[MPSI] Dynamique : mouvement d'une bille sur un guide

[inviteb90b824a]

Bonjour,

Je bute sur un exercice depuis pas mal de temps dont j'aimerais tout de même connaître la solution... Ainsi j'espère que vous pourrez m'aider. Voici l'énoncé :

Une bille assimilée à un point matériel de masse m est lancée sur un guide constitué d'une partie rectiligne horizontale et d'une partie circulaire de centre C, de rayon R, située dans un plan vertical. La jonction entre la droite et le bas du cercle se fait en un point A. Une fois sur le guide circulaire, la bille se trouve en M, point repéré par l'angle θ = (OA, OM). Figure ci-jointe.

On suppose dans une première partie que la bille n'est soumise à aucun frottement. On la lance avec un vecteur vitesse v_O' à partir d'un point O' de la partie rectiligne en direction du point A. On note v₀ le vecteur vitesse de la bille en A.

a) A quelle condition sur v₀ la bille effectue-t-elle un tour complet ?

b) A quelle condition sur v₀ la bille rebrousse-t-elle chemin ? Quel angle maximal θa ("a" comme "arrêt") atteint-elle ? A quelle condition sur v₀ la bille décolle-t-elle du guide ? Pour quel angle θd ? (on montrera θd ≥ pi/2)

c) On tient compte maintenant de frottements solides, supposés obéir aux lois de Coulomb (||R_T|| = μ ||R_N||). Etablir l'équation différentielle du mouvement circulaire pour θ croissant.

Pour la résoudre, on pose (dθ/dt)² = f(θ). Montrer que f(θ) obéit à une équation différentielle du type df/dθ + αf(θ) = β cos θ + γ sin θ. On cherchera la solution particulière de l'équation générale sous la forme A' cos θ + B' sin θ et on calculera A' et B' en fonction de μ, g et R.

d) En déduire la condition pour que la bille arrive en B(θ = pi/2) et comparer numériquement avec le cas sans frottement. On donne μ = 0,2, R = 1m et g = 9,81 m.s^-2. Tracer à l'aide d'une calculatrice la vitesse de la bille en fonction de θ dans le cas où celle-ci arrive en B avec une vitesse nulle dans les cas avec et sans frottement.

e) Quelle vitesse minimale v_O' faut-il communiquer à la bille en O' distant de O de d = 5m pour qu'elle arrive en B ?

Voilà, je n'ai réussi que la première question... Pour que la bille effectue un tour complet, j'ai dit qu'il fallait que R_N > 0. Je vous scanne ma réponse car elle est un peu longue, mais qu'elle peut peut-être vous aider à comprendre et pouvoir répondre aux questions suivantes.

Le reste, je reste bloquée ! Je ne trouve pas les conditions pour que la bille rebrousse chemin ou décolle, et pour la question c), je ne trouve absolument pas la même équation différentielle : j'en trouve deux, l'une selon e_r, et l'autre selon e_thêta.

Un grand merci d'avance pour toute aide !
-----

[LPFR]

Bonjour.
a) c'est correct.
b) Pour que la bille rebrousse son chemin sans se décoller du rail, il faut qu'elle s'arrête pas plus loin qu'avec un angle θ = 90°. Si elle s'arrête au delà, elle tombera verticalement.
c) Là, il faut que vous fassiez le cas général en tenant compte de la normale qui donne la force de friction. Remarquez que dans la méthode proposée, on travaille comme si le mouvement était rectiligne (le long du rail). Ce qui est parfaitement justifié car la position peut être décrite par une seule variable (θ) et qu'on néglige le moment d'inertie de la bille.

Faites déjà ça, et on verra la suite.
Au revoir.

[Fanch5629]

Bonjour.

Votre réponse pour la question a) est correcte. La condition Rn > 0 est en effet la bonne. Si vous aviez dit v = 0 au sommet du cercle, c'était incorrect.

Mais le résultat s'obtient beaucoup plus rapidement si :

1 - on travaille avec la conservation de l'énergie mécanique totale (la relation entre vitesse et hauteur est immédiate)
2 - on considère la force d'inertie, dite centrifuge, (plus besoin d'utiliser le PFD dans ce cas)

Même chose pour la question b) sous réserve de raisonner qualitativement avant de se lancer dans les calculs. Par exemple, trouver le point le plus haut où il peut y avoir rebroussement sans décollement est assez évident. Trouver la vitesse v0 correspondante est alors immédiat.

