Expliquer les tenseurs avec les mains

[Fishbedfan]

Bonjour.

Imaginons que vous ayez à expliquer ce qu'est un tenseur à quelqu'un qui connait les notions de scalaires et de vecteurs et en quoi cet objet est utile en mécanique des milieux continus et en RG. Comment le feriez-vous ?
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[merofutura]

J'ai du mal à l'imaginer... =)

[invite69d38f86]

S'il sait ce que c'est qu'un champ de gradient il pourra remarquer que ca ne se comporte pas comme un champ de vecteurs.
si on multiplie les vecteurs de base par 2 les coordonnées du vecteur son divisées par 2 comme lors d'un changement d'unité. Alors que le gradient "covarie": ses composantes sont multipliées par 2.

[Fishbedfan]

S'il sait ce que c'est qu'un champ de gradient il pourra remarquer que ca ne se comporte pas comme un champ de vecteurs.
si on multiplie les vecteurs de base par 2 les coordonnées du vecteur son divisées par 2 comme lors d'un changement d'unité. Alors que le gradient "covarie": ses composantes sont multipliées par 2.

Merci de votre contribution mais je pensais plutôt à une explication conceptuelle sans gradients, vecteurs covariants, etc.
Par exemple, un tenseur peut être un objet composé de deux vecteurs (tenseur d'ordre 2 donc) et celui-ci peut se transformer. Dans le dessin, le tenseur modélise une membrane élastique qui se transforme en un autre tenseur en appliquant une transformation (on tire sur les diagonales). Cet exemple est fortement inspiré de "Thinking physics" de Lewis Carroll Epstein p22

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Merci de votre contribution mais je pensais plutôt à une explication conceptuelle sans gradients, vecteurs covariants, etc.
Par exemple, un tenseur peut être un objet composé de deux vecteurs (tenseur d'ordre 2 donc) et celui-ci peut se transformer. Dans le dessin, le tenseur modélise une membrane élastique qui se transforme en un autre tenseur en appliquant une transformation (on tire sur les diagonales). Cet exemple est fortement inspiré de "Thinking physics" de Lewis Carroll Epstein p22

Bonjour,

Voici une introduction simple aux tenseurs que j'ai écrite récemment:

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post3239390

message #20.

[Fishbedfan]

Voici une introduction simple aux tenseurs que j'ai écrite récemment:

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post3239390

message #20.

Merci du lien mais, sauf erreur de ma part, il ne répond pas à la 2nde moitié de la question ("en quoi cet objet est utile en mécanique des milieux continus et en RG").

[invite7ce6aa19]

Merci du lien mais, sauf erreur de ma part, il ne répond pas à la 2nde moitié de la question ("en quoi cet objet est utile en mécanique des milieux continus et en RG").

Bonjour,

1- Un tenseur est un vecteur.

Le philosophie des tenseurs et donc leurs utilités est strictement celles des vecteurs (structure mathématique bien définie) car un tenseur est lui-même un vecteur.

2- Vecteur et représentationS


Quand on dit que la vitesse du vent est V cette vitesse à un caractère intrinsèque, cad indépendant de tous repères (cad de toute représentation).

Le même vecteur peut étre représenté par une matrices colonne C1 dans une base B1 et par une autre matrice colonne dans une base B2.
Néanmoins les matrices colonnes C1 et C2 représentent le même vecteur V.

3- D'où viennent les tenseurs?

Ils sont fabriqués à partir de 1 ou plusieurs espaces vectoriels par l'opération mathématique produits tensoriels d'espaces.

4- Quelles sont leurs propriétés originales.

Les tenseurs héritent des propriétés des espaces géniteurs.

5- A quoi çà sert?


A exprimer les propriétés physiques indépendamment de tous repères.

Exemple1:

m.dV/dt = F

m est un tenseur de rang 0

V est un tenseur de rang 1

F est un tenseur de rang 1


Exemple 2:

P = EPS.E

qui exprime la polarisation électrique d'un matériau.

P et E sont de tenseurs de rang 1

EPS est un tenseur symétrique de rang 2.


Exemple 3:

E = - grad.V

V est un tenseur de rang 0

E et l'opérateur grad sont des tenseurs de rang 1


Exemple 4:

rot E = -dB/dt

E est un tenseur de rang 1

B et l'opérateur rot sont des tenseurs antisymétriques de rang 2.


Comme tu le vois à aucun moment n'apparait une base quelconque, car cela est vrai dans toutes les bases.

Bien entendu, cela est vrai pour tous les secteurs de la physique y compris bien sûr la RG.

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Nota: En fait les tenseurs que je t'ai présenté ci-dessus sont des champs de tenseurs cartésiens et donc restreints aux sous-ensembles des repères cartésiens. En coordonnées curvilignes, il y a des modifications à faire. Le but étant ici d 'appréhender le concept de tenseurs et non de développer le formalisme.
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[Fishbedfan]

Merci Mariposa. C'est un peu dommage que tu ne te mettras au LaTEX que quand les poules auront ouverte des facultés d'odontologie
Le seul exemple donné qui oblige (pour moi) à introduire le tenseur est celui de la susceptibilité électrique. Les termes non diagonaux de la matrice permettent de "coupler les bases": augmenter la composante du champ selon y peut augmenter la polarisation selon z.

[invite7ce6aa19]

Merci Mariposa. C'est un peu dommage que tu ne te mettras au LaTEX que quand les poules auront ouverte des facultés d'odontologie

Bonjour,


Je privilégie d'abord le fond sur la forme. Mieux vaut une expression mal écrite que des bêtises écrites en Latex.

Dans un avenir pas trop lointain je produirais d'abord des figures, le latex viendra plus tard..

Le seul exemple donné qui oblige (pour moi) à introduire le tenseur est celui de la susceptibilité électrique. Les termes non diagonaux de la matrice permettent de "coupler les bases": augmenter la composante du champ selon y peut augmenter la polarisation selon z

C'est un très bon exemple (c'est celui que prend Feymann dans son cours).

Par contre ton expression "coupler les bases" même avec des parenthèses est dangereuse pour la compréhension des tenseurs. Néanmoins j'ai parfaitement compris ce que tu voulais dire.

Si tu as une susceptibilité (cad une fonction de réponse) exprimée dans une base quelconque, cette susceptibilité est représentée dans une base déterminée par une matrice symétrique de rang 2 cad un vecteur qui appartient à un espace de dimension 6. Dans une autre base (celle qui diagonalise la matrice symétrique) le vecteur de dimension 6 possède 3 composante nulles (celles qui sont off-diagonales) et donc 3 composantes non nulles qui correspondent aux éléments de matrice diagonaux. Les directions qui diagonalisent la matrice symétrique s'appellent axes principaux (voir par exemple ellipsoïde des indices).

