Théorie des champs, groupe de poincaré, transformation de champs.

invite84eba484 · 29/11/2010, 11h33

Bonjour a tous,

Voila je révise mon cour de théorie des champs (qui au passage est trés mal fait...) et je bloque sur plusieurs chose importantes.
Donc si je pouvais obtenr quelques élément de réponses cela m'aiderais grandement

D'abord le groupe de poincaré, on a 10 générateurs, $\text{[math]}$ , l'étude du groupe de lorentz nous donne déja une bonne partie de l'algébre et il nous reste plus qu'a connaitre les commutateur entre J et P,et, K et P. Seulement on a introduit un tenseur de rang 2 $\text{[math]}$ je me demande pourquoi ? Car on vas ensuite définir l'algébre de poincaré avec ce derniers...

Ensuite je ne comprend pas une définition qui parais importante pour la suite je vous la cite :

Soit le petit groupe associé à une impulsion $\text{[math]}$ , le sous groupe du groupe de poincaré qui laisse P invariant.

A quoi sert ce petit groupe ?

Bon aprés on introuduit le second casimir etc mais faut que je regarde mieux avant de dire que je comprend pas

Mon second probléme,

Que faut 'il faire pour montrer qu'un champs transforme comme un 3-vecteur sous rotation ? Exemple concret avec le champs : $\text{[math]}$

Enfin, j'ai un peu de mal avec la notation $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ etc.. et je voudrais comprendre comment fait on pour montrer qu'un champs appartient a telle ou telle représentation.

Merci a tous ceux qui prendrons le temps de répondre.

invite7ce6aa19 · 29/11/2010, 13h45

Envoyé par Cjordan

D'abord le groupe de poincaré, on a 10 générateurs, $\text{[math]}$ , l'étude du groupe de lorentz nous donne déja une bonne partie de l'algébre et il nous reste plus qu'a connaitre les commutateur entre J et P,et, K et P. Seulement on a introduit un tenseur de rang 2 $\text{[math]}$ je me demande pourquoi ? Car on vas ensuite définir l'algébre de poincaré avec ce derniers...

Bonjour,

Ton tenseur $\text{[math]}$ c'est la forme condensée des 3 générateurs J et K

Donc pour que l'algébre de Poincaré soit clos il te faut calculer les commutateurs des $\text{[math]}$ et des $\text{[math]}$

Soit le petit groupe associé à une impulsion $\text{[math]}$ , le sous groupe du groupe de poincaré qui laisse P invariant.

A quoi sert ce petit groupe ?

A déterminer comment se transforme le champ d'une particule se déplaçant selon $\text{[math]}$ ,

Mon second probléme,

Que faut 'il faire pour montrer qu'un champs transforme comme un 3-vecteur sous rotation ? Exemple concret avec le champs : $\text{[math]}$

Il faudrait définir chaque grandeur pour savoir de quoi il s'agit.

Enfin, j'ai un peu de mal avec la notation $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ etc.. et je voudrais comprendre comment fait on pour montrer qu'un champs appartient a telle ou telle représentation.

en principe tu effectues une transformation infinitésimale (en fait six car tu as 6 générateurs) sur ton champ à plusieurs composantes. Avec un peu de chance il correspond à 1 représentation irréductible du groupe de Lorentz

Ps: Ce serait plus facile si tu faisais référence à un livre ou à un PDF.

invite84eba484 · 29/11/2010, 14h46

Bonjour mariposa, d'abord merci pour ta réponse.

Pour le tenseur M, j'avais remarquer qu'il s'agissais de la forme condensé des J et K mais je ne voyais pas l'interet de l'introduire...

Concernant mon champs :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les matrices de Pauli.

Voici ce qu'on a traiter auparavant, si ça peut aider pour comprendre... Il s'agit de la transformation sous rotation de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Donc je pense que pour mon exemple, il faut calculer :

$\text{[math]}$

mais je sais pas quoi faire ni quoi en déduire...

Et pour ma derniere question, tu me conseil de calculer les transformations infinitésimales et aprés je ne comprend pas ?

Ps: j'ai bien le weinberg vol 1 a portée de main mais mon proffeseur a une facon un peu original de nous introduire cette théorie et c'est donc difficil de trouver des livre/document qui utilise la méme notation ou approche

invite7ce6aa19 · 29/11/2010, 15h28

Envoyé par Cjordan

Bonjour mariposa, d'abord merci pour ta réponse.

