S'il vous plaît aider

[invite6b94c7a6]

resodre cette equation
l'éqation des ondes
trouver u(x,t)

les données

d2 u/dt2 (x,t) = c2 d2u/dx2 (x,t)
u(x,t) = u(l,t)=0 quel que soit t
u(x,o) = f(x) x apartien [0,l]
du/dt (x,0) = g(x)

F(0) = f(l) = 0
g(0) = g(l) = 0
-----

[Thibaut42]

Bonjour,

Je te conseille d'aller faire un petit tour sur la charte du forum.

1) titre explicite
2) bonjour/merci
3) on n'est pas la pour faire tes exercices. Développe un peu plus et dis nous ce qui te bloque.

[invite6b94c7a6]

Bonjour,

Je te conseille d'aller faire un petit tour sur la charte du forum.

1) titre explicite
2) bonjour/merci
3) on n'est pas la pour faire tes exercices. Développe un peu plus et dis nous ce qui te bloque.

Rappelle que je sais, mais je veux votre aide et me donner au moins une idée pour résoudre et merciiii a la vance

[Lumiere11]

salut : la solution est sous la forme :
u(x,t)=C.cos(wt+k.x) avec C une constante.

d²u/dt²=(1/v²).d²u/dx². dans ce cas la vitesse de propagation est v=w/k.
en tout cas c'est la forme générale , dans le cas d'une corde la vitesse est fonction de la tension de la corde T.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Cette équation est l'équation de d'Alembert.
On montre que n'importe quelle fonction f(ξ) est solution à la seule condition que
ξ = t ± a x.
En physique, comme on peut décomposer toute fonction "sage" en somme de fonctions sinusoïdales, on choisit la fonction cos(ω t ± kx). La solution sera une somme de fonctions de ce type. Dans votre cas vous devez déterminer ω, k et le signe + ou -, à partir des conditions que l'on vous impose.
Au revoir.

[Lumiere11]

salut
oui c'est ca .

a bientot

[legyptien]

En physique, comme on peut décomposer toute fonction "sage" en somme de fonctions sinusoïdales, on choisit la fonction cos(ω t ± kx).

Bonjour,

Par sage, faut il comprendre périodique ? Parce que d'après ce que j'ai compris, une fonction NON périodique ne peut se décomposer en une somme de sinusoides. Je me trompe ?

Merci

[mimo13]

Salut,

Par sage, faut il comprendre périodique ? Parce que d'après ce que j'ai compris, une fonction NON périodique ne peut se décomposer en une somme de sinusoïdes. Je me trompe ?

Quand la fonction n'est pas périodique, on utilise la transformée de Fourier.

Transformée de Fourier

[legyptien]

Salut,



Quand la fonction n'est pas périodique, on utilise la transformée de Fourier.

Transformée de Fourier

Il me semblait que la TF d'une fonction non périodique était un spectre continu. Dans ce cas on a pas différents diracs dans le domaine fréquencielle qui représente chacunes une sinusoide.

Je suis en train de me demander que par "sage" il voulait peut être dire une fonction (un signal) à énergie finie. Si l'énergie est à énergie dans le temps, elle le sera dans le domaine fréquentielle (cf théorème PARSEVAL). A moins que sage soit une fonction continu... Bon c'est un détail, pas grave...

[LPFR]

Bonjour.
"Sage" était une précaution verbale contre des mathématiciens.
Dans ce cas ça conserne surtout la continuité et la dérivabilité.
Par contre on n'a pas besoin que la fonction soit périodique. Comme l'a dit Mimo13, pour des fonctions non périodiques on obtient toujours une somme de sinusoïdes mais cette fois ce n'est pas une somme pour des valeurs de fréquence discrètes mais une somme sur un spectre continu.
Par exemple du bruit. C'est une fonction non périodique. Cela n'empêche pas que ce signal peut se propager en l'air ou sur une ligne de transmission, tout en suivant l'équation de d'Alembert. On peut même le faire passer par des filtres passe bas, haut, ou passe bande.

Et puisque on parle de fonctions sages. Savez-vous ce qui arrive quand on "reconstitue" le signal obtenu en additionnant les termes du développement en série de Fourier d'un signal carré?
Vous verrez la réponse ici.
Ce qui est navrant est que l'on fait faire le calcul du développement aux étudiants mais on oublie de leur dire que le résultat n'est pas bon.
Au revoir.