En résumé:

Une susceptibilité linéaire , en physique classique est toujours représentée par un tenseur symétrique de rang 2 cad un vecteur d'un espace vectoriel de dimension 6. Ce tenseur symétrique est représenté dans une base déterminée par une matrice symétrique.

[Fishbedfan]

La réponse est peut-être triviale mais pour pourquoi dim = 6 ?

[Fishbedfan]

La réponse est peut-être triviale mais pour pourquoi dim = 6 ?

Car on a le tenseur a des composantes xx, xy, xz, yy, yz, zz ?

[Amanuensis]

La réponse est peut-être triviale mais pour pourquoi dim = 6 ?

L'espace des tenseurs de rang 2 (disons ceux de rang (2,0)) sur un espace E de dimension n est de dimension n² (c'est isomorphe à ExE).

Si on se restreint au sous-espace des tenseurs (2,0) symétriques, on contraint par n(n-1)/2 égalités (les C(n,2) permutations de dimension). Reste n²-n(n-1)/2 dimensions, soit n(n+1)/2, et dans le cas n=3 cela fait 6. (Et donc 10 en dimension 4, pour la RG.)

Ces tenseurs ont quand même n² composantes, mais les égalités font réduire la dimension du sous-espace. Tout comme le sous-espace x=y de R3 est de dimension 2...

[invite7ce6aa19]

Car on a le tenseur a des composantes xx, xy, xz, yy, yz, zz ?

Absolument.

Tu as indiqué les 6 composantes d'un vecteur ( c'est un vecteur parce que il est impossible d'obtenir une composante à partir des 5 autres. Dit autrement les 6 composantes sont indépendantes).

Ce vecteur est un tenseur symétrique de rang 2 parce que les matrices de changements de base, donc des matrices carrées 6*6 = 36 ne peuvent pas être quelconque: Elles sont contraintes.


Remarque: dans une judicieuse autre base cad par changement de base ton vecteur à 6 composantes pourrait s'écrire:

a,b,c,0,0,0

Soit 3 composantes nulles.

La morale de l'histoire est qu'il faut avoir présent à l'esprit qu'un tenseur est:

1-Est d'abord un vecteur (il obéit aux axiome des espaces vectoriels).

2- Ce vecteur est construits par produits tensoriels d'espaces "géniteurs" . (le "s " de espaces est très très important).

3- Ce vecteur est muni de propriétés spéciales relativement aux changements de base qui héritent des espaces géniteurs.

On peut classer les tenseurs usuels selon les propriétés spéciales. sans commentaires un tenseur est noté:

T (p,q,N)

Le couple (p,q) désigne la valence.

N est la dimension des espaces géniteurs lorsqu'ils sont de même dimension.

Remarque: Tous les tenseurs sont des vecteurs, le contraire est faux.

Les changements de base dans les espaces géniteurs peuvent être quelconque. Lorsque les changements de base sont restreints aux transformations orthogonales on dit qu'il s'agit de tenseurs cartésiens. Pour comprendre et visualiser les tenseurs mieux vaut dans un premier temps se restreindre aux tenseurs cartésiens.

[Fishbedfan]

Merci de cet exposé. Il ne me parait pas très orthodoxe si je le compare à ce que j'ai pu lire ailleurs. J'ai un peu de mal avec "l'aplatissement" d'une matrice en un vecteur: impression qu'on perd en structure. Ceci dit, je pense que le croisement de points de vue est enrichissant.

[invite5f67e63a]

C'est marrant j'ai toujours eu l'impression que les physiciens rendaient vraiment compliqué ce qui en fait est tres simple, et qu'ils "mesutilisent" les "tenseurs". Ou plutot leur font avoir un role qui n'est pas trop le leur. Bon apres, ce n'est pas une critique... mais j'ai toujours ete un peu circonspect vis a vis de la presentation qui en est donnée en RG par exemple.

Un produit tensoriel, ca sert a une chose, a transformer du bilinéaire en du linéaire. Quand tu prends deux espaces vectoriels E et F, alors il existe un espace unique (a isomorphisme pres) que l'on note , tel qu'il y ait une bijection entre les application bilineaire de ExF dans n'importe quel espace T, et les applications linéaire de dans T. Dans ce cas la est engendré par ou e_i est une base de E et f_i une base de F. Et les operations sont celles auxquelles on pense.

Maintenant, en RG par exemple, la difficulté ne vient pas comme on pourrait le croire de la notion de tenseur, mais du fait que l'on a des notions qui vivent sur les fibrés tangents et cotangeants, et leurs produits tensoriels.
Mais la sempiternelle remarque dans les bouquins de RG, "se transforme comme un tenseur" etc... N'a rien a voir avec la notion de tenseur, mais bien de verifier a chaque fois que l'on a des objets qui vivent dans ces fibrés. Apres j'ai toujours eu l'impression que les physiciens utilisaient le mot tenseur comme un mot magique, une sorte de super matrice, ou de super vecteur, bien commode... pourquoi pas, mais c'est vraiment pas l'interet de la notion, c'est particulièrement le cas en meca du solide a mon humble avis, ou franchement j'ai pas l'impression que conceptuellement ca serve mise a part a donner des écritures compacte (et encore).

Il me semble que en RG comme en meca des milieu continu, la vrai bonne notion sur lesqueles les physiciens devraient insister et la notion de fibration... qu'ils melangent un peu avec celle de tenseur....

Rque: un vecteur peut toujours etre vu comme un "tenseur" (au sens element d'un produit tensoriel d'espaces). Mais meme le mot tenseur en lui meme est bizarre. Il y a des produits tensoriels d'espaces... point.

Bref

[invite7ce6aa19]

Merci de cet exposé. Il ne me parait pas très orthodoxe si je le compare à ce que j'ai pu lire ailleurs. J'ai un peu de mal avec "l'aplatissement" d'une matrice en un vecteur: impression qu'on perd en structure. Ceci dit, je pense que le croisement de points de vue est enrichissant.

Contrairement à ce que tu pourrais croire, mon exposé n'est pas orthodoxe. Ce qui te choques est la mise à plat de la matrice pour reprendre ton expression. Pourquoi?

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel?

Il faut avoir à l 'esprit que si tu as 2 matrices fixes de dimension (m,n) notée M1 et M2 et une matrice M° remplie de zéros.

A partir de ces 2 matrices tu peux fabriquer un ensemble de matrices sous la forme:

a.M1 + b.M2

Ceci correspond exactement à la définition d'un espace vectoriel. J'ai définit une loi de composition interne: l'addition conventionnelle des matrices et une loi de composition externe par un corps externe, et bien sur l'élément neutre.