Pour le tenseur M, j'avais remarquer qu'il s'agissais de la forme condensé des J et K mais je ne voyais pas l'interet de l'introduire...

Tout dépend comment les démonstrations sont menées. Le groupe de Lorentz SO(1,3) c'est presque comme SO (4) et donc il y a 6 rotations indépendantes qui peuvent se traiter d'un seul tenant.

Seulement souvent on distingue dans les 6 rotations d'abord les rotations pures, celles de SO(3) qui donnent les J, puis les boosts qui donnent les K et tout cela donne un jeu de 3 séries de commutateurs avec les J et les K. Après changement de base dans l'espace des générateurs J et K tu obtiens 2 algébres de Lie su(2) qui vont supporter des représentations irréductibles inéquivalentes

Concernant mon champs :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les matrices de Pauli.

Voici ce qu'on a traiter auparavant, si ça peut aider pour comprendre... Il s'agit de la transformation sous rotation de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Donc ton produit est un invariant de SU(2) et donc de SO(1,3)

Donc je pense que pour mon exemple, il faut calculer :

$\text{[math]}$

mais je sais pas quoi faire ni quoi en déduire...

Tu ramènes ton problème à une transformation infinitésimale epsilon theta (en n'oubliant pas que théta a trois composantes) et de là tu as le produit de matrices de pauli que tu manipules en tenant compte des relations de commutation entre les matrices de Pauli.

Remarque: Tu as nécessairement sommation sur les i

Ps: j'ai bien le weinberg vol 1 a portée de main mais mon proffeseur a une facon un peu original de nous introduire cette théorie et c'est donc difficil de trouver des livre/document qui utilise la méme notation ou approche

Pour te rassurer tout cà est loin d'être une chose facile. Ce n'est pas une mauvaise idée que de consulter plusieurs références, même si les notations sont différentes, cela oblige à bien réfléchir ce dont on parle. Tu peux faire référence au Weinberg, je le possède.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite84eba484 · 29/11/2010, 18h32

Envoyé par mariposa

Après changement de base dans l'espace des générateurs J et K tu obtiens 2 algébres de Lie su(2) qui vont supporter des représentations irréductibles inéquivalentes

Re bonjour, la j'ai pas trop compris, mais mon cour y fait référence je crois je vais regarder ça de plus prés..

Envoyé par mariposa

Donc ton produit est un invariant de SU(2) et donc de SO(1,3)

Je suis d'accord que c'est un invariant de SU(2) mais pourquoi l'est il aussi pour SO(3,1) ? Un lien avec le changement de base vue plus haut ?

Envoyé par mariposa

Tu ramènes ton problème à une transformation infinitésimale epsilon theta (en n'oubliant pas que théta a trois composantes) et de là tu as le produit de matrices de pauli que tu manipules en tenant compte des relations de commutation entre les matrices de Pauli.

Remarque: Tu as nécessairement sommation sur les i

ok j'ai fait ce que tu m'as dit, et j'obtient :

$\text{[math]}$

Comment je peut affirmer a partir de la que $\text{[math]}$ transforme comme un 3-vecteur sous rotation ?

Envoyé par mariposa

Tu peux faire référence au Weinberg, je le possède.

ok j'y penserai si besoin, faut d'abord que je le regarde de prés pour faire le lien avec mon cours, mais la partie sur les groupes est semblable...

invite7ce6aa19 · 29/11/2010, 19h07

Envoyé par Cjordan

Je suis d'accord que c'est un invariant de SU(2) mais pourquoi l'est il aussi pour SO(3,1) ? Un lien avec le changement de base vue plus haut ?

Le groupe SO(3) a pour représentation les représentations de l'algébre de Lie su(2) + su(2).

Une représentation est donc notée (J1,J2) et a pour dimension (2J1+1).(2J+1)

tu as pris la représentation J1=1/2 et J2 = 0 donc ta représentation de SO(1,3) est (1/2, O)

ok j'ai fait ce que tu m'as dit, et j'obtiens :

$\text{[math]}$

Ton résultat me pourrait suspect car soit:

tu ne dois pas avoir de théta qui doivent s'éliminer pour les mêmes raisons que dans ton calcul modèle.

