Analyse fréquetielle non linéaire

[ABN84]

Bonjour,
les series de fourier permettent d'etudier dans le domaine frequentiel les systèmes dynamiques lineaires.
les series de volterra generalisent cette demarches aux dynamiques non lineaires polynomiales.
il existe cependant d'autres non linearités non polynomiales notamment les trigonometriques (sin, cos, tan, tanh...) et les non linearités discontinues (signe, saturation, hysterisis,...).
existe-t-il de nos jours des methodes d'analyse frequentielle de ce type de non linearités?
j'espère avoir été clair.
merci
-----

[doul11]

bonjour,

une transformé de Fourrier ne permet pas d'avoir le spectre de n'importe quel signal (y compris non périodique) ?

[ABN84]

bonjour,
Si, mais ça n'as rien à voir avec la linearité ou non.
L'idée est la suivante: connaissant le spectre (fourier) de la sortie pour une entrée donnée, il est possible de connaitre la sortie pour toute autre entrée du fait du principe de superposition applicable aux dynamiques lineaires. Ex: si je multiplie l'entrée par 2 la sortie est egalement multipliée par 2 pour une dynamique lineaire.
pour une dynamique quadratique, la sortie est multipliée par 4, et là ce n'est plus la transformée de fourier qui permet d'en rendre compte mais celle de volterra.
idem pour les dynamiques cubiques, quartiques....
Jusque là, ça va. par contre, il existe d'autres dynamiques qui font apparaitre des termes trigo et discontinus. et je me demande que outil mathematique permet d'etudier leur comportement fréquentiel

[doul11]

ok je comprends

a part avec des méthodes numérique je ne voit pas, surtout si c'est discontinus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ABN84]

Bonjour,
C'est biensur des methodes numeriques.
j'essaie de reformuler autrement:
avec fourier/ou laplace, on peut passer les operateurs addition, integration, derivation du domaine temporel au fréquentiel et avoir ainsi une représentation frequentielle d'une dynamique lineaire.
avec volterra, on peut en plus passer la multiplication au domaine fréquentiel pour étudier les dynamiques plynomiales non linéaires.
Existe-t-il des transformées permettant de passer des opérateurs discontinus et des opérateurs trigonometriques du domaine temporel au fréquentiel?

[doul11]

on c'est mal compris

quand je parlais de méthode numérique j'avais en tête l'utilisation de la "force brute" non pas l'application d'une méthode numérique a une méthode analytique (ex : FFT), toi ce que tu cherche c'est une méthode analytique (calculé par méthode numérique)

ce que je pensais consisté a programmer la fonction de transfert, lui appliquer une gamme de fréquences et tracer la réponse fréquentielle.

aurai-tu quelques exemple de fonctions de transfert ?

[ABN84]

ce que je pensais consisté a programmer la fonction de transfert, lui appliquer une gamme de fréquences et tracer la réponse fréquentielle.

oui, toute la question est comment définir cette réponse fréquentielle. Si elle ne rends pas compte de la non linéarité, elle n'est pas exploitable.
Ex:
raideur linéaire: F=800*(x-y)
Raideur quadratique: F=800*(x-y)+150*(x-y)^2
Raideur quadratique avec jeu: F= 800*(x-y)+150*(x-y)^2 si |x-y|>0.5 ; F=0 si |x-y|<0.5

[doul11]

Raideur quadratique avec jeu: F= 800*(x-y)+150*(x-y)^2 si |x-y|>0.5 ; F=0 si |x-y|<0.5

ça ne me pose pas de problèmes pour coder ce genre de fonction, dans ce genre de problèmes le plus dur est d'avoir l'expression de la fonction et les conditions, le reste n'est "que" de la programmation. en fait d'un point de vue informatique que la fonction soit continue ou pas, linéaire ou pas ça ne change pas grand chose, c'est bien là toute la puissance de l'outil informatique.


je veut bien essayer de faire un programme en C/C++ avec interface graphique Qt, déjà pour voir si j'en suis capable et pour la curiosité de voir ce que ça donne, pour le début je vais faire un mode analyse : spectre de sortie pour une gamme de fréquences en entrée, si ça marche je fais un mode analyse d'un signal réel (n harmoniques : fréquence, amplitude, phase).

