Qu'est ce au fond qu'une différentielle?

[invite39876]

Bonjour,
Il me semblait avoir bien compris ce qu'etait une differentielle et
une forme differentielle, mais lors de mes cours sur le
representations et les groupes de Lie, ce que je croyais savoir eSt
violemment mis a mal, aussi je me demandais au fond qu'est ce que
c'etait vraiment une differentielle et une forme differentielle
(notement parce que j'avais du mal a comprendre comment rattacher la
notion de differentielle d'un morphisme de groupe Lie a la notion de
differentielle que je connais deja), et je croyais que la notion de
differntielle totale etait sur les diffcerentielles alors qu'on me dit
aujourd'hui que c'est sur les formes differentielles. D'ailleurs est
ce que fermée, totale, exacte, ca veut bien dire la meme chose dans ce
contexte la?
Merci d'avance.
Julia.
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[invite6754323456711]

Bonjour,
Il me semblait avoir bien compris ce qu'etait une differentielle et
une forme differentielle, mais lors de mes cours sur le
representations et les groupes de Lie, ce que je croyais savoir eSt
violemment mis a mal, aussi je me demandais au fond qu'est ce que
c'etait vraiment une differentielle et une forme differentielle
(notement parce que j'avais du mal a comprendre comment rattacher la
notion de differentielle d'un morphisme de groupe Lie a la notion de
differentielle que je connais deja), et je croyais que la notion de
differntielle totale etait sur les diffcerentielles alors qu'on me dit
aujourd'hui que c'est sur les formes differentielles. D'ailleurs est
ce que fermée, totale, exacte, ca veut bien dire la meme chose dans ce
contexte la?
Merci d'avance.
Julia.

Il faut déjà bien assimiler les bases :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1975334
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2705846

Patrick

[invite39876]

Ok, mais cela il me semblait déjà le savoir.
Mais je suis un peu perdu quant a la notion de forme, et de différentielle (dans mon cours on parle de différentielle d'une forme différentielle, et je comprends rien a la définition d'une forme différentielle que j'ai. Ça me semble n'avoir rien a voir avec ce que je sais déjà, et mon prof m'a dit que voir les choses avec des infiniements petits et des petits accroissement n'était pas trop approprie)

[invite6754323456711]

Ok, mais cela il me semblait déjà le savoir.
Mais je suis un peu perdu quant a la notion de forme, et de différentielle

J'ai du mal a comprendre ce qui te pose problème. La différentielle en un point donnée est une forme linéaire.

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Ben, comme je dis je comprends pas trop qu'elle est la difference
entre differentielle et forme differentielle. Enfin je croyais la
comprendre, mais la on utilise ca dans le cadre des groupes et je
comprends plus rien.
Par exemple la differentielle d'une forme differntielle c'est une
forme differentielle ou une differentielle totale?
Et t a til des differences entre exacte totale et fermée (d'ailleurs
dit on une forme differentielle totale exacte fermée, ou une
differentielle fermée totale exacte).
En bref ma question pose sur les differences entre forme
differentielle et differentielle.
Dsl c'est peut etre pas assez precis... je peux vous donnez les
definitions de mon cours si vous voulez et on peut en parler.
Julia.

[invite6754323456711]

En bref ma question pose sur les differences entre forme
differentielle et differentielle.

Ok


Ma compréhension si cela peut aider au travers d'un exemple appliqué au 1-forme (forme différentielle de degré 1).

J'ai latex qui ne fonctionne plus - sur FS

Soit M une variété différentielle sur laquelle on défini une fonction scalaire Phi "lisse" (un champ scalaire. Fonction de classe C infinie) localement qui s'étend à toute la variété M.

Soit un champ de vecteur xi sur la variété M.

xi agissant sur n'importe quel champ scalaire (lisse) Phi pour produire un autre champ de vecteur xi(Phi) (opérateur de différentiation). xi peut s'interpréter comme le "taux de variations" de Phi dans la direction du vecteur représentant de xi.