Soit avoir théta qui se factorise dans ton expression

Comment je peut affirmer a partir de la que $\text{[math]}$ transforme comme un 3-vecteur sous rotation ?

Cela revient à dire qu'il se transforme comme (1, 0) ou (0,1) cad comme l'algébre du moment angulaire L= 1 (les harmoniques sphériques classiques) et donc l'expression doit avoir des transformations élémentaires proportionnelles à theta au lieu de Theta/2

invite69d38f86 · 29/11/2010, 19h21

Envoyé par Cjordan

]

Enfin, j'ai un peu de mal avec la notation $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ etc.. et je voudrais comprendre comment fait on pour montrer qu'un champs appartient a telle ou telle représentation.

Merci a tous ceux qui prendrons le temps de répondre.

relire: http://forums.futura-sciences.com/ph...efinition.html
Pour (r/2,s/2) il faut compter le nombre d'indices pointés et non pointés par exemple pour (1/2,1/2) il y en a un de chaque

invite84eba484 · 30/11/2010, 12h37

bonjour,

Mariposa je ne comprend pas pourquoi tu pense que mon résultat est faux ? je détaillerais mon calcul plus tard mais la présence du théta est légitime je pense car on a fit en cours la tranformation (infinitésimal) sous un boost et dans la forme final il reste bien le w... J'y reviendrais plus tard.

Alovesupreme, j'ai regardé votre lien qui me parais assez détaillé, je vais m'y attardé cette aprés midi car il faut que je revois toute la partie sur le groupe de lorentz et poincaré (enfin plus particulierement poincaré).

Mais voila j'ai une question précise a vous poser, cela me permetras peut etre de mieux comprendre :

dans une des annales, il y a la question suivante :

Soit le langrangien suivant,

$\text{[math]}$
Phi est un champs scalaire complexe non hermitien et on demande a quelle représentation réductible du groupe de lorentz $\text{[math]}$ appartient il ? De meme pour $\text{[math]}$ ?

Voila si vous pouviez m'expliquer au moins ce cas ci peut etre que je comprendrais comment fonctionne tout ça

Merci encore a vous deux.

invite84eba484 · 30/11/2010, 14h17

Mariposa voila le détail de mon calcul:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Il peut y avoir une erreur de signe car j'ai fait ça vite fait, mais le theta reste dans tout les cas ? Il me reste plus qu'a comprendre pourquoi on dit qu'il se transforme comme un 3-vecteur...

invite7ce6aa19 · 30/11/2010, 15h34

Envoyé par Cjordan

Mariposa voila le détail de mon calcul:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je suis d'accord que l'angle théta ne s'élimine pas, mais je trouve un théta/2 là où tu trouve un théta. pour moi l'angle se factorise alors pour toi il y a addition d'angle!!

$\text{[math]}$

Il peut y avoir une erreur de signe car j'ai fait ça vite fait, mais le theta reste dans tout les cas ? Il me reste plus qu'a comprendre pourquoi on dit qu'il se transforme comme un 3-vecteur...

Cette dernière expression est bizarre car si on prend les matrices $\text{[math]}$ comme matrice identité on a bien un vecteur. Je m'explique:

Quand tu fais le produit tensoriel de 2 spineurs de su(2) tu une reprèsentation de dimension 4 qui se décompose en une reprèsentation irréductible de dimension 3 et une de dimension1. cela correspond à l'algébre classique de la composition de 2 moments angulaires 1/2.

La dimension 1 correspond au produit scalaire et correspond à ton exemple de départ.

Si tu prend la représentation de dimension 3 de ton produit tensoriel qui est pseudo-vecteur tu peux former un invariant en faisant le produit scalaire par le vecteur constitué par les 3 matrices de Pauli qui sont également un pseudo-vecteur.

invite84eba484 · 30/11/2010, 15h42

Envoyé par mariposa

Je suis d'accord que l'angle théta ne s'élimine pas, mais je trouve un théta/2 là où tu trouve un théta. pour moi l'angle se factorise alors pour toi il y a addition d'angle!!

Oui autant pour moi tu a raison, on a bien théta/2, j'ai juste oublié le 1/2 au passage

.

