seconde quantification

[invitee09fc305]

Bonjour,

j'ai jeté un coup d'oeil sur le forum mais je n'arrive pas à trouver exactement une réponse à ma question. C'est à propos du terme seconde quantification.

Toute la physique est contenue dans la géométrie d'un espace de hilbert, elle mêmeétudiable à travers une algèbre d'opérateurs qui vérifient la relation de commutation canonique [A,B]=1.

En représentation R ie schrodinger à une dimension, on prend les éléments de l'algèbre vérifiant [A,B]=-ih (il s'agit d'une simple combinaison linéaire de ceux vérifiant [,]=1).

On a alors A|x>=x|x> et B s'identifie à la dérivation par rapport à x. L'unicité de ces opérateurs dans cet espace L²(R) vient du théorème de Stone Von Neumann.

Si on garde ceux vérifiant [,]=1 on obtient simplement les opérateurs création/annihilation, et c'est les éléments vérifiant cette RCC plutot que celle [,]=-ih que l'on va garder pour formuler notre théorie quantique à N corps.

Ai-je bien compris jusque là? sinon merci de me corriger.

Ma principale question concerne le terme de seconde quantification: je ne vois pas pourquoi il est incorrect. Par exemple: on prend l'équation E²=p²+m^4, en la quantifiant dans la représentation des x on obtient l'équation de Klein-Gordon.

Cependant on la requantifie une deuxième fois en passant de la fonction d'onde aux opérateurs création/annihilation en représentation position?

Merci pour votre aide.
-----

[invitee09fc305]

j'ai l'impression que je suis le laissé pour compte de ce forum, je reçois des réponses une fois sur 100!!
plz help!!

[stefjm]

j'ai l'impression que je suis le laissé pour compte de ce forum, je reçois des réponses une fois sur 100!!
plz help!!

En une heure, ceux qui savent répondre n'ont pas encore eu le temps de passer...

[coussin]

j'ai l'impression que je suis le laissé pour compte de ce forum, je reçois des réponses une fois sur 100!!
plz help!!

J'ai lu ton message : j'ai pas vu ou compris ta question…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee09fc305]

ok, désolé je vais essayer d'être un peu plus précis.

Ma première question est de savoir si j'ai raison d'affirmer que:

Je crois comprendre que la physique dans le formalisme quantique est codée dans la linéarité (utilisation d'un C-espace vectoriel L² abstrait) et de la donnée axiomatique d'une algèbre d'opérateurs physiques, à 2 générateurs, sur cet espace (on a des RCC:relations de commutations canoniques [A,B]=-ih qui au fait portent sur les 2 générateurs des opérateurs, c'est les relations de commutations de Weyl qui portent sur les opérateurs en eux mêmes).


Le théorème de Stone-Von Neumann affirme que les représentations de ces relations dans L²(K) sont équivalentes pour tout espace K. (K peut-il être quelconque?)


Donc pour moi le principal c'est de déterminer tous les K pour lesquels on a cette équivalence, et après en fonction du problème physique on choisira le K adapté.

A K fixé, il faut choisir deux éléments de l'algèbre A et B et vérifiant la relation [,]=-ih, et on choisit une base propre de A cad {|a>} telle que : A|a>=a |a>. La structure de l'algèbre fait que nécessairement B est la transformée de fourier de A (?), et donc on obtient vecteurs propres et états propres de B transformés de fourier de ceux de A.

Tout autre générateur peut être obtenu grâce à ces deux.

L'exemple classique est K=R (représentation de schrodinger): A=Q et B=P.
Auriez-vous d'autres exemples d'espaces plus bizarres pour que je comprenne mieux?

Pour ce même K=R, on traite le problème de l'oscillateur harmonique et on trouve que travailler avec l'algèbre des opérateurs création/annihilation est meilleur:

[a,a*]=1. En gros on a juste changé les générateurs de notre groupe d'opérateurs.

Leur gros avantage par rapport à deux générateurs vérifiant [,]=-ih c'est que dans une base associée à N=a*a, on perçoit beaucoup mieux la quantification de l'énergie car H=N+1/2 et les valeurs propres de N font des sauts d'une unité (cf.relation de commutation de a et a*), contrairement au fait de vouloir trouver les valeurs propres de H en gardant X et P comme générateurs.

C'est cette principale propriété qui fait que l'on préfère reformuler la MQ avec les opérateurs de création/annihilation car la quantification de l'énergie est beaucoup plus immédiate, et l'approximation gaussienne de tout champ classique conduira par quantification à envisager l'existence de quanta d'énérgie pour décrire les excitations du champ.

J'aimerais déjà avoir un avis là dessus avant de poursuivre sur le problème de klein-gordon.