Si la variété est une surface S² dans le système de coordonnée local (x,y) "cartes. Nous avons :

dPhi = différentielle totale de f(x,y) = u dx + v dy avec u dérivée partielle de Phi par rapport à x et v dérivée partielle de Phi par rapport à y

xi = a . opérateur dérivée partielle par raport à x + b . opérateur dérivée partielle par rapport à y

dPhi est le champ de covecteur (gradient / dérivée extérieure) du champ scalaire Phi. Il est défini par le produit scalaire : dPhi . xi = x (Phi)

L'opérateur de différentiation vérifie les relations algébriques

xi(Phi + Psi) = xi(Phi) + xi(Psi)
xi(Phi . Psi) = Phi.xi(Psi) + PSI.xi(Phi)
xi(k) = 0 si k est une constante.

Ces propriétés suffissent à définir xi comme un champ de vecteur.

La 1-forme est un champ de covecteur alpha qui peut s'interpréter comme une application agissant sur un champ de vecteurs pour donner un champ scalaire, l'action alpha sur xi = produit scalaire alpha . xi satisfaisant les propriétés de linéarité :

alpha . (xi + nu) = alpha . xi + alpha . nu
alpha .(Phi xi) = Phi (alpha . xi)

Pour tout champ de vecteur xi et nu et pour tout champ scalaire Phi. Les covecteurs sont des objets duals des vecteurs. Le dual de l'espace de covecteur redonne l'espace des vecteurs.

La différence géométrique entre un vecteur et un covecteur peut être vue comme en tout point d'une n-variété : un covecteur alpha non nul définit un "élément plan" à (n - 1) dimension. Les directions au sein de ce (n - 1) plan sont celle des vecteurs xi pour lesquels le produit scalaire alpha . xi = 0

Patrick

[invite6754323456711]

Bonsoir

Un exemple peut être plus clair que celui que j'ai donné : page 16 à 18 du cours de RG

Patrick

[GrisBleu]

Salut
Petite correction

pour produire un autre champ de vecteur xi(Phi)

C'est pas plutot un scalaire ? ?
Sinon, pour Bloupou, je suis en train de lire un petit bouquin qui explique tres bien (des schemas illustrent toujours les notions nouvelles) "Geometrical methods for mathematical physics" de Schutz. Si tu le trouves a ta BU, je te le conseille
A Bientot

[invite6754323456711]

Salut
Petite correction C'est pas plutot un scalaire ? ?
Sinon, pour Bloupou, je suis en train de lire un petit bouquin qui explique tres bien (des schemas illustrent toujours les notions nouvelles) "Geometrical methods for mathematical physics" de Schutz. Si tu le trouves a ta BU, je te le conseille
A Bientot

Oui, c'est un lapsus il faut lire produit un autre champ de scalaire. Ainis que l'action de xi sur Phi "xi(Phi) mesure le "taux de variation" de Phi dans la direction de xi.

Il me semble que se qui importe est le produit scalaire dPhi . xi = xi(Phi) qui sous end la définition de 1-forme, c'est à dire celle d'une grandeur que l'on peut associer à un champ de vecteurs pour former un tel "produit scalaire". Le fait que la grandeur dPhi conduise à un produit scalaire avec les champs de vecteurs est ce qui permet de la définir comme 1-forme (duales aux champs de vecteurs).

Patrick

[invite69d38f86]

J'avais déjà ouvert un fil ou je m'étonnais qu'une forme différentielle n'envoyait pas des
"choses" forcement vers des nombres.
J'avais trouvé (désolé c'est en anglais)

Vector-valued_differential_form

[invite7ce6aa19]

Salut
Petite correction C'est pas plutot un scalaire ? ?

Bonjour,


Petite correction

Il faut écrire d'une part:




avec X(f) = grad f

et d'autre part





où les sous-tendent un espace vectoriel et forment une base alors que:

les

Sont les composantes de X dans la base des


Autrement la philosophie précédente à servi à définir une base d'un espace vectoriel a partir d'un vecteur très particulier qui est le vecteur gradient.


C'est à partir de cette base que l'on peut définir une forme différentielle quelconque où le gradient était le cas particulier qui a permis de générer la base de base de l'espace vectoriel.

[Amanuensis]

Il me semble que ce qui importe est le produit scalaire dPhi . xi = xi(Phi) qui sous tend la définition de 1-forme, c'est à dire celle d'une grandeur que l'on peut associer à un champ de vecteurs pour former un tel "produit scalaire".