@+

[inviteb90b824a]

Merci LPFR et Fanch pour vos réponses ! (@Fanch : nous n'avons jamais vu cette force d'inertie "centrifuge" en cours à vrai dire...)

En ce qui concerne la question b), oui en effet pour qu'il y ait rebroussement il faut que θ < Pi/2... Seulement il s'agit de la réponse à la question suivante :

Quel angle maximal θa ("a" comme "arrêt") atteint-elle ?

Je ne peux donc pas m'en servir !

J'ai pensé à utiliser le fait qu'au point de rebroussement la vitesse est nulle mais cela me donne un angle maximal de Pi ! (je vous joins ma réponse par scan) Je ne comprends donc plus ce qui ne va pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
La rédaction est un peu ambigüe. Mais la condition de la vitesse de la question 'a)' n'est valable que pour cette question. Elle disparait pour les suivantes.
Donc vous pouvez bien vous en servir de la condition limite sur l'angle.
A+

[inviteb90b824a]

Pourtant la condition de vitesse de la question a) ne provient que de l'application du TEC qui reste valable lorsque la bille rebrousse chemin, non ?

Je ne vois pas où est l'erreur en fait... pourtant je sais qu'elle est quelque part car en effet l'angle limite est semble être de pi/2.

[LPFR]

Pourtant la condition de vitesse de la question a) ne provient que de l'application du TEC qui reste valable lorsque la bille rebrousse chemin, non ?
...

Re.
Non. Avec la vitesse que vous avez calculée en 'a)' la bille ne reviendra pas en arrière: elle fait le tour complet.
A+

[inviteb90b824a]

Mais c'est la vitesse v₀ qui conditionne la trajectoire de la bille... pas v !
La vitesse v² = v₀² + 2gR(cosθ - 1) déterminée par le TEC est valable tout le temps, elle. Comment ne pourrait-elle pas l'être ?

[Fanch5629]

Re., si cela intéresse encore quelqu'un.

Début de la question b : au point de rebroussement, la vitesse est nulle et la réaction du guide non nulle (ou nulle, à la limite), orientée dans le bon sens évidemment.

Par application du PFD, on exprime la réaction du guide sur la bille :

Au point de rebroussement, v = 0. On exploite v² = v0² + 2gR(cosθ - 1) pour remplacer cosθ. On obtient ainsi une contrainte sur v0 sans connaissance a priori de l'angle θa.

[inviteb90b824a]

Oh merci infiniment Fanch je trouve v₀ < √(2gR), exactement l'indication qui nous avait été donnée !
Et je trouve bien θa = Pi/2. Parfait !

Je suis remotivée pour poursuivre l'exercice, du coup.
La condition pour que la bille décolle est-elle : √(2gR) ≤ v₀ < √(5gR) et R_N = 0 ?

Si c'est le cas, alors j'obtiens après calculs : -1 < cos θd ≤ 0, d'où Pi/2 ≤ θd < Pi.
Est-ce juste ?

Par contre, pour la question c), je sèche totalement... En fait, après application du PFD, je trouve :
- Selon e_r : mgcosθ - R_N = -mR[dθ/dt]² = -mRf²(θ)
- Selon e_θ : -mgsinθ + μRN = mR[d²θ/dt²]

Ne suis-je pas censée obtenir qu'une seule équation différentielle ? Laquelle choisir (quelle est la véritable équation différentielle du mouvement ?) ? Et comment arriver à l'équation différentielle en f(θ) proposée par l'énoncé ?

En tout cas je vous suis très reconnaissante pour votre aide ! Merci encore

[Fanch5629]

Bonjour.

OK pour les résultats de la question b)

Question c) :

mgcosθ - RN = -mR[dθ/dt]² = -mRf(θ) -> f n'est pas au carré (définition de f)

-mgsinθ - μRN = mR[d²θ/dt²] -> signe devant µRN (On s’intéresse au cas θ croissant. La vitesse est dans le sens de eθ, la réaction tangentielle s'oppose à la vitesse, d'où le signe négatif.)

Ensuite, il suffit d'éliminer RN des deux équations ...

