Théorie des champs (champs électromagnétique)

[julien_4230]

Bonjour à tous,

Je débute avec la notation tensorielle, et c'est assez difficile pour moi.
Je galère à montrer ceci :

Le lagrangien vaut (d désigne "d rond"):

L=-(1/4)F_µvF^µv
=-(1/2)(d_µA_v)(d^µA^v)+(1/2)(d_µA^µ)².

Voilà ma piste :

-(1/4)F_µvF^µv
= -(1/4)(2*(d_µA_v)(d^µA^v)-2*(d_µA_v)(d^vA^µ))
= -(1/2)(d_µA_v)(d^µA^v)+(1/2)g_vcg^ve(d_µA^c)(d_eA^µ)

Puique g_vc=g_cv et que g_cvg^ve=(Kronecker)^e_c, alors :

-(1/4)F_µvF^µv
= -(1/2)(d_µA_v)(d^µA^v)+(1/2)(d_µA^v)(d_vA^µ)

Super... Je suis bien bloqué ! Je ne parviens pas à égaliser les v et les µ dans le dernier membre, je ne vois pas la subtilité...

Merci de m'aider !

Bien cordialement,
-----

[Thwarn]

Il faut intergrer deux fois par partie le deuxieme terme. Cela se voit d'autant mieux dans l'espace de fourier.

[julien_4230]

Je ne comprends pas. Pourquoi intégrer ? Comment intégrer ?
Vous pourriez me le faire pour que je vois comment ça marche s'il vous plaît ?

[Thwarn]

La quantité importante est l'action, c'est elle qui controle la physique. Ainsi, plein de lagrangien d'aspect different donne en fait la meme dynamique.
Le terme en F*F que tu as ecrit est la densité de lagrangien (le lagrangien est l'integrale sur tout l'espace de la densité de lagrangien), et l'action est l'integrale sur le temps du lagrangien.

Tu vois maintenant que si tu travailles avec l'action (integrale sur l'espace temps de F*F), tu peux faire des integrations par partie de certains termes, et si les terme de bord ne contribue pas (champ nul à l'infini), tu peux retrouver le terme qui te manque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

Ah j'ai bien compris ! Merci infiniment !

Maintenant, une autre question quant aux méthodes de calcul.

Si je veux faire descendre un indice, j'utilise g comme je l'ai fait. Mais si j'ai un indice v, je dois faire apparaître un autre indice dans g (à deux indices). Est-ce que je peux faire apparaître un indice que l'on retrouve en produit vec celui dont l'indice doit descendre, afin de se retrouver avec un produit d'éléments de g donnant le symbole de Kronecker ?

Merci !

[Thwarn]

heu, je comprends pas vraiment ce que tu veux dire...
Ecris l'equation que tu penses etre juste et on voit ça

[julien_4230]

Bonsoir,
J'ai confirmé que ce que je pensais était bon.

SOit le Lagrangien :
L=(1/2)(d^µf)(d_µf).

Vous confirmez que le courant conservé J_µ, sachant que DELTA(L)=0 pour la transformation f => f+ a, a un réel, est :

J_µ=2d^µf.

N'est-ce pas ?

[julien_4230]

En effet, (d_µf)(d^µf)=(d_µf)g^µv(d_vf)

La dérivée par rapport à (d_µf) s'écrit :

g^µv(d_vf)+(d_µf)g^µv
= (d^µf)+(d^vf)=2(d^µf).

Voilà.

[julien_4230]

Je ne me suis pas trompé ?

Autre question :

est-ce que l'on a :
g_ijg^kl=DELTA^k_jDELTA^l_i ?

Si non, est-ce qu'on l'on peut écrire :

d_jA^jg^µv=g^µvg_jvd^vA^j=d^vA^µ

??

Merci bien.

[julien_4230]

Je viens de me rendre compte que l'égalité avec le produit des deux deltas est impossible.
Je suis un peu embêté...

[julien_4230]

Bon, mon problème est que je veuille montrer, que :

d_µ(dL/dd_µA_v)=-d_µF^µv

à partir de L=(-1/2)(d_µA_v)(d^µA^v)+(1/2)(d_µA^µ)².

J'ai :

dL/dd_µA_v=-d^µA^v+g^µvd_jA^j, ça, c'est clair.

Ensuite :

d_µ(dL/dd_µA_v)=-d_µ(d^µA^v-g^µvg_jwd^wA^j).

Je suis coincé avec g^µvg_jw dans le second membre... Je rappelle que : F^ij=dⁱA^j-d^jAⁱ.

Merci de votre aide.

[julien_4230]

Bonjour, en fait c'est un peu bête... On peut introduire le w que l'on veut !
harry potter doit pénétrer dans le train pa deyère !! bah oui dit don

[Thwarn]

Bon, mon problème est que je veuille montrer, que :

d_µ(dL/dd_µA_v)=-d_µF^µv

à partir de L=(-1/2)(d_µA_v)(d^µA^v)+(1/2)(d_µA^µ)².

J'ai :

dL/dd_µA_v=-d^µA^v+g^µvd_jA^j, ça, c'est clair.

Ensuite :

d_µ(dL/dd_µA_v)=-d_µ(d^µA^v-g^µvg_jwd^wA^j).

Je suis coincé avec g^µvg_jw dans le second membre... Je rappelle que : F^ij=dⁱA^j-d^jAⁱ.

Merci de votre aide.

Ton truc avec les g*g =delta*delta est faux. Par contre, je comprends pas ou est ton probleme, tu as ton resultat (si tu compars avec d*F). Fait bien attention que quand tu as des sommations implicite, tu peux changer le nom de l'indice comme tu le souhaites.