Dans ce cas la dimension de l'espace vectoriel est 2.m.n (le 2 parce que j'ai pris 2 matrices). On peut toujours mettre à plat une matrice pour la penser comme un espace vectoriel. Tu peux par exemple, remplacer les couples d'indices (i,j) par un seul indice k qui varie de 1 à m.n.

Le problème est que si tu fais çà pour un tenseur (qui est bien un vecteur) tu perds la trace de sa fabrication.

Il ne faut surtout pas écrire:

qu'un tenseur de rang 0 c'est un scalaire, un tenseur de rang 1 est un vecteur et un tenseur de rang 2 une matrice.

Si cela te choque encore et te laisse perplexe, prend le Feymann électromagnétisme et tu verras, ce que tu verras.

[invite6754323456711]

mais j'ai toujours ete un peu circonspect vis a vis de la presentation qui en est donnée en RG par exemple.

Un produit tensoriel, ca sert a une chose, a transformer du bilinéaire en du linéaire.

Il y a des présentations de la RG sur internet qui présente les tenseurs par l'algèbre multilinéaire et la définition d'un tenseur peut être donnée sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire et d'espace vectoriel dual.

Une présentation Mathématique du produit tensoriel pour Physicien

la notion de fibration...

La fibration présenté avec les complexes qui peuvent être vu sous deux angles algébrique et géométrique. C'est plutôt magique

Patrick

[Amanuensis]

Maintenant, en RG par exemple, la difficulté ne vient pas comme on pourrait le croire de la notion de tenseur, mais du fait que l'on a des notions qui vivent sur les fibrés tangents et cotangeants, et leurs produits tensoriels.

Ce sont deux notions différentes. La théorie des tenseurs est de l'algèbre linéaire, elle est indépendante des notions de fibrés, etc. qui ressortent de la géométrie différentielle.

Pour la RG, faut assimiler et les uns et les autres. Et il est raisonnable de commencer par les tenseurs avant de s'attaquer aux obstacles suivants...

Mais la sempiternelle remarque dans les bouquins de RG, "se transforme comme un tenseur" etc... N'a rien a voir avec la notion de tenseur, mais bien de vérifier a chaque fois que l'on a des objets qui vivent dans ces fibrés.

Non. Par exemple le symbole ne "se transforme pas comme un tenseur", et cela n'a aucun rapport avec la géo diff...

Il est vrai qu'en RG on parle plus souvent (et on mélange allégrement) les tenseurs et les champs de tenseurs, mais l'algèbre linéaire, elle, parle de tenseurs sans parler de champs.

[Amanuensis]

Après j'ai toujours eu l'impression que les physiciens utilisaient le mot tenseur comme un mot magique, une sorte de super matrice, ou de super vecteur, bien commode... pourquoi pas, mais c'est vraiment pas l'intérêt de la notion, c'est particulièrement le cas en meca du solide à mon humble avis, où franchement j'ai pas l'impression que conceptuellement ça serve mis à part à donner des écritures compacte (et encore).

Je suis toujours un peu gêné par ce genre de remarque. Il y a deux manières de les interpréter, et les deux sont désobligeantes pour quelqu'un. La première est de voir dans le texte un aveu d'incompréhension (l'auteur ne voit pas l'intérêt), et plus ; l'autre est une critique du genre "ils" ont inventé des concepts qui ne servent à rien de positif (juste pour embêter les étudiants ?).

Il me semble que en RG comme en meca des milieu continu, la vrai bonne notion sur lesquelles les physiciens devraient insister est la notion de fibration... qu'ils mélangent un peu avec celle de tenseur....

Là par contre, pour qui c'est désobligeant est clair ! Mais de quels physiciens parlez-vous exactement ? Vous avez des exemples ?

Je serais intéressé à voir comment on peut "mélanger" ces notions qui n'ont à bien regarder pas grand chose à voir entre elles ! En particulier vérifier sur des exemples si le mélange est le fait de celui qui écrit ou de celui qui lit.

Désolé si ce message ne plaît pas (mais plaire n'est pas mon but sur ce forum), il reflète ma réaction à la lecture de propos publics que je perçois comme désobligeants.

[invite5f67e63a]

Ce sont deux notions différentes. La théorie des tenseurs est de l'algèbre linéaire, elle est indépendante des notions de fibrés, etc. qui ressortent de la géométrie différentielle.

Pour la RG, faut assimiler et les uns et les autres. Et il est raisonnable de commencer par les tenseurs avant de s'attaquer aux obstacles suivants...



Non. Par exemple le symbole ne "se transforme pas comme un tenseur", et cela n'a aucun rapport avec la géo diff...

Il est vrai qu'en RG on parle plus souvent (et on mélange allégrement) les tenseurs et les champs de tenseurs, mais l'algèbre linéaire, elle, parle de tenseurs sans parler de champs.

C'est exactement ce que je dis
En RG, on voit d'un meme bloc, le produit tensoriel et ces champs de tenseur, c'est a dire la definition des fibrés tangeants et cotangeants, alors que ce sont deux choses vraiment differentes. Enfin bon, cela est sans doute satisfaisant, mais a l'epoque, (et toujours aujourd'hui), j'avais trouvé cette façon de faire particulièrement moche, si on rajoutte a ca le formalisme lui aussi peu ragoutant.

Mais se transformer comme un tenseur cest exactement une propriété du fibré! C'est en langage mathématique verfier que si l'on se donne un fibré (qui sera dans le cas de la RG, un produit tensoriel de p fois le fibré tangent par p fois le fibré cotangenant), et des sections locales, alors elles se recollent un une section globale du fibré... mais le calcul provient de la notion de fibré (ou de faisceau plutot, mais peu importe), pas du tout du fait que le fibré qu'on considère soit un fibré , si on avait eu un fibré quelconque alors on aurait du faire pareil.

[invite5f67e63a]

Je suis toujours un peu gêné par ce genre de remarque. Il y a deux manières de les interpréter, et les deux sont désobligeantes pour quelqu'un. La première est de voir dans le texte un aveu d'incompréhension (l'auteur ne voit pas l'intérêt), et plus ; l'autre est une critique du genre "ils" ont inventé des concepts qui ne servent à rien de positif (juste pour embêter les étudiants ?).

Non, je dis juste que cette façon de voir les choses peut etre embrouillé, du fait que souvent les physiciens ne sont eux meme aps clair vis a vis des maths, mais ce n'est pas une critique, ce n'est pas leur boulot, et quand un physicien a tenté de m'expliquer des maths je n'y ai jamais rien compris. C'est pourquoi je pense que l'eclairage des matheux sur certains points peut etre benefique. (notion de differentielle, de fibré tangent, de champ de vecteur... je ne crois par exemple pas une seule fois avoir lu le mot section d'un fibré dans mon cours de RG, alors qu'on y parle tout le temps de champs de vecteur...). Quand j'ai appris les choses correspondantes, vu par les mathématiciens, j'ai eu l'impression d'un immense brouillard qui se levait.