Si tu utilises le vocabulaire "1-forme", tu ne devrais pas utiliser le terme de "produit scalaire" ici. Il s'agit du "produit naturel", l'application d'une forme linéaire à un élément d'un espace vectoriel ; c'est défini en l'absence de métrique, de norme, de "vrai" produit scalaire.

Si on parle de produit scalaire, alors le vocabulaire cohérent est "gradient", pas "1-forme".

[invite7ce6aa19]

Si tu utilises le vocabulaire "1-forme", tu ne devrais pas utiliser le terme de "produit scalaire" ici. Il s'agit du "produit naturel", l'application d'une forme linéaire à un élément d'un espace vectoriel ; c'est défini en l'absence de métrique, de norme, de "vrai" produit scalaire.

Si on parle de produit scalaire, alors le vocabulaire cohérent est "gradient", pas "1-forme".

Bonjour,

Le produit scalaire est une notion effectivement indépendante de toute notion de métrique.

La notion de scalaire s'introduit soit: comme la composante d'un tenseur de rang nul , donc d'un espace de dimension 1(donc invariante par changement de base) soit: comme valeur d'une forme (le mot forme, au lieu d'application, est là pour spécifier le corps de définition de l'espace vectoriel). Évidemment cela revient au même

Quand on effectue le produit tensoriel de 2 espaces vectoriels on obtient un tenseur qui peut se décomposer en 2 sous-espaces invariants, les tenseurs symétriques et les tenseurs antisymétriques. Les tenseurs symétriques peuvent de même se décomposer en un tenseur symétrique de trace nulle et la trace étant tout simplement étant le tenseur invariant de trace nulle, cad le produit scalaire.

En physique, à chaque fois que l'on veut construire un invariant (typiquement un hamiltonien ou un lagrangien) on cherche toutes les combinaisons de produit de tenseurs qui par décomposition donnent des tenseurs de rang nul. Les tenseurs n'étant qu'une propriété des groupes GL(n,R) cela s'étant à tous les groupes et constituent par généralisation la théorie de représentation des groupes.


En résumé le concept de scalaire dérive du concept de tenseur (et les tenseurs ignorent la notion de métrique pour le même raison que la définition des espaces vectoriels ignorent la notion de métrique)

[invite6754323456711]

Si tu utilises le vocabulaire "1-forme", tu ne devrais pas utiliser le terme de "produit scalaire" ici. Il s'agit du "produit naturel", l'application d'une forme linéaire à un élément d'un espace vectoriel ; c'est défini en l'absence de métrique, de norme, de "vrai" produit scalaire.

Si on parle de produit scalaire, alors le vocabulaire cohérent est "gradient", pas "1-forme".

Ce terme de "produit scalaire" semble souvent utilisé :

http://epiphys.emn.fr/spip.php?article308
http://epiphys.emn.fr/spip.php?article232
http://epiphys.emn.fr/spip.php?article234

Patrick

[Amanuensis]

Ce terme de "produit scalaire" semble souvent utilisé

Certes !

Il y a au moins deux manières de voir le terme de "produit scalaire". L'une superficielle, ne cherchant pas à conceptualiser, qui voit dans le produit scalaire juste une formule générique, , en se fichant quelque peu de ce que peuvent bien représenter les multiplets et .

Une autre cherche à restreindre le terme à un concept relativement précis, et c'est alors une opération de ExE vers K, où E est un espace vectoriel sur K (avec des restrictions supplémentaires, selon les auteurs et selon le corps K).

Je n'ai aucun doute que tu trouveras plein d'exemples sur le web de la première manière.

L'opération dont tu parlais, entre une 1-forme et un vecteur, est l'opération bilinéaire canonique de ExE* dans K. Celle que sous-tend l'expression "forme linéaire" (http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_lin%C3%A9aire)

[Au passage dans l'article ils nomment cette opération "crochet de dualité" :

"On note parfois (où) pour φ(x). Cette notation est appelée crochet de dualité."]

[invite6754323456711]

J'avais déjà ouvert un fil ou je m'étonnais qu'une forme différentielle n'envoyait pas des
"choses" forcement vers des nombres.

