[Analyse] Continuité d'une fonction linéaire

**invited5b2473a** · 12/05/2007, 00h10

Bonsoir à tous,

voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité. Soit H un espace de Hilbert et A un endomorphisme de H tel que <x, Ay > = <Ax, y> pour tout x, y dans H.
Montrer que A est continue.

Bon courage,....

invitedef78796 · 13/05/2007, 11h18

Bonjour,

Pour resoudre cet exercice il faut utiliser le theoreme du graphe ferme (une application lineaire d'un Banach E dans un Banach F est continue si et seulement si son graphe est ferme).

Cordialement,

**invited5b2473a** · 14/05/2007, 08h14

Effectivement, il faut utiliser ce théorème. La question est maintenant de savoir comment.

invitedef78796 · 14/05/2007, 11h11

Bonjour,

Et bien allons y : vérifions que le graphe G de A est fermé (dans $\text{[math]}$ et pour la norme infinie).

Soit $\text{[math]}$ une suite convergente de G et $\text{[math]}$ sa limite.

Regardons $\text{[math]}$

Le premier terme $\text{[math]}$

Le second terme $\text{[math]}$

Un passage à la limite prouve que $\text{[math]}$ .

Cordialement

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