

justement, c'est là le point important...

Les fibrés sont vitaux en RG, sauf qu'avant les gens etaient moins precuationneux (surtout des physiciens) ils utilisaient des notions mal definies, travaillaient sur des bases floues, et il leur arrivait de faire un peu n'importe quoi.

c'est le propre de la physique... et comme vous le faîtes remarquer vous-même, c'était autrefois aussi le cas des mathématiciens... et il y a quelques jours à peine j'entendais Alain Connes rappeler que le "divorce" entre physique et mathématiques est récent et qu'à l'époque d'Euler les mathématiciens n'hésitaient pas à "manipuler" les objets à la physicienne, ce que tendent à nouveau à faire certains mathématiciens qui interagissent avec des physiciens théoriciens (en particulier cordistes) et qui n'est peut-être pas si "néfaste" aux maths que le penseraient la plupart des mathématiciens puristes...

Aussi certaines choses tres complexes et confuses du temps de leur creation, sont par la suite, fondamentalement compris, et il suffit d'une ou deux pages pour exprimer de manière limpide ce qui prenait avant des centaines de pages, avec des passages douteux.

certes, mais il faut quand même engloutir tout un prérequis mathématique pour comprendre ces deux pages

Je pense que l'approche historique est vraiment mauvaise en maths (je ne me prononcerai pas sur la physique).

bien que n'étant pas mathématicien moi-même, je me permets de dire que je suis persuadé du contraire. Évidemment, je ne suis pas en train de dire qu'il faut se contenter d'elle. Simplement, je pense qu'elle apporte un regard intéressant et enrichissant qu'il est dommage de négliger.

(...) Vous semblez penser que la notion de fibré, est artificielle, que c'est du luxe... Ce n'est vraiment pas mon point de vue, pour moi elle est simple, vraiment tres simple, car "minimale" en un sens.

pour rappel j'ai mis et remis en gras deux points dans mon texte que vous ne semblez pas prendre en compte :

- introduction
- pour physiciens.

Bien sur vous pouvez me donner d'autre définition de métrique, je suis pret a parier qu'aucune ne sera aussi conceptuelle, generale et "elegante" (encore que ca reste subjectif) que celle de section de la seconde puissance symetrique du fibré cotangeant, c'est comme ca qu'on m'a enseigné la première fois ce qu'etait une métrique, et je trouve ca vraiment limpide.

c'est limpide, mais pas pour un physicien et pas non plus pour quelqu'un qui n'a pas déjà un bagage solide en math. En définissant comme cela la notion de métrique vous interdisez la compréhension de la RG à 99% des (astro)physiciens... le sacrifice en vaut-il la peine ? est-ce "pour l'honneur de l'esprit mathématique" ?

Et c'est dans le meme sens que la définition d'un espace topologique est simple par exemple, elle a emergé tres tard... Pourtant, il est a peu pres clair aujourd'hui que c'est LA bonne notion pour faire de la topologie (et pas celle d'espace métrique, ou d'espace normé). Aussi, on la place maintenant au début.

remarque en passant : je trouve ce genre d'affirmations un peu présomptueux... personnellement je me garderais bien de faire des pronostics sur ce que nous dira la science de sujets comme ceux-ci dans 300 ans... à (presque) chaque époque on pense être arrivé au sommet... plus dure est toujours la chute...

C'est la meme chose ici, certes historiquement on ne s'en rendait pas compte, mais la facon naturelle de faire les choses, et qui est faite dans tous les cours de géométries riemannienne en maths, c'est de définir les fibrés d'abord. Le point de vue est plus fécond. Les démonstrations sont agréables, les phénomènes se passent "bien". Je vois vraiment pas l'interet de se penibiliser sur des notions maladroites, calculatoires, ou peu adaptées, alors que quelque part, la jolie définition,et le joli point de vue est present, il me semble que c'est se mettre des batons dans les roues.

encore une fois : ce que j'ai dit (et qu'on dit les autres intervenants) se place dans le cadre d'un cours de RG pas de géométrie différentielle... j'ai un ami qui avait suivi un cours de théorie quantique des champs pour "mathématiciens purs"... en 1h, ça survolait tout ce que 6 mois au rythme de plusieurs heures par semaine n'étaient pas suffisants pour maîtriser dans un cours de physique théorique... la physique n'est pas des mathématiques.