En fait si on prête attention à la définition de forme différentielle : La différentielle d'une fonction peut être regardée comme un champ de formes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles.

La différentielle est une application de l'intervalle dans , pour tout point de , sa valeur une application linéaire ;

Les formes différentielles de degré 1 – ou 1-formes – sont des champs de formes linéaires sur une variété différentielle.

Patrick

[invite39876]

Bon alors je vous donne les definitions que j'ai.
Dans mon cours on appelle p-forme differentielle sur une variété M, la donnée dans un atlas U_i, d'applications w_i de U_i dans A^p((R^n)*) le A est un grand V inversé. qui verifient une condition de recollement que l'on a ecrit g_{i,j}^*(w_j)=w_i, ou les g_ij sont les changement de cartes.
Ensuite on defini la differentielle d'une telle p-forme differentielle.
Deja je comprends pas ici, je croyais que la differentielle c'est sur les fonctions.
Ensuite on parle de forme fermée et exacte... C'est la meme chose que totale?

Plus loin, on a des morphismes entre groupe de Lie, et on parle la differentielle de ce morphisme. Un morphisme de groupe de Lie, c'est donc un p-forme differentielle?

[invite6754323456711]

Bon alors je vous donne les definitions que j'ai.
Dans mon cours on appelle p-forme differentielle sur une variété M, la donnée dans un atlas U_i, d'applications w_i de U_i dans A^p((R^n)*) le A est un grand V inversé. qui verifient une condition de recollement que l'on a ecrit g_{i,j}^*(w_j)=w_i, ou les g_ij sont les changement de cartes.
Ensuite on defini la differentielle d'une telle p-forme differentielle.
Deja je comprends pas ici, je croyais que la differentielle c'est sur les fonctions.

Il me semble qu'il faut revenir aux fondamentaux est bien assimiler les définitions de base. Les notions différentielle et différentielles en un point sont deux notions différentes.

L'application linéaire , définie sur tout entier et pas seulement sur l'intervalle , s'appelle l'application linéaire tangente à en ou encore la différentielle de en, on la note .

En résumé :
– la différentielle est une application de dans , pour tout point de , sa valeur une application linéaire ;
– la différentielle au point , est une application linéaire de dans , pour tout nombre réel , sa valeur une nombre réel.

Car ensuite ce ne sont que des généralisations / extensions des concepts de bases.

En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité.

Les formes différentielles de degré 1 – ou 1-formes – sont des champs de formes linéaires sur une variété différentielle. Dit autrement, on se donne une forme linéaire en chaque espace tangent TxM avec une dépendance régulière en x. La dépendance en x peut facilement être précisée par l'expression dans des cartes locales.

Il est possible de faire l'analogie avec la notion de champs de vecteurs.

Une définition de forme différentielle exacte http://epiphys.emn.fr/spip.php?article234

Patrick

[Amanuensis]

Il me semble que l'une des difficultés conceptuelles avec les 1-formes est qu'il y a diverses notions de "dérivation" sur une variété, et qu'elles coïncident dans le cas d'un champ scalaire (= fonction vers R vu comme variété de dimension 1; = 0-forme). (En particulier, la dérivée des composantes, la dérivée covariante, la dérivée extérieure (= 1-forme) et la dérivée totale coïncident pour un champ scalaire.)

Autrement dit, regarder ce qu'il se passe pour un champ scalaire peut facilement amener à confusion, parce qu'on risque de "choisir" un modèle mental de dérivation particulier, là où il y en a plusieurs.

La notion de p-forme différentielle est une des "notions différentielles" apparaissant en géométrie différentielle, mais ce n'est pas la seule ; et ce n'est qu'à partir de la 2-forme (opérateur différentiel liée aux "surfaces infinitésimales") que les spécificités de la dérivation extérieure apparaissent.

Par ailleurs, il me semble que si on dit "la différentielle" pour autre chose qu'un champ scalaire, il ne s'agit pas de la dérivée extérieure. (Ne serait-ce que parce que la dérivation extérieure ne s'applique qu'aux p-formes.)

