Groupe U(1) et électromagnétisme

[invitec97d6ea0]

Bonjour !

J'ai lu que les lois de l'électromagnétisme (i.e. les équations de Maxwell) obéissait à une symétrie liée au groupe U(1). Je pensais, d'après ce que j'ai lu sur un site de l'ENS, que ça signifiait que si je multipliait mon champ (E,B) par un complexe de module 1 (ce qui ne fais que le déphaser), le champ résultant obéissait toujours aux équations de Maxwell.

Dans le cas de l'électrodynamique quantique, on impose que la théorie soit invariante par les transformations de jauge du groupe U(1). En d'autres termes, si dans chaque point de l'espace-temps on multiplie le champ décrivant les électrons par n'importe quel nombre complexe de module égal à 1, les équations de la théorie restent les mêmes. Pour satisfaire ces exigences, il faut introduire un champ supplémentaire, le champ de jauge U(1). Ce dernier est exactement le champ qui obéit aux équations de Maxwell de l'électromagnétisme, il décrit donc les photons.

Mais là sur wikipédia je lis :

Le premier cas connu de symétrie locale est celui de l'électromagnétisme. En effet les équations de Maxwell sont inchangées lorsqu'on change simultanément le potentiel électrique par la dérivée par rapport au temps d'une fonction arbitraire et qu'on change le potentiel vecteur par le gradient de cette même fonction. Si cette fonction varie selon le temps et l'espace alors en chaque point on effectue bien une transformation différente. Pourtant les équations restent inchangées et les conclusions physiques restent les mêmes. La fonction arbitraire servant à construire ces transformations paramétrise le groupe de symétrie locale de l'électromagnétisme qui est notée mathématiquement

Pour la fonction arbitraire tout va bien, il suffit d'écrire V'=V+df/dt et A'=A+gradf. Mais je vois pas encore le lien entre prendre une fonction arbitraire de l'espace et le groupe U(1).

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ??

Merci
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[invite8ef897e4]

Bonjour,

Mais je vois pas encore le lien entre prendre une fonction arbitraire de l'espace et le groupe U(1).

Comme dans la premiere citation, la fonction arbitraire que vous notez f est la phase de la fonction d'onde de l'electron. En chaque point de l'espace-temps, on doit avoir la liberte de choisir une origine arbitraire pour mesurer la phase des fonction d'onde. Comme c'est une fonction sur le cercle unite dans le plan complexe, on obtient bien le groupe U(1).

Cependant, une fois que l'on a introduit cette phase arbitraire, on a introduit une dependance supplementaire dans le terme cinetique du lagragien, c'est a dire que l'on a non seulement change le champ mais aussi ses derivees. Il se trouve que (et c'est parfois considere comme le miracle des theories de jauge) cette dependance supplementaire est precisement annulee par le potentiel vecteur de l'electromagnetisme, c'est a dire que cela genere les bonnes transformations de jauge pour le potentiel vecteur (celle que vous avez ecrites). En postulant donc une symetrie (invariance de jauge), on a genere une interaction !

[albanxiii]

Bonsoir,

Vous trouverez des éléments de réponse très clairs et très complets dans le cours de rayonnement quantique d'Alain Laverne :

http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/

(descendre, c'est presque en bas, sous Théorie Quantique des Champs, Rayonnement Quantique (1994)).

De mémoire, cela se trouve dans le chapitre Prelude ou alors Equation de Schrodinger...

[invitec97d6ea0]

Merci pour ses réponses.

on a introduit une dependance supplementaire dans le terme cinetique du lagragien

Le problème c'est que je ne sais pas (encore) manipuler le lagragien qui correspond à l'électromagnétisme.

Mais j'ai imprimé le cours que albanxiii m'a indiqué et qui devrait remédier à cette lacune .

Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]