Aussi, je ne dis pas que c'est mieux de le voir d'un point de vue necessairement mathématiques, je dis que pour certaines personnes cela peut eclairer, tout comme je concois que d'autre personnes ont besoin du point de vue physicien, parce que celui du matheux leur semble completement abscon.

Là par contre, pour qui c'est désobligeant est clair ! Mais de quels physiciens parlez-vous exactement ? Vous avez des exemples ?

Bah oui des tas, je ne vais aps donner de nom, mais de mon prof de sup de physique (qui m'expliquait de df c'etait f'(t)dt, c'est tout, sans jamais me dire ce qu'etait une differentielle), mon prof de physique de RG (qui avait des conceptions douteuses sur ce qu'etaient vraiment une variété differentiable), jusqu'a mon ex coloc thésarde en cosmologie, en passant par de tres bon chercheurs en thoerie des cordes qui m'ont fait me tordre de rire en essayant de m'expliquer (ce que je savais tres bien de part mon boulot propre) le lien entre fonction modulaire et fonction sur l'espace des classes de 2-tores (meme un tres bon ami a moi physicien de son etat (et bon matheux) m'a avoué avoir trouvé completement incomprehensible, je lui ai conseillé la lecture du cours d'arith de Serre, et il a trouvé ca bcp plus clair).

Mais encore une fois, il n'y a pas surperiorité d'un point de vue sur l'autre juste des gens differents.

Mais encore une fois, je serai ravi d'etre dementi et de voir un cours de meca du solide, ou la notion de produit tensoriel est bien presentée et est pertinente.

Je serais intéressé à voir comment on peut "mélanger" ces notions qui n'ont à bien regarder pas grand chose à voir entre elles ! En particulier vérifier sur des exemples si le mélange est le fait de celui qui écrit ou de celui qui lit.

Lisez le pdf plus haut, tout y est presenté ensemble... (je ne le trouve pas mauvais d'ailleurs, loin de là, mais encore une fois on dirait pas qu'il traite de deux sujets, mais je reconnais que dans un cours de RG, le temps presse, bien evidemment).

Désolé si ce message ne plaît pas (mais plaire n'est pas mon but sur ce forum), il reflète ma réaction à la lecture de propos publics que je perçois comme désobligeants.

Mon but a moi, n'a pas été de froisser qui que ce soit, ou d'etre desobligeant vis a vis de personne, juste d'apporter un eclairage sur des notions, que j'ai eu moi meme du mal a saisir quand des physiciens me les ont presentés et qui m'ont paru limpides, une fois vu en maths... j'ai juste voulu donné un autre point de vue.

[invite6754323456711]

le temps presse, bien evidemment.

Il me semble comprendre que la difficulté pour le physicien est double c'est à dire de maîtriser la physique au travers d'un langage mathématique. Comprendre les concepts mathématiques ne suffit pas pour comprendre la physique (il reste encore beaucoup de travail de compréhension à effectuer). Le mathématicien, quant à lui, peut ce concentrer que sur les concepts mathématiques et prendre le temps de les approfondir.

Je lis un livre sur la relativité restreinte qui traite de manière générale des effets physiques mesurables sur la notion d'un observateur tout à fait général, c'est à dire pouvant être accéléré ou en rotation. La difficulté ne porte pas sur les mathématiques dont les pré-requis sont relativement limités, mais bien sur la compréhension physique.


Patrick

[Amanuensis]

Mais se transformer comme un tenseur c'est exactement une propriété du fibré!

Je n'arrive pas à le voir comme cela. J'ai l'impression que par "se transformer comme un tenseur", nous parlons de deux choses distinctes.

Par exemple, un "vecteur-axial" en 3D n'est pas un tenseur de rang 1 ("ne se transforme pas comme un tenseur"), parce qu'il ne s'inverse pas sous l'effet de l'inversion (le changement de base u_i --> -u_i). Cela n'a rien à voir avec les fibrés.

[Amanuensis]

Quand j'ai appris les choses correspondantes, vu par les mathématiciens, j'ai eu l'impression d'un immense brouillard qui se levait.

Pour tout dire, j'ai eu exactement la même expérience. Mais pas nécessairement par "vu par les mathématiciens" ! Et même plutôt pas par les purs mathématiciens. Parmi les textes qui m'ont été le plus illuminant, beaucoup sont des "physiciens-mathématiciens", qui ne font pas d'axiomatique lourde, mais qui cherchent à faire passer les concepts mathématiques.

D'un autre côté, toujours par expérience, il a été très rare qu'un seul texte, quelle que soit son origine, m'ait amené à lever le brouillard, mais bien plutôt par recoupage entre divers textes, chacun ayant sa qualité propre, mais moindre que celle de l'ensemble.

Bah oui des tas (...)

"Des", donc. Et non pas "les", comme dans le message auquel j'ai réagi (les physiciens). La généralisation était pour beaucoup dans ma gêne.

Qu'il y ait des approches différentes, qu'on puisse juger (subjectivement) comme plus ou moins bonne, rien de neuf.

Je trouve quand même négatif de focaliser l'information sur les insatisfactions. Pourquoi ne pas dire qu'on peut trouver des physiciens (et peut-être même beaucoup) qui n'ont pas les travers que vous indiquiez ? Et conseiller leurs textes ?

La bibliothèque virtuelle (en tête de gondole dans le forum physique) est un bon exemple d'indications positives, une liste de textes aisément trouvables et à conseiller.

[invite7ce6aa19]

C'est marrant j'ai toujours eu l'impression que les physiciens rendaient vraiment compliqué ce qui en fait est tres simple, et qu'ils "mesutilisent" les "tenseurs". Ou plutot leur font avoir un role qui n'est pas trop le leur. Bon apres, ce n'est pas une critique... mais j'ai toujours ete un peu circonspect vis a vis de la presentation qui en est donnée en RG par exemple.

Bonjour,

Comme te l'a fait remarquer Amanuensis parler des physiciens et de leur rapports avec les tenseurs n'a aucun sens. D'abord les tenseurs s'appliquent dans divers compartiments de la physique et ce de différentes façons. C'est pourquoi les bouquins et les cours de physiques introduisent les tenseurs selon les besoins du cours et les tenseurs sont très loin de se réduire à la présentation style RG. En plus dans les physiciens il y a des approches théoriques et des approches pour expérimentateurs et ce n'est pas du tout la même chose.

Un produit tensoriel, ca sert a une chose, a transformer du bilinéaire en du linéaire.

Certainement pas.