[invite39876]

Il me semble qu'il faut revenir aux fondamentaux est bien assimiler les définitions de base. Les notions différentielle et différentielles en un point sont deux notions différentes.



Car ensuite ce ne sont que des généralisations / extensions des concepts de bases.

En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité.

Les formes différentielles de degré 1 – ou 1-formes – sont des champs de formes linéaires sur une variété différentielle. Dit autrement, on se donne une forme linéaire en chaque espace tangent TxM avec une dépendance régulière en x. La dépendance en x peut facilement être précisée par l'expression dans des cartes locales.

Il est possible de faire l'analogie avec la notion de champs de vecteurs.

Une définition de forme différentielle exacte http://epiphys.emn.fr/spip.php?article234

Patrick

Je suis désolée, mais je ne vois pas trop le rapport avec mes questions.
(J'ai bien compris vos definitions cela dit, mais je ne vois pas trop en quoi ce sont les meme objets que les miens).

[invite39876]

Il me semble que l'une des difficultés conceptuelles avec les 1-formes est qu'il y a diverses notions de "dérivation" sur une variété, et qu'elles coïncident dans le cas d'un champ scalaire (= fonction vers R vu comme variété de dimension 1; = 0-forme). (En particulier, la dérivée des composantes, la dérivée covariante, la dérivée extérieure (= 1-forme) et la dérivée totale coïncident pour un champ scalaire.)

Autrement dit, regarder ce qu'il se passe pour un champ scalaire peut facilement amener à confusion, parce qu'on risque de "choisir" un modèle mental de dérivation particulier, là où il y en a plusieurs.

La notion de p-forme différentielle est une des "notions différentielles" apparaissant en géométrie différentielle, mais ce n'est pas la seule ; et ce n'est qu'à partir de la 2-forme (opérateur différentiel liée aux "surfaces infinitésimales") que les spécificités de la dérivation extérieure apparaissent.

Par ailleurs, il me semble que si on dit "la différentielle" pour autre chose qu'un champ scalaire, il ne s'agit pas de la dérivée extérieure. (Ne serait-ce que parce que la dérivation extérieure ne s'applique qu'aux p-formes.)

Voila la définition que donne mon cours pour cette differentielle
si alors
Donc ici, je comprends que la notion de differentielle est calculée sur une p-forme, et pas sur une fonction. Ce que je croyais jusqu'a present.
De plus je comprends pas comme on peut avoir un p-forme fermée ou exacte avec cette differentielle (d'ailleurs je comprends pas la difference), mais puisqu'on calcule plus de df, ou f est une fonction on aura jamais w=df avec f une fonction, non? surtout si w est une p-forme avec p>1.
Pourriez vous m'eclairer sur ce point?
Julia.

[Amanuensis]

Voila la définition que donne mon cours pour cette differentielle
si alors

Ca, c'est la dérivée extérieure, qui à une p-forme associe une (p+1)-forme.

Donc ici, je comprends que la notion de differentielle est calculée sur une p-forme, et pas sur une fonction.

Au détail qu'il est courant de voir "fonction" dans ce cas pour un champs scalaire, qui est une 0-forme, et donc auquel on peut associer une dérivée extérieure, une 1-forme.

Par contre si la fonction a pour ensemble d'arrivée autre chose que des p-formes, on ne peut pas appliquer la dérivée extérieure directement (mais on peut faire des choses en faisant intervenir la dualité de Hodges, d'où par exemple la notion de divergence).

De plus je comprends pas comme on peut avoir un p-forme fermée ou exacte

À ce que je comprends, une p-forme est exacte si c'est la dérivée extérieure d'une (p-1)-forme, et elle est fermée si sa dérivée extérieure est nulle.

"exact" implique "fermée" (parce qu'appliquer deux fois la dérivée extérieure donne toujours 0), mais ce n'est pas réciproque en toute généralité. Le contre-exemple usuel est dΘ, en coordonnées polaires.

Tout ça est dans n'importe quel texte élémentaire sur la dérivée extérieure, non ? En quoi cela aide ?

[invite39876]

Ca, c'est la dérivée extérieure, qui à une p-forme associe une (p+1)-forme.

Ok, mon cours appelle ca la differentielle.