[legyptien]

Bonjour.
"Sage" était une précaution verbale contre des mathématiciens.
Dans ce cas ça conserne surtout la continuité et la dérivabilité.
Par contre on n'a pas besoin que la fonction soit périodique. Comme l'a dit Mimo13, pour des fonctions non périodiques on obtient toujours une somme de sinusoïdes mais cette fois ce n'est pas une somme pour des valeurs de fréquence discrètes mais une somme sur un spectre continu.
Par exemple du bruit. C'est une fonction non périodique. Cela n'empêche pas que ce signal peut se propager en l'air ou sur une ligne de transmission, tout en suivant l'équation de d'Alembert. On peut même le faire passer par des filtres passe bas, haut, ou passe bande.

Et puisque on parle de fonctions sages. Savez-vous ce qui arrive quand on "reconstitue" le signal obtenu en additionnant les termes du développement en série de Fourier d'un signal carré?
Vous verrez la réponse ici.
Ce qui est navrant est que l'on fait faire le calcul du développement aux étudiants mais on oublie de leur dire que le résultat n'est pas bon.
Au revoir.

Alors justement il y a une chose qui me gene. Je comprends tout ce qui a été dit. Mais je distingue (peut etre à tort) la reconstitution d'un signal dont le spectre est discontinu (cas 1) de la reconstitution d'un signal dont le spectre est continu (fonction non periodique) (cas 2).

La raison est que dans le cas 1, on prend les harmoniques de plus heutes valeurs et on "oublie" celle pour laquelle on considère qu'il y a "peu" de contribution. On sait que plus on monte en frequence, plus les harmoniques diminuent.

CAs 2: Dans ce cas, comment on ferait pour reconstituer le signal. Vous me direz surement qu'on approxime le spectre continu en fonction escalier (un peu comme ce qu'on fait quand on calcul une integrale). Si on fait ca et qu'on ajoute tout les sinus correspondant à tout les paliers de l'escalier alors on obtiendra le même résultat que si on avait un spectre composé de Diracs qui sont chacun centrés au milieu de chaque palier. Or dans le cas "spectre composé de Diracs qui sont chacun centrés au milieu de chaque palier" cela correspond à un signal temporel qui est periodique (un échantillonage du spectre continu correspond à une périodisation du signal temporel).

Bref je suis d'accord qu'un signal non périodique peut être décomposable en somme (continue) de sinus mais ce qui me gene c'est que quand on reconstitue le signal (en "discrétisant" le spectre) on obtient un signal périodique (une discrétisation du spectre revient à un échantillonage et echantilloner en fréquence revient à périodisé le signal temporel). Il y a un truc qui cloche dans mon raisonement.

Je crois que quand je dis que discrétiser c'est échantilloner, c'est ca qui est faux. Parce qu'il me semble que discrétiser est équivalent à échantilloner (multiplier par un peigne de Dirac) + une intégration.

Elle est là mon erreur ? (j'ai essayé d'être clair dans ce qui me gene mais c'est pas facile à décrire).

[legyptien]

En physique, comme on peut décomposer toute fonction "sage" en somme de fonctions sinusoïdales,

Mais une fonction carré (discontinu en temporelle) est décomposable en somme de sinusoides. Seulement la somme est infini ce qui a pour conséquence le phénomène de Gibbs car on est obligé de prendre un nombre fini de sinusoides pour la reconstitution. non ?

[invite6b94c7a6]

salut



merciii a vous


au revoir


a bientot

[LPFR]

Bonjour Legyptien.
Non. Le phénomène de Gibbs n'est pas du à une reconstitution incomplète. Quand vous augmentez le nombre d'harmoniques, vous "tassez les oscillations près des transitions, mais l'amplitude de l'overshoot tend vers une valeur limite (1,1... je crois). C'est bien illustré dans la dernière image de wikipedia
Le phénomène de Gibbs est du au fait qu'une fonction discontinue comme un signal carré n'est pas une "fonction" mais une "distribution". Et que la dérivée d'une distribution est égale à la dérivée dans le sens des fonctions plus un delta de Dirac multiplié par la valeur de la discontinuité (si mes souvenirs sont bons). Ce type de choses a donné lieu à la "théorie de distributions". J'ai eu un cours dont je garde très peu de souvenirs.

D'autre part, quand vous reconstituez incomplètement un signal "sage", le résultat est bon jusqu'à la fréquence à partir de laquelle vous vous êtes arrêté.

Comme vous dites, si on reconstitue un signal non périodique avec une somme discrète d'harmoniques, on rend le signal périodique. Mais la période est la distance entre les harmoniques utilisés. Si les harmoniques utilisés sont distants de 10 Hz, la périodicité du signal reconstitué sera de 10 Hz.
Au revoir.