Envoyé par mariposa

Cette dernière expression est bizarre car si on prend les matrices $\text{[math]}$ comme matrice identité on a bien un vecteur. Je m'explique:

Quand tu fais le produit tensoriel de 2 spineurs de su(2) tu une reprèsentation de dimension 4 qui se décompose en une reprèsentation irréductible de dimension 3 et une de dimension1. cela correspond à l'algébre classique de la composition de 2 moments angulaires 1/2.

La dimension 1 correspond au produit scalaire et correspond à ton exemple de départ.

Si tu prend la représentation de dimension 3 de ton produit tensoriel qui est pseudo-vecteur tu peux former un invariant en faisant le produit scalaire par le vecteur constitué par les 3 matrices de Pauli qui sont également un pseudo-vecteur.

Pour le reste j'ai un peu de mal.

j'ai compris la composition de moment angulaire et le fait que 1/2*1/2=0+1 mais je comprend pas trop le probléme que tu pose ?

invite7ce6aa19 · 30/11/2010, 15h52

Envoyé par Cjordan

dans une des annales, il y a la question suivante :

Soit le langrangien suivant,

$\text{[math]}$
Phi est un champs scalaire complexe non hermitien et on demande a quelle représentation réductible du groupe de lorentz $\text{[math]}$ appartient il ? De meme pour $\text{[math]}$ ?

Voila si vous pouviez m'expliquer au moins ce cas ci peut etre que je comprendrais comment fonctionne tout ça

Merci encore a vous deux.

Par définition $\text{[math]}$ est un champ scalaire. Ce qui veut dire qu'il reste invariant par transformation de Lorentz. Il appartient donc à la représentation triviale de SO(1,3) qui a chaque transformation de symétrie fait correspondre le nombre 1.

Quant à l'expression $\text{[math]}$ il s'agit d'un quadrivecteur de Lorentz puisque c'est l'ensemble de 4 dérivées partielles d'un champ scalaire.

Tenu compte de la forme des opérateurs de rotation J et de Boosts K qui transforme ce quadrivecteur on définit 2 classes d'opérateurs par combinaison linéaires des J et des K engendrant 2 algébres de Lie indépendantes.

Tu peux vérifier que su tu fais la somme

(1/2, 0 ) + (0, 1/2) tu obtiens un quadrivecteur vecteur. Cela veut dire que le quadrivecteur engendre une représentation réductible de dimension 4 qui se décompose en les 2 représentations irréductibles fondamentales de SO(1,3)

invite84eba484 · 30/11/2010, 16h06

Envoyé par mariposa

Par définition $\text{[math]}$ est un champ scalaire. Ce qui veut dire qu'il reste invariant par transformation de Lorentz. Il appartient donc à la représentation triviale de SO(1,3) qui a chaque transformation de symétrie fait correspondre le nombre 1.

Quant à l'expression $\text{[math]}$ il s'agit d'un quadrivecteur de Lorentz puisque c'est l'ensemble de 4 dérivées partielles d'un champ scalaire.

Tenu compte de la forme des opérateurs de rotation J et de Boosts K qui transforme ce quadrivecteur on définit 2 classes d'opérateurs par combinaison linéaires des J et des K engendrant 2 algébres de Lie indépendantes.

Tu peux vérifier que su tu fais la somme

(1/2, 0 ) + (0, 1/2) tu obtiens un quadrivecteur vecteur. Cela veut dire que le quadrivecteur engendre une représentation réductible de dimension 4 qui se décompose en les 2 représentations irréductibles fondamentales de SO(1,3)

d'accord merci mariposa, donc si je note les représentation sous la forme (SU(2)L, SU(2)R) j'aurai :

(0,0) pour le champs scalaire et, et et, lol j'ai peur de dire une connerie :s mais je dirais si j'ai a peu prés compris que la dérivée du champs appartient a (1/2,1/2) ? Donc ma représentation réductible est (1/2,1/2) qui se décompose en deux représentation irréductible (0,1/2) et (1/2,0) qui eux sont des spineur de weil.

Bon je crois que ça vas un peu mieux merci en tout cas.

invite7ce6aa19 · 30/11/2010, 16h09

Envoyé par Cjordan

j'ai compris la composition de moment angulaire et le fait que 1/2*1/2=0+1 mais je comprend pas trop le probléme que tu pose ?

D'une manière générale tu as des expressions du style:

<A|O|B>

en MQ mais du point tensoriel ou du point de vue groupe tu peux considerer que A et B sont des champs.