Il me semble quand meme que c'est cette abstraction et cette volonté de remettre les choses dans le bon ordre, qui n'est pas celui historique, mais celui naturel, qui a engendré tous les progres des mathématiques, depuis a peu pres tout le temps.

Alors, bon, je ne pensais meme pas qu'on puisse avoir une vision differente en fait

on peut aussi avoir plusieurs points de vue simultanés ou plus précisément penser qu'il n'y a pas une approche, mais des approches complémentaires... je pense que c'est un peu un des messages à retenir de triangles de pensées... en tous cas pour le choix de la figure de couverture par Connes [complémentarité du global et du local via celle de la géométrie et de l'analyse... d'ailleurs, j'aurais cru que quelqu'un qui travaille sur la géométrie algébrique devrait être convaincu de cette complémentarité]

Mais je pense (enfin tres modestement), que dans un cours de géo diff, oui la notion de faisceau et de fibré devrait etre la base.

certes... mais le HS initial parlait de cours de RG, pas de géo diff

Qu'en pensez vous?

qu'il n'y a probablement même plus d'échelle pour quantifier le degré de HS actuel...

[Fishbedfan]

L'initiateur de la discussion ne se manifeste plus. Aurait-il fui ?

Oui.

Dommage qu'il n'intervienne pas, parce que le mieux serait de faire passer les goûts personnels en arrière-plan et lui apporter des réponses adaptées à ses attentes, non?

Je n'attends plus rien de ce topic. Merci aux intervenants qui auront contribué par des interventions en rapport avec le titre et le 1er post.

[invitedc31994f]

Bonjour,

j'essaye depuis un moment à travers bons nombres de livres de comprendre ce qu'est un tenseur. Le problème est que selon les ouvrages les choses sont définis de manière totalement différentes. Par exemple pour moi dire qu'un tenseur est une application multilinéaire simplifie beaucoup les choses. Mais dans la plus part des ouvrages ce n'est jamais précisé (pourquoi ?). Et il y a des exemples: "éléments de calcul tensorielle" de André lichnerowicz, le fichier PDF en première page du post, "Introduction au calcul tensoriel : Applications à la physique" [broché] etc..

Alors c'est sur il y a un isomorphisme entre les espaces produits tensorielles et l'espace des applications multilinéraires, mais pourquoi ne pas en parler (à part dans le bouquin de laurent Schwartz). Je trouve que cette approche est plus simple et mieux compréhensible pour un novice tel que moi par exemple. Parceque personnelement définir un tenseur comme un élément de l'espace produit tensorielle c'est à dire l'image d'un élément de l'espace produit cartésien par une certaine application canonique (voir la définition de la propriété universelle dans le bouquin de Laurent Schwartz). Je trouve ça pour quelqu'un qui veut faire de la physique totalement indigeste...

Donc moi je dirai pour Fishbedfan qu'un tenseur est une application multilinéaire. Alors c'est peut être pas très "concret" ou peut être pas "avec les mains" mais c'est déja plus simple. Si non un tenseur permet de tenir compte du fait qu'un phénomène physique dépend des directions de l'espace, et qu'il faut plus que 3 quantités pour le mettre en valeur. Par exemple les contraintes mécanique dans un materiau.

Cordialement.

[Amanuensis]

j'essaye depuis un moment à travers bons nombres de livres de comprendre ce qu'est un tenseur. Le problème est que selon les ouvrages les choses sont définis de manière totalement différentes. Par exemple pour moi dire qu'un tenseur est une application multilinéaire simplifie beaucoup les choses.

Pareil pour moi : quand j'ai eu compris cela dans le temps, bien des choses se sont simplifiées. Mais...

Mais dans la plus part des ouvrages ce n'est jamais précisé (pourquoi ?).