Au détail qu'il est courant de voir "fonction" dans ce cas pour un champs scalaire, qui est une 0-forme, et donc auquel on peut associer une dérivée extérieure, une 1-forme.

Donc une fonction c'est une 0-forme?... Ok

À ce que je comprends, une p-forme est exacte si c'est la dérivée extérieure d'une (p-1)-forme, et elle est fermée si sa dérivée extérieure est nulle.

"exact" implique "fermée" (parce qu'appliquer deux fois la dérivée extérieure donne toujours 0), mais ce n'est pas réciproque en toute généralité. Le contre-exemple usuel est dΘ, en coordonnées polaires.

Tout ça est dans n'importe quel texte élémentaire sur la dérivée extérieure, non ? En quoi cela aide ?

Cela m'aide, parce que c'est dans mon cours, et que je ne le comprends pas.

Et je ne comprends pas votre contre exemple non plus, si votre forme dtheta, s'ecrit dtheta, c'est que c'est bien la differentielle de theta, donc elle est exacte non?

Autre chose, dans la suite de mon cours on a des morphismes de groupes de Lie, et on parle de leurs differentielles, dans ce cas la, ce n'est plus la dérivée exterieure que l'on appelle differentielle?
Merci.

[invite6754323456711]

Ok, mon cours appelle ca la differentielle.

C'est ce point de définition "la différentielle" qui me semblait ambigu dans tes propos.

La dérivée extérieure d est un opérateur qui agit sur les formes différentielles de degré quelconque p. Dans ce cadre le notion de p-formes différentielle semble se définir à l’aide du produit extérieur qui correspond à l’antisymétrisation du produit tensoriel de p différentielles.

Patrick

[Amanuensis]

Et je ne comprends pas votre contre exemple non plus, si votre forme dtheta, s'ecrit dtheta, c'est que c'est bien la differentielle de theta, donc elle est exacte non?

C'est un abus de notation. Il n'y a pas de fonction "theta" continue dont c'est la dérivée extérieure (quand on fait un tour autour de l'origine on ajoute 2pi, pas de continuité possible sur un cercle complet autour de l'origine).

Autre chose, dans la suite de mon cours on a des morphismes de groupes de Lie, et on parle de leurs différentielles, dans ce cas la, ce n'est plus la dérivée extérieure que l'on appelle différentielle?

J'imagine que c'est la différentielle totale dans ce cas (l'approximation linéaire du morphisme au point considéré).

[invite39876]

C'est un abus de notation. Il n'y a pas de fonction "theta" continue dont c'est la dérivée extérieure (quand on fait un tour autour de l'origine on ajoute 2pi, pas de continuité possible sur un cercle complet autour de l'origine).



J'imagine que c'est la différentielle totale dans ce cas (l'approximation linéaire du morphisme au point considéré).

Ok, alors mon prof ecrit, par définition on a donc f(exp(tX))=exp(t.df(X)), ou df est la différentielle en 1 du morphisme de groupe de Lie.
Pourquoi cela?
(Desolée de vous embeter, mais j'ai vraiment du mal!!)
Merci de vos reponses!!

[Amanuensis]

Ok, alors mon prof ecrit, par définition on a donc f(exp(tX))=exp(t.df(X)), ou df est la différentielle en 1 du morphisme de groupe de Lie.

Je ne pense pas bien comprendre le point. Qu'est-ce que f, par exemple ? X doit être un élément de l'algèbre de Lie du groupe ??

[invite7ce6aa19]

Je ne pense pas bien comprendre le point. Qu'est-ce que f, par exemple ? X doit être un élément de l'algèbre de Lie du groupe ??

f est une fonction sur l'algébre du groupe.

[Amanuensis]

f est une fonction sur l'algébre du groupe.

Je ne pense pas. f a pour ensemble de départ le groupe même. C'est l'ensemble d'arrivée qui m'échappe.

[invite39876]

Je ne pense pas. f a pour ensemble de départ le groupe même. C'est l'ensemble d'arrivée qui m'échappe.

Bonsoir, oui j'aurai du preciser, ici G et G' sont deux groupes de Lie f est un morphisme de G vers G' et X est un element de l'algèbre de Lie de G.