Qu'est ce au fond qu'une différentielle?

[Amanuensis]

Bonsoir, oui j'aurai dû préciser, ici G et G' sont deux groupes de Lie f est un morphisme de G vers G' et X est un élément de l'algèbre de Lie de G.

OK. "Avec les mains" (la "démo" n'est pas rigoureuse du tout) :

L'algèbre de Lie, c'est l'espace vectoriel tangent en I, l'identité du groupe.

f envoie I de G sur I de G'.

df est la linéarisation de f près de I. C'est une application linéaire de l'algèbre de Lie de G vers l'algèbre de Lie de G', telle que, à la limite tend vers 0:



L'exponentielle exp(tX) peut s'écrire comme la limite quand n tend vers l'infini de (I+tX/n)ⁿ.

D'où

(approximation de l'exp dans G)
(f est un morphisme)
(linéarisation de f près de I)
(approximation de l'exp dans G')

Ou encore : t --> exp(tX) est une sorte de géodésique, c'est une ligne passant par I (en t=0) et "allant toujours dans la direction X". f étant un morphisme, il transforme cela en une ligne équivalente dans G', de direction df(X). df relie les directions partant de I_G aux directions partant de I_G'.

[Caveat : à confirmer, je ne suis qu'un non professionnel autodidacte, cela reflète ce que je crois comprendre.]
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