@+

[inviteb90b824a]

Ah d'accord. Donc l'équation différentielle du mouvement est une combinaison des deux équations selon e_r et e_θ ?

Voici ce que je trouve par identification pour α, β, γ :
-> α = 2µ
-> β = - (2µg)/R
-> γ = -2g/R

J'ai ensuite résolu l'équation différentielle, et se trouvent en pièces jointes la solution générale de l'équation homogène, A', B' et la solution de l'équation différentielle.
Trouvez-vous les mêmes résultats ?

En ce qui concerne la question d), faut-il déterminer f(Pi/2) ? Je ne vois pas le rapport en fait...

[Fanch5629]

Ok pour α, β, γ.

Il va falloir attendre la validation de vos pièces jointes pour comparer nos résultats (quelques heures ?)

Question d) : j'ai considéré que la bille s'arrête en B, donc f(Pi/2) = 0, ce qui permet de calculer f(0) et donc v0.

[inviteb90b824a]

Ah je vois !

Mais comment expliquer que f(Pi/2) = 0 si la bille arrive en B ? Parce que personnellement, j'aurais écrit :
v = R[dθ/dt]. En Pi/2 la bille s'arrête donc v = 0 => dθ/dt = 0 => (dθ/dt)² = 0 => f(Pi/2) = 0

Mais je ne sais pas si la formule v = R[dθ/dt] est censée être connue...

[Fanch5629]

J'ai 1-2µ² dans A', sinon ok pour B'.

Je ne comprend pas la présence de ce signe - devant l'intégrale particulière dans la solution générale.

En dérivant le vecteur position, vous avez bien obtenu v = R dθ/dt e_θ. Si v s'annule en B, dθ/dt aussi, c'est équivalent. Je ne vois pas vraiment où est le problème ici.

Sinon, il est possible de poster du Latex directement. C'est plus simple et il n'y a pas de délai de validation.

Courage, vous touchez au but !

[inviteb90b824a]

Oui c'est vrai, désolée je me suis embrouillée pour v = R dθ/dt e_θ !

J'ai corrigé mes erreurs de calculs, et nous trouvons la même chose pour la solution de l'équation différentielle, tout va bien.

En effet il faudrait vraiment que j'apprenne à écrire en Latex... Petit test d'ailleurs pour l'expression de v₀ pour la question d) :



Trouvez-vous cela ?

Par application numérique, ça me donne v₀ = 4,36 m.s^-1.
En comparant avec le cas sans frottement : v₀ = √(2gR) = 4,43 m.s^-1.
Personnellement, je ne trouve pas ça normal. Normalement, si la bille atteint le même point B avec ou sans frottement, la vitesse initiale devrait être plus importante dans le cas avec frottement puisque les frottements s'opposent à la vitesse et "repoussent" donc la bille.

[inviteb90b824a]

Autre question : pour le rebroussement de chemin, la condition est-elle R_N > 0 ou R_N ≥ 0 ? Parce que pour trouver l'angle maximal θa, l'inégalité stricte est moins pratique et je suis obligée de répondre θa = (Pi/2)^-

De même, pour comparer les deux vitesses initiales dans la question d), l'égalité v₀ = √(2gR) est plus pratique que v₀ = √(2gR)^-.

[invite9c0b92bf]

Bonjour !

Je suis également en train de plancher sur cet exo.

Je ne trouve pas la même expression de V0 (cos(0)=1 !)

En rajoutant donc dans la racine carrée 2gR(1-2µ²)/(1+4µ²),
on trouve V0=5,88 m.s^-1 , ce qui est en effet plus cohérent.

[Fanch5629]

Re.

Je trouve , soit 5.88 m/s.

Pour θ = Pi/2,la vitesse est nulle, la réaction du rail aussi, mais la bille est toujours sur le rail. La bonne condition est donc RN ≥ 0.

Et bienvenue à Tsukiyo qui confirme gentiment mon résultat.

[inviteb90b824a]

Bon ben puisque vous semblez d'accord, Tsukiyo et Fanch, j'ai dû gravement me tromper quelque part.

Pourtant je ne comprends pas pourquoi.

J'ai calculé f(Pi/2) et cela me donne f(0) exp(-µ*Pi) + 2g/(R(1+4µ²)) [-3µ] = f(0) exp(-µ*Pi) - 6µg/(R(1+4µ²))

J'ai ensuite résolu f(Pi/2) = 0 et j'obtiens f(0) = exp(µ*Pi) [6µg/(R(1+4µ²))].

