algèbre linéaire 3 Analyse matricielle
bonjour tout le monde j ai une petite question pour vous sur laquelle je planche...
soit A une matrice carré n*n reelle ou complese soit
tr(A) sa trace ( rappele tr(A)= Somme ai,i donc diagonalisation)
montrere que tr(A) et aussi egale a la somme des valeur propre de A... merci pour tout petite renseignement.
Salut,
Si tu trigonalisais A sur C ?
trigonaliser A sur C... heuuuu... je voit pa tro ta matrice C la????
C c'est le corps des complexes, j'ai eu la flemme de mettre la double barre !
est tu sur de ton énoncé? j' ai une reponse mais celle ci s'applique uniquement au matrice diagonal mais bon dans ce cas c'est plutot évident, je m'explique:
en utilisant le th qui pause que: Les racines du polynome caractéristique d'un endomorphisme sont les valeurs propres de cet endomorphisme .
et contenue du fait que:
polynome caractéristique = det(endomorphysme – valeur propre*idE) = det(matrice associé a l'endomorphysme – valeur propre*In) , ceci a pour conséquence directe que:
Si, dans une base d'un espace vectoriel de dimension n (finie), la matrice associé à l'endomorphisme est triangulaire alors les valeurs propres de l'enomorphisme sont les éléments de la diagonale de sa matrice.
Je me suis quand meme penché sur ton pb en cherchan a démontrer par récurence ce que tu avance mais bon je ne pense pas que ce soi la bonne méthode... ceci dit bon courage @++
bonsoir,
la définition de la trace n'implique pas la diagonalisation.on a la définition pour toute les matrices,et on peut pas diagonaliser toute les matrices sinon,pour avoir la trace comme étant la somme des valeures propres faut trouver une base ou les éléments de la diagonale sont les valeures propres,ça revient à trouver une matrice de passage par éxemple trigonalisé.
j'ai une petite idée: (je sais pas ce que tu fait comme étude mais pour moi petit spé TSI la réduction ce limite au matrice carré d'ordre 2 et 3 donc je n'irais pas j'usqu'a nce qui me semble d'ailleur assez chaud a fair ) la démonstration se base sur le polynome caractéristique de ta matrice et ce rapeller d'un vieux truc de première, regarde:
si on cherche deux nombres dont on connait la somme S et le produit P, ces deux nombres quand ils existent sont les racine de l'équation: x^2-Sx+p=0,
et je pense que tu connai la formule qui donne le polynomme caractéristique d'une matrice carré d'ordre 2 qui est :
P(x) = x^2 – tr(A).x + det(A) par annalogie tu obtient ton résulta, mais fait gaffe la trace de A et le déterminant de A ne sont égaux respectivement
à la somme et au produit des valeurs propres que si P est scindé (c'est toujour vraie dans le corp des complexe)
Je crois qu'on s'égare car on ne connait pas l'état des connaissances actuelles de notre auteur ...
Tu as fait de la diagonalisation/trigonalisation ?
Si oui, tu sais que toutes les matrices (réelles ou complexes) sont trigonalisables sur C (le corps des complexes). Ca veut dire qu'il existe une matrice P (peut-être complexe) telle quesoit triangulaire. En plus, sur la diagonale de cette matrice apparaissent forcément les valeurs propres (peut-être complexes) de A.
Je te laisse continuer.
Re : algèbre linéaire 3 Analyse matricielle
bon g travailler un peux c pour sa que j aimis le tps a repondre g trouver des point qui vont pouvoir nous faire progresser deja la matrice et bien de n*n ensuite oui g apirs les matrice tringulaire donc la trigonalisation... voici ce que j ai pu trouver...
ici h et lembda...
p(h) = det(A -h*Id) = somme(-1)esp(teta)(A -h*Id)(teta1,1) * (A - hId)(teta2,2)...(A - hId)(tetan,n): (1)
par explication....
(somme sur toutes les permutation teta de 1,2,....,n de "(-1) puissance la signaure de la permutation" fois le produit de coefficients pris dans les colonnes d indice 1,2,...,n mais dans les ligne teta1,teta2,...tetan d indice tous different) et donc p(h) "commence" par p(h)= (-h)^n + un certain coefficient (-h)^n-1+ .... et pour trouver ce coefficeint on doit dire que les termes en h^n et h^n-1 dans p(h) proviennent uniquement du therme (a1.1-h)(a2.2-h)...(an.n-h) de la somme du second membre de (1) car tous les autres termes ne contribuent " qu aux" h^k avec k<=n-2 puisque leur facteur comportent au moin deux facteur de la formes ai.i-h en moins ; or le terme en h^n dans (a1.1 -h)(a2.2 -h) ...(an.n -h)est (-h)^n et le terme en h^n-1 dans (a1.1 -h)(a2.2 -h) ....(an.n -h) est (-h)^n-1(a1.1+a2.2+...+an.n) ( dans le produit (a1.1 -h)(a2.2-h)...(an.n-h), on prend n-1 facteur -h provenant de (ai.i -h) et une constante aj.j et on somme sur toutes les possibilités;
d autres part les valeur propres etan h1,h2,....,hn
p(h)=(h1-h)(h2-h)..(hn-h),
polynome qui pour une raison ( le meme que précedemment) commece par (-h)^n + (-h)^n-1(h1+h2+....+hn) et donc :
a1.1+a2.2+....+an.n = h1+h2+h3+.....+hn
voila alors ets ce ke sa vous va????