Je pense que c'est parce qu'en physique un tenseur c'est "plus que cela", et que ce "plus" est mis "devant" l'idée d'application multilinéaire.

C'est difficile de faire l'abstraction qu'une vitesse (un tenseur !) est une application linéaire, et, encore pire "seulement une application linéaire".

Or un des aspects intéressants (que certains peuvent voir comme une simplification et d'autres comme une complexification inutile) des tenseurs est qu'on peut les voir, via différentes applications canoniques, comme des choses très différentes. Par exemple on peut voir une métrique comme un isomorphisme entre espace et espace dual.

Une vitesse est d'abord vue comme quelque chose sur laquelle s'exerce des applications linéaires ou multilinéaires, pas comme une application linéaire.

Prenons une équation physique très simple : la puissance mécanique. C'est un scalaire qu'on peut obtenir par W=F.v. C'est interprété comme un produit scalaire, ce qui rend difficile de voir F ou v (de bona fide tenseurs !) comme des applications linéaires. Dans l'approche élémentaire, la seule application multilinéaire dans cette formule semble être le produit scalaire.

Comment rendre cela compatible avec la vision, valide, qu'un tenseur est une application multilinéaire ? En écrivant W= F(v) = v(F), c'est à dire que la force est une application linéaire qui à une vitesse associe la quantité scalaire W, et que v est une application linéaire qui à une force associe la quantité scalaire W. Ainsi, selon cette interprétation, la vitesse est vue comme différentes "choses", mathématiquement équivalentes (via les applications canoniques) mais physiquement très distinctes.

Cette interprétation est valide et simplificatrice pour moi (parce qu'unificatrice), mais peut paraître inutilement abstraite, ou même aberrante (genre "ce n'est pas conforme au 'sens physique', et donc n'a aucun sens en physique"), pour d'autres.

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Bref, j'ai le même sentiment que "dire qu'un tenseur est une application multilinéaire simplifie beaucoup les choses", et qu'il est plus simple pour la physique de présenter un espace de tenseurs comme un espace d'applications multilinéaires (par exemple l'espace des tenseurs (0,2) comme l'espace des applications bilinéaires de E² dans le corps de base) ; mais il faut aussi accepter que cela correspond à un changement assez abstrait de la vision de ce que sont des "objets physiques" courants comme la vitesse, la force, la quantité de mouvement, etc., ce qui n'est pas nécessairement un pas qui "simplifie beaucoup les choses" pour tout le monde.

Que le paysage conceptuel, une fois le saut conceptuel fait, soit plus simple, ne simplifie en rien le saut conceptuel lui-même !

(Je pourrais comparer cela aux calculettes en RPN de HP, vs. les expressions parenthésées. Certes, quand on a fait l'effort de maîtriser la RPN, faire certains calculs devient très simple. Mais les HP avec RPN ont pratiquement disparu du marché : ce n'est pas ce que les gens veulent.)

[Caveat : le message ci-dessus est strictement dans le cadre de l'algèbre linéaire appliquée à la physique. Les termes sont à prendre dans ce domaine, et non dans celui de la géo diff. E.g., tenseur ne correspond pas à "champ de tenseur".]

[Fishbedfan]

Alors c'est peut être pas très "concret" ou peut être pas "avec les mains" mais c'est déja plus simple.

On peut avoir des images concrètes quand même.
-l'aspect application multilinéaire peut être appréhendé en visualisant la susceptibilité électrique (si on fait varier Ex, ça contribue à changer Py)
- l'aspect espace produit tensoriel peut être appréhendé avec l'image que j'ai dessiné (tenseur = couple, triplet, etc de vecteurs) tirée de "Thinking Physics"
Par contre appréhender l'isomorphisme entre les deux aspects "avec les mains", là...

[Fishbedfan]

Par contre appréhender l'isomorphisme entre les deux aspects "avec les mains", là...

Je développe un peu. Avec les mains, un tenseur décrit en même temps un objet (tenseur des déplacements, tenseur des contraintes... aspect produit tensoriel) et une transformation (susceptibilité... aspect application multilinéaire). Faire "jointer" les deux avec les mains n'est pas évident.