[legyptien]

Bonjour LPFR,

Bonjour Legyptien.
Non. Le phénomène de Gibbs n'est pas du à une reconstitution incomplète. Quand vous augmentez le nombre d'harmoniques, vous "tassez les oscillations près des transitions, mais l'amplitude de l'overshoot tend vers une valeur limite (1,1... je crois).

Si on prend un signal carré (c'est pas une fonction) périodique en temps. Son spectre sera discret et infini en terme de nombre d'harmoniques. Jusqu'à là on est d'accord ? Moi je pensais que le fait de reconstituer à partir d'un nombre fini d'harmoniques impliquait qu'il y a un phénomene de Gibbs. Donc comme c'est faux, si je comprends bien, MEME si je reconstitue le signal en prenant l'infinité d'harmoniques qui représente mon spectre alors j'aurai quand même des especes de Dirac au niveau des transistions.

Mais tout ca, ca veut dire qu'un signal carré périodique n'est pas décomposable en somme de sinusoides. Parce que si c'était le cas alors en reconstituant le signal à partir d'un nombre INFINI d'harmonique, je devrais retrouver mon signal carré (sans phénomène de Gibbs).

fonction discontinue comme un signal carré n'est pas une "fonction" mais une "distribution"

J'arrive pas à distinguer une fonction discontinue d'une distribution. Je veux dire je connais bien la distribution de Dirac utilisée en traitement du signal mais toutes les distributions tendent elles vers l'infini ? (je pense pas). Pour moi un signal carré est une fonction mais elle est discontinue. Pourquoi ce serait une distribution ?

est ce qu'on peut considérer qu'à l'endroit de la transistion d'un signal carré (là où on a la discontinuité) on a une distribution ?

Comme vous dites, si on reconstitue un signal non périodique avec une somme discrète d'harmoniques, on rend le signal périodique. Mais la période est la distance entre les harmoniques utilisés. Si les harmoniques utilisés sont distants de 10 Hz, la périodicité du signal reconstitué sera de 10 Hz.

Ahhhh ca y est j'ai résolu mon problème lié à ce que j'avais dit. Si je discretise le spectre (continu) d'un signal non périodique et que la distance entre les échantillons tend vers 0 alors la période de périodisation du motif temporelle sera infini donc je me retrouverai avec un seul motif temporelle correspondant à mon signal carré non périodique.

Il me reste juste le problème du signal carré qui pour moi serait une fonction discontinu plutot qu'une distribution. Comment je peux distinguer une fonction discontinu d'une distribution ?

Merci Beaucoup !

[LPFR]

Re.
Ce que vous appelez "fonction discontinue" les mathématiciens l'appellent "distribution" ou "fonction généralisée". Jetez un coup d'œil au lien que je vous ai donné vers wikipedia..
Le δ de Dirac est une distribution, comme l'est un signal carré.

Et arrêtez d'essayer de me tirer plus d'informations sur les distributions, je vous ai déjà avoué tout ce dont je me souviens.
A+

[Amanuensis]

si je comprends bien, MEME si je reconstitue le signal en prenant l'infinité d'harmoniques qui représente mon spectre alors j'aurai quand même des especes de Dirac au niveau des transistions.

Non. La somme infinie est correcte. Si la discontinuité est en x=0, pour tout point x proche, |x|>0, la somme s'approche proprement de la bonne valeur avec suffisamment d'harmoniques. Donc en tout point de continuité la somme infinie est correcte.

Ce qu'il se passe est que le nombre d'harmoniques nécessaire pour "commencer la convergence" est d'autant plus grand que |x| est petit. Une sorte de phénomène de "bosse glissante", qui disparaît non pas quand on approche l'infini, mais seulement quand l'infini est "atteint". Ce qui n'a pas de sens pratique.

À mettre dans la liste des nombreux cas où il faut différentier l'infini potentiel ("on peut ajouter des harmoniques indéfiniment", approcher l'infini) et l'infini actuel ("on a additionné effectivement toutes les harmoniques", atteindre l'infini).

[stefjm]

Le δ de Dirac est une distribution, comme l'est un signal carré.

Imprécis. Je me permets de reformuler.

Le delta de Dirac n'est pas une fonction mais une distribution.
Un signal carré est une fonction (au sens mathématique, mais pas une fonction continue évidement). C'est aussi une distribution car toute fonction gentille (parce que là, j'ai aussi de grosse lacune...) en est une.

[LPFR]

Imprécis. Je me permets de reformuler.