En multipliant f(0) par R², j'obtiens v₀² puis v₀.

Malgré tout, je ne retrouve pas vos résultats.

[inviteb5c561d4]

Bonjour.

Iris19, est-ce que tu as aussi posté le DM 5 de maths pour jeudi ?

[invite9c0b92bf]

On a déjà l'expression de f(θ) d'après la résolution de l'équation différentielle.

Grâce à f(Pi/2)=0 , on en déduit la constante C. (en remplaçant θ par Pi/2 dans l'expression de f) et C = [6µg/(R(1+4µ²))]exp(µ*Pi)

On peut donc ensuite calculer f(0).

Pour v, on sait que v = R*sqrt[(dθ/dt)²] = R*sqrt(f)
d'où v₀ = R*sqrt[f(0)]

[invite9c0b92bf]

Pour la toute dernière question, je trouve
v_O' = v₀ + µ*g*O'A = 15,5m.s^-1

Je ne suis pas très sûr de mon résultat. Trouvez-vous aussi cela, Iris et Fanch ?

[inviteb90b824a]

Eh non Iris20. Encore heureux que je sois nulle qu'en physique. (Remarque, le deuxième exo je l'ai quand même résolu... ) Par contre, tu aurais pu faire preuve d'un peu plus d'originalité pour ton pseudo, tss .. !

Merci Tsuyiko (on doit sans doute être dans la même classe en fait). J'avais fait n'importe quoi en fait, c'est parce que j'avais remplacé C par f(0).

Pour la dernière question, je doute aussi de ton résultat parce qu'en faisant une analyse dimensionnelle ce n'est pas homogène. Normalement, tu devrais avoir (µ*g*O'A) homogène à une vitesse, alors que là ça semble être [m².s^-2] puisque µ est sans unité.
Je n'ai pas réussi à faire cette question non plus, mais je réessaye et je reposte si j'ai quelque chose.

[invite9c0b92bf]

Oui, tu as raison.

J'ai essayé en utilisant le PFD entre O' et A et lorsque j'ai intégré, je me suis trompé de variable (en tout cas, on a facilement O'A par Pythagore et on trouve R_N=mg sur le trajet rectiligne donc je pense qu'on peut faire quelque chose avec)

Je reverrai cette question demain.

[inviteb90b824a]

En fait je crois avoir trouvé. Mais c'est un peu long.

J'ai pas appliqué le PFD entre O' et A comme toi, mais plutôt le TEC. J'ai donc :
1/2*m*v_O' - 1/2*m*v₀ = W(R_T) car sur le trajet rectiligne, R_N et P sont perpendiculaires au mouvement.

Ensuite j'ai d'abord calculé W(R_T) = ∫_O'^A (R_T.dr) = ∫_yO'^y_A (- R_T dy) = [- R_T y]_yO'^y_A = R_T y_O'.

Or y_O' = - O'A = - √26 qu'on calcule par Pythagore comme tu as dit.

On en déduit : 1/2*m*v_O' - 1/2*m*v₀ = -R_T √26.

On sait que : R_T = µR_N = µmg.

Tu remplaces dans le TEC, etc ... personnellement j'obtiens v_O' = 7,39 m.s^-1. Et la dimension est bonne après vérification donc ça doit bien ressembler à quelque chose comme ça je pense ..

[invite9c0b92bf]

Ca m'a l'air juste ...

à part un petit détail

O'A =√24 et non √26 car O'OA est rectangle en A

donc OO'²=O'A²+OA² d'où O'A=√(OO'²-OA²)

car sinon O'A est plus grand que OO', ce qui ne correspond pas à la figure

[inviteb90b824a]

Ah oui ! Merci

[inviteb90b824a]

Au fait, j'oubliais... Encore merci beaucoup Fanch pour cette aide tout au long de l'exercice, vraiment, et merci à LPFR également !

[invitef0c2548c]

Re.
La rédaction est un peu ambigüe. Mais la condition de la vitesse de la question 'a)' n'est valable que pour cette question. Elle disparait pour les suivantes.
Donc vous pouvez bien vous en servir de la conditionchaussures Puma limite sur l'angle.
A+