Quand tu prends deux espaces vectoriels E et F, alors il existe un espace unique (a isomorphisme pres) que l'on note , tel qu'il y ait une bijection entre les application bilineaire de ExF dans n'importe quel espace T, et les applications linéaire de dans T. Dans ce cas la est engendré par ou e_i est une base de E et f_i une base de F. Et les operations sont celles auxquelles on pense.

Fortement réducteur: Pourquoi prendre 2 espaces de même dimension?

Maintenant, en RG par exemple, la difficulté ne vient pas comme on pourrait le croire de la notion de tenseur, mais du fait que l'on a des notions qui vivent sur les fibrés tangents et cotangeants, et leurs produits tensoriels.

Les difficultés de comprendre les tenseurs en RG vient du fait qu'il s'agit de champs de tenseurs qui supposent comme l'on ai une bonne maîtrise technique et conceptuelle des tenseurs tout court..sinon les lacunes s'accumulent et se multiplient.

La notion de fibré ou plutôt de varité fibrée, c'est autre chose et n'est en rien une propriété liée à la RG, même si en RG on peut en faire un bon usage.

Mais la sempiternelle remarque dans les bouquins de RG, "se transforme comme un tenseur" etc... N'a rien a voir avec la notion de tenseur, mais bien de verifier a chaque fois que l'on a des objets qui vivent dans ces fibrés.

C'est justement le coeur de la philosophie des tenseurs qui se généralise par la théorie des representations de groupe.

En effet un vecteur d'un espace E1 qui se transforme comme un vecteur d'un espace E2 par changement de base dans un espace E3 fait des vecteurs de E1 et des vecteurs de E2 des tenseurs dont la valence (p,q) est déterminé par la transformation induite par la transformation dans E3.

C'est pourquoi on peut établir un isomorphisme d'espaces vectoriels entre E1 et E2.

Les fibrés n'ont rien à voir là-dedans.

En fait les tenseurs ne sont que des module de reprèsentations réductibles des groupes GL(n,R). Pourquoi donc se focaliser sur ce seul groupe alors qu'il y en a des millions (en fait beaucoup plus).

Apres j'ai toujours eu l'impression que les physiciens utilisaient le mot tenseur comme un mot magique, une sorte de super matrice, ou de super vecteur, bien commode...

Les physiciens font ce qu'ils peuvent avec ce que l'on leur apprend dans le contexte scolaire et en plus je fais l'hypothèse généreuse que le prof maîtrise la question, c'est une manière d'être faux-cul pour moi.

En aucune façon on ne peut dire que les tenseurs sont des supermatrices, par contre il est juste de dire que les tenseurs sont des supervecteurs cad des vecteurs qui ont pour composantes des vecteurs qui eux-même ont pour composantes des vecteurs.... en fait du point de vue de la théorie des formes quadratiques on appelle quelquechose de très proche des tenseurs des bivecteurs, trivecteurs etc....

pourquoi pas, mais c'est vraiment pas l'interet de la notion, c'est particulièrement le cas en meca du solide a mon humble avis, ou franchement j'ai pas l'impression que conceptuellement ca serve mise a part a donner des écritures compacte (et encore).

C'est effectivement l'impression que peut avoir lorsque l'on n 'y comprends rien.

Il me semble que en RG comme en meca des milieu continu, la vrai bonne notion sur lesqueles les physiciens devraient insister et la notion de fibration... qu'ils melangent un peu avec celle de tenseur....

La notion de fibré et de tenseurs n'ont à rien à voir. Par contre si veut établir un razpport entre les deux il faut se placer du point de vue du langage des catégories en mathématiques et là il y a un rapport étroit, mais cela n'a rien à voir avec l'usage des fibrés et des tenseurs en RG.

Rque: un vecteur peut toujours etre vu comme un "tenseur" (au sens element d'un produit tensoriel d'espaces).

C'est archi-faux: un tenseur est toujours un vecteur. par contre un vecteur n'est pas forcemment un tenseur.

Mais meme le mot tenseur en lui meme est bizarre. Il y a des produits tensoriels d'espaces... point.

Bah oui et c'est même la base des tenseurs. Un tenseur c'est un vecteur d'un espace vectoriel, espace vectoriel obtenus par produits tensoriels d'espace. c'est même le BABA de la MQ.

[invite5f67e63a]

Bonjour,

Comme te l'a fait remarquer Amanuensis parler des physiciens et de leur rapports avec les tenseurs n'a aucun sens. D'abord les tenseurs s'appliquent dans divers compartiments de la physique et ce de différentes façons. C'est pourquoi les bouquins et les cours de physiques introduisent les tenseurs selon les besoins du cours et les tenseurs sont très loin de se réduire à la présentation style RG. En plus dans les physiciens il y a des approches théoriques et des approches pour expérimentateurs et ce n'est pas du tout la même chose.

Pourtant la suite de votre message confirme mes dires. Vous ne maitrisez pas du tout le concept de produit tensoriel d'un point de vue mathématique (ce qui ne doit tres certainement pas vous empecher de faire de la bonne physique, je n'ai aucune competence a etre juge dans ce domaine)

Certainement pas.

C'est exactement la définition du propduit tensoriel, ouvrez un luvre d'algèbre commutative, ouvrez bourbaki...

Fortement réducteur: Pourquoi prendre 2 espaces de même dimension?

Ou ai je dit que les deux espaces etaient de meme dimension. Ceci est la définition meme du produit tensoriel. Demandez a n'importe quel mathematicien, c'est ce qu'il vous donnera (c'est plus precisément la propriété universelle du produit tensoriel, le fait que ce soit une somme amalgamée dans la catégorie des modules (ou ev ici), le fait qu'il existe toujours est un theorème le fait qu'il soit unique est une trivialité, en tant que solution d'un probleme universel).
Le fait que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels admet une base, n'est pas une fait innocent, c'est tres important, et cela ne marche plus si l'on prend un des modules par exemple, ou les choses se compliques, avec vos visions des choses je serait curieux de voir le calcul de ou par exemple montrer que

Les difficultés de comprendre les tenseurs en RG vient du fait qu'il s'agit de champs de tenseurs qui supposent comme l'on ai une bonne maîtrise technique et conceptuelle des tenseurs tout court..sinon les lacunes s'accumulent et se multiplient.

Sur ce point je suis d'accord.

La notion de fibré ou plutôt de varité fibrée, c'est autre chose et n'est en rien une propriété liée à la RG, même si en RG on peut en faire un bon usage.

Non ce n'est pas autre chose? C'est quoi un "champ"? C'est une section d'un fibré (en mathématique on parle de fibré tout court), ni plus, ni moins.

C'est justement le coeur de la philosophie des tenseurs qui se généralise par la théorie des representations de groupe.