Le delta de Dirac n'est pas une fonction mais une distribution.
Un signal carré est une fonction (au sens mathématique, mais pas une fonction continue évidement). C'est aussi une distribution car toute fonction gentille (parce que là, j'ai aussi de grosse lacune...) en est une.

Re.
Non.
Au sens mathématique, un signal carré est une distribution. Pas une fonction.
A+

[Amanuensis]

Re.
Non.
Au sens mathématique, un signal carré est une distribution. Pas une fonction.

Mais la fonction réelle qui à t associe -1 si la partie entière de t est paire, et 1 si elle est impaire, est une fonction.

[stefjm]

Re.
Non.
Au sens mathématique, un signal carré est une distribution. Pas une fonction.
A+

Parle-t-on bien de la même chose?
C'est continu par morceaux et ce n'est pas une fonction?
Je reconnais volontiers que je ne suis pas fort en maths, mais là, il faudrait me donner une explication plus fournie qu'une simple affirmation.

[LPFR]

Parle-t-on bien de la même chose?
C'est continu par morceaux et ce n'est pas une fonction?
Je reconnais volontiers que je ne suis pas fort en maths, mais là, il faudrait me donner une explication plus fournie qu'une simple affirmation.

Re.
Je ne peux pas vous donner d'explication plus fournie. Le seul cours de distributions (un semestre) que j'ai subi date d'un demi-siècle (à 1 ou 2 ans près). Je vous conseille de lire l'article de wikipedia.

Un signal carré n'est pas une fonction car il y a des endroits ou elle n'est pas dérivable. Par contre elle est intégrable. Ça fait d'elle une distribution.
En particulier, la fonction de Heaviside est une distribution. Et comme un signal carré est une somme de fonctions de Heaviside décalées, un signal carré est une distribution.
A+

[stefjm]

Un signal carré n'est pas une fonction car il y a des endroits ou elle n'est pas dérivable. Par contre elle est intégrable. Ça fait d'elle une distribution.

Oui pour la distribution mais oui aussi pour la fonction.
Toute fonction n'est pas forcément dérivable.
Pour moi, une fonction à valeur dans R, est une application qui à tout nombre d'une partie de l'ensemble des nombres réels, associe un et un seul nombre réel.

La fonction carré respecte cela. (pour la discontinuité, on choisit arbitrairement en haut ou en bas.)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...le_r%C3%A9elle

En particulier, la fonction de Heaviside est une distribution. Et comme un signal carré est une somme de fonctions de Heaviside décalées, un signal carré est une distribution.

Une distribution ET une fonction.

J'ai l'impression que votre dérive mathématique prend le pas sur votre instinct de physicien.

Pourquoi voulez-vous qu'une fonction soit forcément dérivable?

Vous avez réussi à me faire douter mais je retourne à ma certitude.
Cordialement.

[legyptien]

Une sorte de phénomène de "bosse glissante", qui disparaît non pas quand on approche l'infini, mais seulement quand l'infini est "atteint". Ce qui n'a pas de sens pratique.

À mettre dans la liste des nombreux cas où il faut différentier l'infini potentiel ("on peut ajouter des harmoniques indéfiniment", approcher l'infini) et l'infini actuel ("on a additionné effectivement toutes les harmoniques", atteindre l'infini).

Donc les bosses au niveau de la discontinuité viennent du fait que dans la pratique on ne peut pas prendre une infinité d'harmoniques ?

[legyptien]

Prenons la fonction valeur absolue de x, elle est pas dérivable en 0 et pourtant elle est intégrable.

[Amanuensis]

Donc les bosses au niveau de la discontinuité viennent du fait que dans la pratique on ne peut pas prendre une infinité d'harmoniques ?

Oui. Les overshots existent pour toute somme d'un nombre fini d'harmoniques. Ils ne disparaissent que si l'infini est atteint, sans tendre vers 0 à l'infini !

[legyptien]

Oui. Les overshots existent pour toute somme d'un nombre fini d'harmoniques. Ils ne disparaissent que si l'infini est atteint, sans tendre vers 0 à l'infini !

Merci bien

[stefjm]

Oui. Les overshots existent pour toute somme d'un nombre fini d'harmoniques. Ils ne disparaissent que si l'infini est atteint, sans tendre vers 0 à l'infini !

Dans ce genre, j'avais étudié la stabilité des approximations rationnelles d'un retard pur.
Au delà d'un certain ordre, elles sont toutes instables alors que le retard est stable.

Il faut atteindre l'infini pour avoir la stabilité.

J'en avais causé là avec Ludwig dans l'indifférence générale.

http://forums.futura-sciences.com/ph...etard-pur.html

Cordialement.