O est un opérateur qui lui-même peut-être composé de somme de produit d'opérateurs.

Pour savoir comment se comporte le produit <A|O|B> par une opération de groupes on décompose chaque élément |A>, O, |B> selon les représentations irréductibles du groupe. Supposons que c'est déjà le cas.

Ensuite on effectue le produit tensoriel des 3 éléments ce qui engendre une représentation réductible du groupe que l'on décompose en reprèsentations irréductibles du groupe.

Pour simplifier supposons que l'on veut que <A|O|B> soit invariant (c'est le cas lorsque tu veux obtenir un lagrangien en théorie du champ).

Dans ce cas il suffit que dans la décomposition du produit tensoriel |A>¤ |B> il se trouve la représentation irréductible de O ce qui veut dire que le lagrangien est obtenu en faisant le produit scalaire de O par Dans ce cas il suffit que dans la décomposition du produit tensoriel [|A>¤ |B>] irred

Exemple:

soit le groupe O(3) l'opérateur O appartient à la représentation irréductible L=1

Par conséquent si A apparteint à 3/2 et B à 1 on a:

3/2¤ 1 = 5/2 + 3/2 + 1/2

La représentation L = 1 n'existe pas, donc on ne peut avoir de lagrangien invariant. Pour ce faire il faudrait des opérateurs appartenant à l'une des décompositions précédentes.

invite7ce6aa19 · 30/11/2010, 16h10

Envoyé par Cjordan

d'accord merci mariposa, donc si je note les représentation sous la forme (SU(2)L, SU(2)R) j'aurai :

(0,0) pour le champs scalaire et, et et, lol j'ai peur de dire une connerie :s mais je dirais si j'ai a peu prés compris que la dérivée du champs appartient a (1/2,1/2) ? Donc ma représentation réductible est (1/2,1/2) qui se décompose en deux représentation irréductible (0,1/2) et (1/2,0) qui eux sont des spineur de weil.

Bon je crois que ça vas un peu mieux merci en tout cas.

C'est exacte.

invite84eba484 · 01/12/2010, 14h11

Rebonjour, je continue a essayer de comprendre la théorie des champs (au moins mon cour ^^) mais il y a une chose qui revient souvent et que je n'arrive pas a assimiler !

Voila j'ai déja poser la question mais je comprend toujours pas

.

Donc je pose ici un nouvel exemple plus simple que le précédent, soit R une rotation et K les générateur des boost (groupe de Lorentz), donc on a (on montre ):

$\text{[math]}$

A partir de cette exprésion on affirme que K transforme comme un vecteur sous rotation ! Je comprend pas ce que ça veut dire, une petite explication serais bienvenue

merci

invite69d38f86 · 01/12/2010, 16h38

la partie gauche est la formule générale pour
obtenir le nouvel opérateur suite à la transformation R(theta) et celle de droite
la multiplication matricielle de rotation.
En dimension 2 on aurait $\text{[math]}$ =
cos -sin
sin cos

De la meme façon
pour une transformation de Lorentz $\text{[math]}$
la 4 impulsion $\text{[math]}$ se transforme par $\text{[math]}$
comme un 4 vecteur:
$\text{[math]}$

invite84eba484 · 07/12/2010, 12h10

Bonjour a tous,

Merci alovesupreme je pense avoir compris cette notion de trnsformation, mais voila je bloque depuis plus d'une heure sur une question d'une annale:

On a un champs scalaire $\text{[math]}$ et on me demande comment se transforme sous la transformation $\text{[math]}$ les quantités $\text{[math]}$ ?

Donc ce que je "sais" faire :

$\text{[math]}$

A partir de la je comprend plus trop, parce que le prof a écrit :

$\text{[math]}$

Où $\text{[math]}$ est l'impulsion conjugué. Ensuite il dit "On a quantifié la théorie scalaire" :
$\text{[math]}$

En acceptant cela, je peut comprendre la transformation de $\text{[math]}$ mais comment alors calculer les autres transformations ?

Parce que je ne connais pas les commutateur suivant :

$\text{[math]}$

merci pour vos réponses.

Théorie des champs, groupe de poincaré, transformation de champs.

Théorie des champs, groupe de poincaré, transformation de champs.

Re : Théorie des champs, groupe de poincaré, transformation de champs.

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