... Je pense qu'en tant que mathématicien, je connais assez bien le "coeur de la philosophie" des tenseurs... Et je pense aussi qu'il n'a rien a voir avec ca... Un tenseur ca sert a transformer du linéaire en du bilinéaire (apres bien sur ca apparait sous de multiple forme, bossant dans le domaine de la géométrie arithmétique, je pourrais vous dire, le coeur de la philo du produit tensoriel c'est de faire des changement de base, ou de donner des structures de -catégories aux catégroies que l'on manipule).
Les represenations de groupes sont plutot une genralisation de l'analyse de fourier. Mais effectivement le produit tensoriel intervient (il intervient partout en mathématique), par exemple comme extension des scalaires encore un fois, pour construire la representation induite, qui si vous voyez une represnetation comme un k[G]-module M, vous dite juste que l'induite est donnée par la tensorisation .

En effet un vecteur d'un espace E1 qui se transforme comme un vecteur d'un espace E2 par changement de base dans un espace E3 fait des vecteurs de E1 et des vecteurs de E2 des tenseurs dont la valence (p,q) est déterminé par la transformation induite par la transformation dans E3.

C'est pourquoi on peut établir un isomorphisme d'espaces vectoriels entre E1 et E2.

Les fibrés n'ont rien à voir là-dedans.

Encore une fois je suis ravi de savoir qu'il existe des moyens de savoir que des ev ne sont pas isomorphes sans rien preciser ni qui ils sont, ni rien du tout sur eux...(ou qu'on fait des changement de base "dans un espace E3", si vous vouliez demontrer que les physiciens maitrisent les mathématiques dont ils parlent, c'est raté...)
Les fibrés n'ont rien a voir avec la notion de produit tensoriel je suis bien d'accord. Sauf qu'en physique, on utilise la notion de CHAMP (et en particulier champ de tenseur), et cela cela a tout avoir avec la notion de fibré, et c'est de la que vient tous le probleme de transformation de tenseurs et les "se tranforme comme un tenseur", pour savoir comment recoller des sections. Sinon quel serait l'interet exactement (peut etre m'echappe t il)?

En fait les tenseurs ne sont que des module de reprèsentations réductibles des groupes GL(n,R). Pourquoi donc se focaliser sur ce seul groupe alors qu'il y en a des millions (en fait beaucoup plus).

J'aimerai bien que vous etayez cette affirmation, parce qu'elle me semble contenir soit pas mal d'imprecison soit pas mal de choses fausses.
Les "Tenseurs"? Quel tenseurs? Le produit tensoriel de qui et qui? Des representations reductibles, en plus? Pourquoi les irreductibles sont exclues? Quand vous dites modules? Vous parlez d'espace de modules?

Les physiciens font ce qu'ils peuvent avec ce que l'on leur apprend dans le contexte scolaire et en plus je fais l'hypothèse généreuse que le prof maîtrise la question, c'est une manière d'être faux-cul pour moi.

Que le prof maitrise son cours c'est certain, qu'il maitrise d'un point de vue mathématique la notion de produit tensoriel est une autre histoire.

En aucune façon on ne peut dire que les tenseurs sont des supermatrices, par contre il est juste de dire que les tenseurs sont des supervecteurs cad des vecteurs qui ont pour composantes des vecteurs qui eux-même ont pour composantes des vecteurs.... en fait du point de vue de la théorie des formes quadratiques on appelle quelquechose de très proche des tenseurs des bivecteurs, trivecteurs etc....

Quel rapport avec ce que j'ai dit? Je ne pense pas moi que le produit tensoriel est une generalisaiton de matrice ou de vecteur... C'est qqch de different.

C'est effectivement l'impression que peut avoir lorsque l'on n 'y comprends rien.

Oui, vous avez raison, dans mon domaine de recherche, on peut se permettre de ne comprendre qu'approximativement ce qu'est un produit tensoriel, ou un fibré

La notion de fibré et de tenseurs n'ont à rien à voir. Par contre si veut établir un razpport entre les deux il faut se placer du point de vue du langage des catégories en mathématiques et là il y a un rapport étroit, mais cela n'a rien à voir avec l'usage des fibrés et des tenseurs en RG.

Vous dites vous meme qu'en RG on parle de champ de tenseur, aussi dans ce contexte, il est important que savoir si l'on peut recoller des sections locales, que vous les compreniez ou non, c'est pourtant cela l'interet de la chose, comment definir localement un champ de tenseur, en se donnant juste les sections locales, et les conditions de recollement.
Encore une fois, un champe de tenseur, c'est une section d'un fibré.
Mais je suis d'accord que la notion de tenseur et de fibré n'ont pas grand chose a voir, et c'est bien ce que je repproche a l'apporche traditionnelle des cours de RG.

C'est archi-faux: un tenseur est toujours un vecteur. par contre un vecteur n'est pas forcemment un tenseur.

Etes cous au courant, que est isomorphe a E

Bah oui et c'est même la base des tenseurs. Un tenseur c'est un vecteur d'un espace vectoriel, espace vectoriel obtenus par produits tensoriels d'espace. c'est même le BABA de la MQ.

Oui, je n'ai jamais dit le contraire (a ceci pres qu'il existe des produit tensoriel dans d'autres catégories, le produite tensoriel est juste la solution d'un probleme universel).

[invite5f67e63a]

Maintenant, je repete que mon but n'a pas du tout été de provoquer. Et d'ailleurs je trouve ca assez etonnant que des physiciens, dénigre de cette facon le point de vue du mathématicien sur un sujet qui releve des mathématiques. Il ne me viendrait jamais a l'esprit d'aller questionner un physicien sur de la physique et lui dire que "mais non, nous en maths on sait mieux". Je ne pretends aucunement connaitre la RG mieux qu'un physicien, je sais pertinement que ce n'est pas le cas, je donne juste un eclairage plus mathématiques sur les notions de champ ou de produit tensoriel en géométrie differentielle, et qui sont un peu amalgamée dans un cours classique de RG, ce qui je trouve en rend la comprehension moins aisée.

Apres, je pense qu'il est normal et tout a fait comprehensible qu'un physicien ne soit pas autant competent qu'un mathématicien pour expliquer des notions de maths (et uniquement la partie maths), et juste donner une eclairage sur ces notions (sachant que de toute façon, un physicien en a de toute façon une utilisation qui lui est propre), sans se suppler au physicien pour expliquer le role qu'elles auront en physique... Apparement, c'est un crime de lese majesté...

Je me rappelle pourtant, Jean Michel Bony (un mathématicien), faisant irruption dans le cours de meca Q de Jean Dalibard, pour venir nous expliquer ce qu'est une transformée de Fourier.

Mais je repete que je ne denigre pas du tout les physiciens, et je suis a 1000 lieus d'etre capable de faire ce qu'ils font en physique.

