[exo] Système ouvert, fusée

[invite086b452c]

Bonjour,
J'ai un problème sur les systèmes ouverts que je n'arrive pas à résoudre, après deux heures de réflexion.
Il s'agit d'une fusée de masse M qui contient une masse m de carburant. Elle est sur le pas de tir, prête à décoller.

a) Montrer que la fusée ne peut décoller que si le débit de gaz brûlés est supérieur à une limite.

J'utilise la formule:

où u est la vitesse d'éjection des gaz. Donc dans mon cas

), que je résout et je trouve

.

Donc pas de problème pour celui-là.
Ensuite b) La masse de combustible est m₀ au départ et évolue selon la relation . On me demande de calculer la valeur maximale de qui permet le décollage.

J'injecte

dans

que je résout et je trouve

.

La où je bloque c'est pour le point c): calculer v(t) pour .
J'ai essayé en intégrant

,

ce qui donne (après avoir divisé par (M+m)):

.

Ensuite j'ai essayé en remplaçant m par , ou en essayant de remplacer t par mais je n'y arrive pas. Connaissant le résultat () j'ai essayé de "bidouiller" pour y arriver mais ce n'est pas une méthode que j'apprécie et je n'y suis de toute façon pas arrivé.
Ca serait super si vous pouviez m'aider.

Merci et bonne soirée.

Altair21
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[invite2cc04abc]

Bonsoir

Etes vous sûr d'avoir entré la bonne expression de v que vous devez trouver? je trouve bizarre que le logarithme ne dépende pas de t.

Si vous trouvez votre premiere expression à partir du Principe fondamental de la dynamique, alors votre membre de droite est négatif ( vecteur poids et force exercée par les gaz opposé au vecteur accélération).

Ensuite, votre intégrale fait apparaitre une primitive connue de la forme f'/f dont la primitive est ln(f) qui serait donc ln(M+m) soit ln(M+mo(1-t/tau))

Il faut aussi indiquer si la vitesse des gaz u est constante.

Salutations

[invite086b452c]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
L'expression de v entée est correcte. Du moins elle correspond à la réponse dans le livre (mais il ne donne pas le procédé).

Pour la première expression vous avez parfaitement raison. J'ai oublié de préciser que u,v et g sont exprimés sous forme vectorielle. Et u est bien constante.

Pour le résultat de mon intégrale je trouve effectivement un résultat semblable au votre d'où mon problème. Le fait que le résultat doive contenir tau implique que je devrais remplacer t par une autre expression à un moment donné.
Le résultat du livre est peut-être incorrect. J'irai éventuellement consulter un assistant demain.

Bon dimanche
Altair21

[invitea3eb043e]

Je ne saisis pas totalement ta convention de signe pour l'axe des z. Apparemment, ton g est positif, du moins dans ton inégalité, donc convention vers le bas.
Ensuite, on peut poser comme variable intermédiaire w = v - gt et ça s'intègre alors fort bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

J'avais fait le même calcul mais sans l'effet de la gravité. Mais y'a qu'a prendre un référentiel en chute libre et rajouter simplement le terme -gt à la fin (soustraction de vitesse du à l'effet de la pesanteur).

Je prend un fusée de masse initiale m qui éjecte un flux massique q à la vitesse u pendant une durée t. Ca simplifie un peu les expressions

L'accélération est :



on intègre, je pense que c'est plus facile comme ça, et on trouve :



bonus : le mobile parcoure la distance x

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Êtes vous sûr de ne pas avoir fait une confusion entre la vitesse d'éjection des gaz et la vitesse de la fusée?
Remplacez dv/dt de la première équation par 'µ' par exemple. Et gardez pressent que µ est une constante.
Au revoir.