Modèle de la particule dans une boite- Eq. Schrodinger

[invitef1bc0a6d]

Bonjour à tous!

J'ai un exercice difficile à résoudre pour bientot (en tout cas, je le trouve difficile à résoudre).

Il s'agit d'un exercice sur la modèle de "particule dans la boite 1D".
Je me suis renseignée sur ce modèle, je crois avoir bien compris de quoi il s'agit.

Cependant, l'exercice reste flou et dès la première question, je ne sais pas répondre. Je ne peux même pas continuer l'exercice, j'ai donc pensé à venir demander ici.

La particule a une masse m.
Elle translate dans une seule dimension, dans l'intervalle 0 xa.
L'énergie potentielle de la particule dans la boite est nulle.

Je dois d'abord vérifier que la fonction
ψ _n(x) = (2/a)^1/2 sin(k_nx)
où kn = nπ/a avec un entier n et un réel a positif,
est solution de l'équation de Schrodinger indépendante du temps
(-h²d²ψ_n(x)) / (2md²x) = E_nψ_n(x)

h étant la constante de Planck, et m la masse de la particule.

Je ne sais pas comment vérifier cela... Dois je vérifier qu'après remplacement de par sa solution dans l'équation de Schrodinger, j'obtiens bien une énergie égale à une énergie?
Je n'ai jamais fait de problème tourné dans ce sens.

Merci de votre précieuse aide.
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[DarK MaLaK]

Salut, c'est un peu flou comme question mais tu peux toujours résoudre l'équation depuis le début. Ce n'est pas très long et ça te permettra de bien comprendre comment on trouve la solution. Sinon, le but est peut-être simplement d'exprimer l'énergie en fonction de n et de constantes en réintroduisant la solution proposée dans l'équation. Tu peux vérifier au passage que les dimensions sont les bonnes, si tu veux.

[invitef1bc0a6d]

Merci pour cette réponse!

Je pense que trouver l'expression de En est l'objet des prochaines questions.

Il faudrait donc que je résolve l'équation de Schrödinger? Comment procède-t-on?

[albanxiii]

Il suffit d'écrire l'équation de Schrödinger pour les différentes zones de ton problème :; et . Encore que pour la première et la dernière zone que j'ai décrites ici, il n'y a pas vraiment grand chose à poser et donc à résoudre, puisque le potentiel de ces régions est infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Tu peux la résoudre comme une équation différentielle du second ordre classique, avec le polynôme caractéristique. Ensuite, il faut utiliser la norme de la fonction d'onde. Et normalement, il devrait y avoir une condition dans l'énoncé, sur le fait que , non ? Moi, c'est avec ça que je fais apparaître la quantification en n...

[invitef1bc0a6d]

Dark Malak:
Les conditions inititales sont:
-que l'énergie potentielle de la particule est nulle dans la boite (donc entre x=0 et x=a)
-que a est un réel positif et n un entier
-que l'équation de Schrodinger est indépendante du temps.
-que kn = n(pi)/a
C'est tout...

Albanxii:
Bonsoir et bienvenue!
Je devrais donc selon toi me limiter à la résolution de l'équation dans cet intervalle? C'est aussi mon avis!

[DarK MaLaK]

"-que kn = n(pi)/a"


C'est une condition initiale, ça ? Pour moi, il faut le trouver soi-même... C'est même probablement le résultat le plus important.

[coussin]

On te demande de vérifier que dériver deux fois la solution qu'on te propose, on trouve un truc proportionnel à la fonction de départ. Ta fonction étant en sinus, c'est immédiat (dérive deux fois un sinus, tu retrouves un sinus).
La constante de proportionnalité entre la dérivée seconde et la fonction elle-même étant identifié à une énergie E_n

[invitef1bc0a6d]

Pour Dark Malak:
Cette relation est carrément donnée dans l'énoncé...
(car en fait, l'exercice ne tourne pas juste autour de cela, il ne s'agit que de la première question, je pense que c'est pour cela qu'on nous donne déjà cette importante relation)

Pour coussin:
Bonsoir!
Très bonne idée, je pense que ce sera ce qu'il y a de plus pertinent comme réponse.

[DarK MaLaK]

Mais c'est bien un exercice de physique quantique ?

[invitef1bc0a6d]

Mais c'est bien un exercice de physique quantique ?

Oui! (cependant le prof nous a fait remarqué qu'il nécessitait des connaissances mathématiques, comme à chaque fois)

[albanxiii]

Oui! (cependant le prof nous a fait remarqué qu'il nécessitait des connaissances mathématiques, comme à chaque fois)

Enfin, bon, cela n'est pas non plus d'un niveau très élevé.... une équation différentielle d'oscillateur harmonique non amorti.

Au cas où tu y aurais accès, ce problème à une dimension est traité en détail dans le tome 1 de "Mécanique quantique" de Cohen-Tannoudji, Diu et Lalöe.

[invitef1bc0a6d]

Enfin, bon, cela n'est pas non plus d'un niveau très élevé.... une équation différentielle d'oscillateur harmonique non amorti.

Au cas où tu y aurais accès, ce problème à une dimension est traité en détail dans le tome 1 de "Mécanique quantique" de Cohen-Tannoudji, Diu et Lalöe.

Le problème c'est surtout que ces bases sont considérées comme acquises alors qu'elles ne le sont souvent pas... Du coup, un problème en engendre d'autres, etc.
Merci pour la référence, je vais essayer de me procurer ça, nous disposons d'une grande bibliothèque, ça devrait pouvoir se trouver!