[invite5f67e63a]

Pour tout dire, j'ai eu exactement la même expérience. Mais pas nécessairement par "vu par les mathématiciens" ! Et même plutôt pas par les purs mathématiciens. Parmi les textes qui m'ont été le plus illuminant, beaucoup sont des "physiciens-mathématiciens", qui ne font pas d'axiomatique lourde, mais qui cherchent à faire passer les concepts mathématiques.

D'un autre côté, toujours par expérience, il a été très rare qu'un seul texte, quelle que soit son origine, m'ait amené à lever le brouillard, mais bien plutôt par recoupage entre divers textes, chacun ayant sa qualité propre, mais moindre que celle de l'ensemble.

Nous sommes d'accord, je me permettais juste de signaler que d'un point de vue exterieur (celui d'un mathématicien pur), la presentation que l'on donne en physique ne lui parait pas satisfaisante.

"Des", donc. Et non pas "les", comme dans le message auquel j'ai réagi (les physiciens). La généralisation était pour beaucoup dans ma gêne.

Qu'il y ait des approches différentes, qu'on puisse juger (subjectivement) comme plus ou moins bonne, rien de neuf.

Je trouve quand même négatif de focaliser l'information sur les insatisfactions. Pourquoi ne pas dire qu'on peut trouver des physiciens (et peut-être même beaucoup) qui n'ont pas les travers que vous indiquiez ? Et conseiller leurs textes ?

La bibliothèque virtuelle (en tête de gondole dans le forum physique) est un bon exemple d'indications positives, une liste de textes aisément trouvables et à conseiller.

J'en suis persuadé, je ne dis pas du tout que les physiciens ne savent pas de quoi ils parlent... Ma remarque etait plutot dans le sens "Si tu comprends pas ne t'inquiete pas, c'est un peu normal", jamais il ne me viendrait a l'esprit de denigrer les physicens, comment le pourrais je, je suis incapable de faire ce qu'ils font (en plus sur un fil de physique, ca n'aurait aucun interet, mis a part la provocation puérile).
J'aurais été ravi de conseiller un ouvrage clair sur le sujet provenant d'un physicien, je n'en connais pas désolé... Aussi j'aurais tendance a diriger les gens vers bourbaki ou matsumura, ou meme Lang... Mais je pense que ces textes ne sont d'aucunes utilité pour le physicien.
Apres je tiens encore une fois a m'excuser si j'ai blessé qqun, ce n'etait pas le but.

[invitea29d1598]

salut

quelques commentaires rapides en passant...

Maintenant, je repete que mon but n'a pas du tout été de provoquer.

à lire tes propos en diagonal, c'est pourtant l'impression que ça donne

Et d'ailleurs je trouve ca assez etonnant que des physiciens, dénigre de cette facon le point de vue du mathématicien sur un sujet qui releve des mathématiques.

les mathématiciens eux-mêmes se dénigrent entre eux parfois... quelqu'un qui renvoie à Bourbaki comme littérature doit être sujet à des critiques/moqueries récurrentes de la part d'autres matheux

Il ne me viendrait jamais a l'esprit d'aller questionner un physicien sur de la physique et lui dire que "mais non, nous en maths on sait mieux".

certes, mais tu ne sembles pas comprendre que la majorité des physiciens (et même ceux qui font des choses en partie théoriques) n'a strictement aucune utilité des "subtilités mathématiques" auxquelles tu fais référence... et a encore moins envie de les étudier ! quand tu fais de la RG de base (façon Einstein-Grossmann) tu peux te contenter de parler de géométrie riemannienne sans aborder du tout la notion de fibré... ce n'est pas parce que tu as un esprit mathématicien qu'il faut croire que c'est le cas de chacun... après, si tu as suivi un cours de "RG pour mathématiciens", alors là, c'est normal que tu te plaignes.. mais dans un cours de RG pour physiciens (dans l'hypothèse où ça reste un cours d'intro au sujet), parler de fibré c'est du pur snobisme et un manque total de pédagogie... [sauf éventuellement en remarque "lexicale" en passant]

je donne juste un eclairage plus mathématiques sur les notions de champ ou de produit tensoriel en géométrie differentielle, et qui sont un peu amalgamée dans un cours classique de RG, ce qui je trouve en rend la comprehension moins aisée.

point de vue purement personnel [et histoire que tu ne prennes pas mon intervention comme une attaque contre toi je précise que j'ai moi aussi regretté le manque de propreté mathématique dans les cours que j'ai eus sur ce sujet mais je sais que ça aurait été "désagréable" et inutile pour la majorité des autres étudiants si cela n'avait pas été ainsi]. Les physiciens veulent la plupart du temps du concret, pas du général et formel.

[invite7ce6aa19]

Pourtant la suite de votre message confirme mes dires. Vous ne maitrisez pas du tout le concept de produit tensoriel d'un point de vue mathématique (ce qui ne doit tres certainement pas vous empecher de faire de la bonne physique, je n'ai aucune competence a etre juge dans ce domaine)

C'est fort possible puisque je ne suis que physicien. Néanmoins je ne suis pas tout à fait nul en maths pour ne pas avoir vu dans tes écrits des absurdités mathématiques qu'aucun mathématicien expérimenté aurait oser écrire.

C'est exactement la définition du produit tensoriel, ouvrez un luvre d'algèbre commutative, ouvrez bourbaki...

Oui je sais, Bourbaki.... Mais le contenu formel des mathématiques des tenseurs servent dans tous les secteurs de la physique, même quand ils ne s'appellent pas tenseur par exemple spineur, spin-orbitale etc....Depuis Bourbarki il s'est passé beaucoup de choses en matrhématiques comme en physique. Pour cela voir les travaux de Grothendieck et le livre qu'il a écrit en commun avec Dieudonné (un bourbakiste).

Ou ai je dit que les deux espaces etaient de meme dimension. Ceci est la définition meme du produit tensoriel.

Bah non.

Soit un espace vectoriel de dimension n et un espace vectoriel de dimension m alors:

l'ensemble des couples formé par produit tensoriel forment un espace vectoriel de dimension m.n

Structurellement c'est la même chose qu'un produit cartésien.

Très souvent en physique on prend comme espace de base un espace E et son dual E*, donc 2 espaces de même dimension et les espaces vectoriels sont souvent construits sur R3 ou sur l'espace euclidien E3 quand il y a une métrique.

En RR l'espace est pE4 pour signaler que la métrique est presque euclidienne (il s'agit de la métrique de Minkovski).

En MQ c'est beaucoup plus complexes car les espaces de bases sont des espaces de Hilbert et donc construits sur le corps des complexes et n'ont pas la même dimension. Ce sont bien des produits tensoriels, mais l'usage sémantique est de ne pas appeler les vecteurs du produit tensoriel tenseurs, mais par des noms très variés comme spin-orbitale, état vibronique, déterminant de Slater etc...