[doul11]

bonsoir,

je veut bien essayer de faire un programme en C/C++ avec interface graphique Qt,

hé hé doul y chôme pas !

bon c'est plutôt vite fait, mais ça marche, il manque encore quelques modification importantes (affichage des échelles, curseurs pour faire des mesures, ...)

en deuxièmme pièce jointe : en voila une bien non-linéaire et non continue

screenshot2.png
screenshot1.png

[ABN84]

Salut Doul,
Bravo, surtout en si peu de temps. désolé pour le retour de réponse.
Je persiste à dire que la FFT ne permet pas de rendre compte des non linéarités. d'autant plus que la FFT est par définition linéaire.
En regardant le deuxième graphe, je peux me dire qu'il s'agit d'un integrateur et pas d'un système non linéaire.
En fait la question est la suivante: est ce que à partir de la courbe tracée, on arrive à dire si le système est linéaire ou non et caractériser aussi bien la partie linéaire et la partie non linéaire?
pas avec une transformée linéaire (Fourier et Laplace)
En regardant le premier système et sachant qu'il est linéaire, je vois clairement que c'est un passe bas de premier ordre.
De meme si le système non linéaire etait polynomial, juste en regardant la réponse fréquentielle non linéaire, je peux caractériser chaque dynamique (Linéaire, quadratique, cubique...)
Le problème se corce pour les non linéarités trigo et discontinues

[doul11]

bonsoir ABN84

Bravo, surtout en si peu de temps.

bof c'est pas grand chose, il manque encore pas mal de choses a ajouter pour avoir un truc potable. la semaine prochaine je suis en congés, j'essayerais de rajouter quelques fonctions.

Je persiste à dire que la FFT ne permet pas de rendre compte des non linéarités. d'autant plus que la FFT est par définition linéaire.

oui bien sur, mais on peut quand même l'utiliser : signal temporel -> FTT -> spectre -> traitement non linéaire -> ...

En regardant le deuxième graphe, je peux me dire qu'il s'agit d'un integrateur et pas d'un système non linéaire.

la deuxième réponse est définie comme :

En fait la question est la suivante: est ce que à partir de la courbe tracée, on arrive à dire si le système est linéaire ou non et caractériser aussi bien la partie linéaire et la partie non linéaire?
En regardant le premier système et sachant qu'il est linéaire, je vois clairement que c'est un passe bas de premier ordre.

je ne comprends pas ce que tu appelle linéaire ? un passe bas du premier ordre n'a pas une réponse en gain linéaire car sur une échelle log il y a une partie "plate", une courbe et une partie en pente affine, ce n'est donc pas linéaire, pire encore pour la phase puisque c'est une fonction trigonométrique.

[ABN84]

oui bien sur, mais on peut quand même l'utiliser : signal temporel -> FTT -> spectre -> traitement non linéaire -> ...

on est d'accord.

je ne comprends pas ce que tu appelle linéaire ?

je parle des systèmes linéaires: les systèmes qui répondent au principe de superposition: F(a+b)=F(a)+F(b)
autrement dit qui pour une exitation harmonique donnent une sortie harmonique de meme fréquence.
reprends le basse bas de premier ordre, tu l'excite par un sinus, sa sortie sera sinusoidale de meme frequence et d'amplitudes et de phase variable en fonction de la frequence.
si le système etant non lineaire, il aurait présenté des distosions harmoniques

la deuxième réponse est définie comme :

certes mais moi je parle d'ingenierie inverse. comment à partir des mesures, donc des courbes, remonter aux equations. à partir de l'allure de la courbe, il n'est pas erroné de penser qu'il s'agit d'une fonction de transfet 1/s

[Ludwig]

Bonjour,
les non linearités discontinues (signe, saturation, hysterisis,...).
existe-t-il de nos jours des methodes d'analyse frequentielle de ce type de non linearités?
j'espère avoir été clair.
merci

Salut,

Tout à fait clair,
Méthode du premier harmonique, construire d'abord la fonction descriptive, puis fourier.

Cordialement

Ludwig

[doul11]

bonsoir,

je parle des systèmes linéaires: les systèmes qui répondent au principe de superposition: F(a+b)=F(a)+F(b)
autrement dit qui pour une exitation harmonique donnent une sortie harmonique de meme fréquence.
reprends le basse bas de premier ordre, tu l'excite par un sinus, sa sortie sera sinusoidale de meme frequence et d'amplitudes et de phase variable en fonction de la frequence.
si le système etant non lineaire, il aurait présenté des distosions harmoniques

ok je comprends.

certes mais moi je parle d'ingenierie inverse. comment à partir des mesures, donc des courbes, remonter aux equations. à partir de l'allure de la courbe, il n'est pas erroné de penser qu'il s'agit d'une fonction de transfet 1/s

voila ce que je voudrais faire :

étape 1 : analyse spectrale du signal d'entrée et de sortie pour voir les distortions harmoniques et donc a quel point le système n'est pas linéaire (éventuellement éliminer certains modèles)

étape 2 : a partir du même signal d'entrée que le système inconnus, trouver, avec plusieurs modèles, la même forme du signal de sortie (avec un écart acceptable)

si on dépasse l'écart acceptable aucun des modèles n'est le bon.

