Bonjour,
Je bute sur un exercice depuis pas mal de temps dont j'aimerais tout de même connaître la solution... Ainsi j'espère que vous pourrez m'aider. Voici l'énoncé :
Voilà, je n'ai réussi que la première question... Pour que la bille effectue un tour complet, j'ai dit qu'il fallait que RN > 0. Je vous scanne ma réponse car elle est un peu longue, mais qu'elle peut peut-être vous aider à comprendre et pouvoir répondre aux questions suivantes.Une bille assimilée à un point matériel de masse m est lancée sur un guide constitué d'une partie rectiligne horizontale et d'une partie circulaire de centre C, de rayon R, située dans un plan vertical. La jonction entre la droite et le bas du cercle se fait en un point A. Une fois sur le guide circulaire, la bille se trouve en M, point repéré par l'angle θ = (OA, OM). Figure ci-jointe.
On suppose dans une première partie que la bille n'est soumise à aucun frottement. On la lance avec un vecteur vitesse vO' à partir d'un point O' de la partie rectiligne en direction du point A. On note v0 le vecteur vitesse de la bille en A.
a) A quelle condition sur v0 la bille effectue-t-elle un tour complet ?
b) A quelle condition sur v0 la bille rebrousse-t-elle chemin ? Quel angle maximal θa ("a" comme "arrêt") atteint-elle ? A quelle condition sur v0 la bille décolle-t-elle du guide ? Pour quel angle θd ? (on montrera θd ≥ pi/2)
c) On tient compte maintenant de frottements solides, supposés obéir aux lois de Coulomb (||RT|| = μ ||RN||). Etablir l'équation différentielle du mouvement circulaire pour θ croissant.
Pour la résoudre, on pose (dθ/dt)² = f(θ). Montrer que f(θ) obéit à une équation différentielle du type df/dθ + αf(θ) = β cos θ + γ sin θ. On cherchera la solution particulière de l'équation générale sous la forme A' cos θ + B' sin θ et on calculera A' et B' en fonction de μ, g et R.
d) En déduire la condition pour que la bille arrive en B(θ = pi/2) et comparer numériquement avec le cas sans frottement. On donne μ = 0,2, R = 1m et g = 9,81 m.s-2. Tracer à l'aide d'une calculatrice la vitesse de la bille en fonction de θ dans le cas où celle-ci arrive en B avec une vitesse nulle dans les cas avec et sans frottement.
e) Quelle vitesse minimale vO' faut-il communiquer à la bille en O' distant de O de d = 5m pour qu'elle arrive en B ?
Le reste, je reste bloquée ! Je ne trouve pas les conditions pour que la bille rebrousse chemin ou décolle, et pour la question c), je ne trouve absolument pas la même équation différentielle : j'en trouve deux, l'une selon er, et l'autre selon ethêta.
Un grand merci d'avance pour toute aide !
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