Demandez a n'importe

quel mathematicien, c'est ce qu'il vous donnera (c'est plus precisément la propriété universelle du produit tensoriel, le fait que ce soit une somme amalgamée dans la catégorie des modules (ou ev ici), le fait qu'il existe toujours est un theorème le fait qu'il soit unique est une trivialité, en tant que solution d'un probleme universel)

Ceci est incompréhensible pour moi.

Le fait que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels admet une base, n'est pas une fait innocent, c'est tres important, et cela ne marche plus si l'on prend un des modules par exemple, ou les choses se compliques, avec vos visions des choses je serait curieux de voir le calcul de ou par exemple montrer que

Trop compliqué pour moi qui suis physicien.

Non ce n'est pas autre chose? C'est quoi un "champ"? C'est une section d'un fibré (en mathématique on parle de fibré tout court), ni plus, ni moins.

Un champ peut-être compris comme une section d'un fibré uniquement si c'est nécessaire de faire appel à la notion de fibré. Dans les cours de physique de particules il y a un très gros chapitre (en fait un livre) sur le modèle standard où on ne parle pas nécessairement de fibré. C'est au prof de faire un choix de stratégie pédagogique.

Par ailleurs la notion de fibré en mathématique, pas plus qu'en physique n'est lié au concept de champ.

... Je pense qu'en tant que mathématicien, je connais assez bien le "coeur de la philosophie" des tenseurs...

Je ne suis pas convaincu du tout.

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Par exemple peux-tu me répondre à la question simple:

Soit A = M.B

A et B sont des vecteurs cartésiens et M l'opérateur qui agit sur B pour donner A.

Quelle est la nature tensoriel de M et démontre le.

C'est une question très, très simple qui doit être une partie de rigolade pour n'importe quel mathématicien.

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Et je pense aussi qu'il n'a rien a voir avec ca... Un tenseur ca sert a transformer du linéaire en du bilinéaire (apres bien sur ca apparait sous de multiple forme, bossant dans le domaine de la géométrie arithmétique, je pourrais vous dire, le coeur de la philo du produit tensoriel c'est de faire des changement de base, ou de donner des structures de -catégories aux catégroies que l'on manipule).

Pourrais-tu développer ceci afin que je comprenne mieux.

Les represenations de groupes sont plutot une genralisation de l'analyse de fourier.

Au moins je suis sûr que tu n'as pas la moindre idée de ce qu'est la théorie des représentations des groupes. Comme tu es mathématicien, je te suggère de commencer par le programme d'Erlangen de Klein (1986).

Mais effectivement le produit tensoriel intervient (il intervient partout en mathématique), par exemple comme extension des scalaires encore un fois, pour construire la representation induite, qui si vous voyez une represnetation comme un k[G]-module M, vous dite juste que l'induite est donnée par la tensorisation .

Avant de parler de représentation induites il faut commencer par le début.

Encore une fois je suis ravi de savoir qu'il existe des moyens de savoir que des ev ne sont pas isomorphes sans rien preciser ni qui ils sont, ni rien du tout sur eux...(ou qu'on fait des changement de base "dans un espace E3", si vous vouliez demontrer que les physiciens maitrisent les mathématiques dont ils parlent, c'est raté...

)


Encore une fois il y a des catégories de physiciens et chaque communauté maîtrise le langage mathématiques adapté aux besoins de sa Science. C'est pourquoi les tenseurs pour les RGistes sont introduits dans les livres de RG de façon adaptée à leurs besoin. C'est la façon de voir des RGistes puisque cette façon de voir est adaptée pour construire et manipuler l'équation d 'Eeinstein.

Les fibrés n'ont rien a voir avec la notion de produit tensoriel je suis bien d'accord. Sauf qu'en physique, on utilise la notion de CHAMP (et en particulier champ de tenseur), et cela cela a tout avoir avec la notion de fibré, et c'est de la que vient tous le probleme de transformation de tenseurs et les "se tranforme comme un tenseur", pour savoir comment recoller des sections. Sinon quel serait l'interet exactement (peut etre m'echappe t il)?

Comme je l'ai déjà écrit on peut se passer largement des fibrés, tout dépens ce que l'on veut faire. En RG le concept de fibré permet d'abord de mettre sur le même pied les champs de matière et le champ de courbure qui sont des sections de fibrés couplées. cela contraste fortement où en RR les champs de matière sont "dans" le contenu- espace -temps.

Si on s'intéresse au modèle standard des particules c'est utile conceptuellement de prendre pour base l'espace de Minskovski et pour fibre le produit directe des groupes de jauge.

En physique des particules élémentaires les fibrés deviennent indispensables pour les théories supersymétriques, les théories des cordes où le groupe de Poincaré de la base du fibré est "envoyé" dans la fibre pour exprimer correctement le groupe supersymétrique qui était auparavant dispersé entre la base et la fibre.

En physique du solide le concept de fibré est utile pour penser les transitions de phase, dites de brisure "spontanées" de symétrie et les défauts d'homotopies qui vont de pair.

Plus généralement en pensant les choses en termes de fibrés on peut avoir une compréhension uniforme entre RG, physique des particules, physique de la matière condensée, théorie des cordes, LQG, théorie des dislocations etc....etc..

Quel rapport avec ce que j'ai dit? Je ne pense pas moi que le produit tensoriel est une generalisaiton de matrice ou de vecteur... C'est qqch de different.

Tu n'as pas dis çà, mais tu as tourné en dérision les physiciens qui pensent les tenseurs comme des supervecteurs et là t'a pas de chance car on peut présenter les tenseurs comme des supervecteurs et c'est ce que l'on fait en algébre de Clifford.



Vous dites vo

us meme qu'en RG on parle de champ de tenseur, aussi dans ce contexte, il est important que savoir si l'on peut recoller des sections locales, que vous les compreniez ou non, c'est pourtant cela l'interet de la chose, comment definir localement un champ de tenseur, en se donnant juste les sections locales, et les conditions de recollement.

C'est vue mathématicienne, pourquoi pas. En physique des champs c'est le rôle de la dérivée covariante de faire cela.

Encore une fois, un champ de tenseur, c'est une section d'un fibré.

C'est une section de fibré dans le langage des fibrés. Les champs existaient bien avant la construction de la MQ et la RG et ce en ignorance totale des fibrés. en plus quand tu parles de fibrés faudrait-ils d'expliquer de quels fibrés dont tu parles car il y en a beaucoup.


Pour rappel l'exercice:

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Par exemple peux-tu me répondre à la question simple:

Soit A = M.B

A et B sont des vecteurs cartésiens et M l'opérateur qui agit sur B pour donner A.

Quelle est la nature tensoriel de M et démontre le.

C'est une question très, très simple qui doit être une partie de rigolade pour un mathématicien.

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