étape 3 : a partir du signal d'entrée, du modèle choisit et du signal de sortie arriver a déterminer les paramètres du système inconnus.(toujours avec un écart acceptable)

si on dépasse l'écart acceptable le modèle n'est pas bon.

tout ça testé de façon automatique par la programme, selon les modèle qu'il connais et l'écart que l'on juge acceptable. en analysant finement l'écart entre les modèles et la réponse du système inconnus on pourrais peut être arriver a trouver que le système inconnus est composé de plusieurs fonctions de base, mais là c'est sur que ça se complique sérieusement et que sa demanderai beaucoup de travail.

[Ludwig]

bonsoir,



ok je comprends.



voila ce que je voudrais faire :

étape 1 : analyse spectrale du signal d'entrée et de sortie pour voir les distortions harmoniques et donc a quel point le système n'est pas linéaire (éventuellement éliminer certains modèles)

étape 2 : a partir du même signal d'entrée que le système inconnus, trouver, avec plusieurs modèles, la même forme du signal de sortie (avec un écart acceptable)

si on dépasse l'écart acceptable aucun des modèles n'est le bon.

étape 3 : a partir du signal d'entrée, du modèle choisit et du signal de sortie arriver a déterminer les paramètres du système inconnus.(toujours avec un écart acceptable)

si on dépasse l'écart acceptable le modèle n'est pas bon.

tout ça testé de façon automatique par la programme, selon les modèle qu'il connais et l'écart que l'on juge acceptable. en analysant finement l'écart entre les modèles et la réponse du système inconnus on pourrais peut être arriver a trouver que le système inconnus est composé de plusieurs fonctions de base, mais là c'est sur que ça se complique sérieusement et que sa demanderai beaucoup de travail.

Salut,

Ce dont tu parles, c'est lidentification,

Deux néthodes dites fondamentales,

1) Etude indicielle
2) Etude fréquentielle en général Bode

à ceci se rajoute toute une série de signaux test que tu peux mettre à l'entrée, suites binaires aléatoires, vitesse, accélération etc..

Cordialement

Ludwig

[doul11]

salut Ludwig

Ce dont tu parles, c'est lidentification,

je suppose que le problème majeur est de disposer de suffisamment de modèles ? car le programme lui même ne peut pas créer le modèle qui manquerais.

à ceci se rajoute toute une série de signaux test que tu peux mettre à l'entrée, suites binaires aléatoires, vitesse, accélération etc..

c'est bien ce que je pensais faire : toute une série de tests pour éprouver le modèle, niveau programmation c'est pas difficile une fois que le système fonctionne pour un signal, on le fait recommencer n fois pour n signaux test.

[ABN84]

je suppose que le problème majeur est de disposer de suffisamment de modèles ?

ça depends. dans le domaine temporel, il faut en effet disposer d'un modèle. ce qui peut poser problème des fois.
dans le domaine frequentiel il n'y en a pas besoin.

2) Etude fréquentielle en général Bode

exact, mais ça ne vaut que pour les systèmes lineaires. bode n'est pas valable pour les systèmes NL vue qu'un tel système agit non seulement sur l'amplitude et la phase mais egalement sur la frequence.

[ABN84]

Bonjour,

Tout à fait clair,
Méthode du premier harmonique, construire d'abord la fonction descriptive, puis fourier.

oui, c'est une façon de faire mais je cherche des outils plus poussés que ça.
Revenons, si vous voulez au post initial. Il existe un outil plus generic que Fourier permettant d'etudier une classe des systèmes non linéaires en generalisant la tranformée de Fourier aux Sysntèmes NL: les series de Volterra. Le concept est plutot intuitif: voici ce dont je parle: http://wwwtw.vub.ac.be/elec/Papers%2...20Volterra.pdf
La question que je me posais c'est s'il existe, de la meme facon que volterra a généralisé les outils d'etude des systemes linéaires aux systèmes non linéaires polinomiaux, des outils d'etude ou à défaut des tentatives de genraliser ces outils aux systèmes non linéaires non polynomiaux (discontinuités et trigo).