Modélisation du C60 : mécanique quantique

[invite2b0e0324]

Bonjour à tous,

Je viens ici poser une petite question de modélisation; dans le cadre d'un problème de mécanique quantique, je dois modéliser le potentiel auquel sont soumis les électrons dans une molécule de C60 footballène; pour cela, je suis invité à le modéliser sous la forme d'un puits infini à symétrie centrale, compris entre les rayons r-a et r+a, a étant un paramètre a régler et r le rayon caractéristique de la molécule.

Seulement voilà, comment puis-je modéliser ce potentiel?

Une approche classique m'inciterait à calculer les potentiels electrostatiques générés par les noyaux des 60 atomes de Carbone, par exemple en considérant que toutes les charges se trouvent au centre de la molécule (Maxwell Gauss, du moins pour le potentiel local à la surface extérieur de la molécule) ; mais manifestement, cela ne marche pas dans la sphère, et ne mène pas un potentiel à symétrie centrale.
Auriez vous une suggestion à me faire? Est ce que mon approche est trop "classique" pour fonctionner?

Merci d'avance de votre aide!
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne comprends pas où est votre problème: on vous donne la forme du puits de potentiel que vous devez utiliser: une coquille sphérique de rayon moyen 'r' et d'épaisseur 2a.
Vous n'avez pas à calculer des potentiels électrostatiques. Ce potentiel est zéro partout en dehors de la coquille et infini dans l'épaisseur de la coquille. Ou l'inverse: zéro dans la coquille et infini ailleurs.
C'est à dire que les électrons sont restreints à rester dans l'épaisseur de la coquille et que la condition de bord est que la fonction d'onde est nulle pour r+a et r-a.
C'est la généralisation du puits carré infini monodimensionnel classique à trois dimensions.
Au revoir.

[invite2b0e0324]

Bonjour,
A vrai dire, l'énoncé m'invite, quelques questions plus tard, à "supposer que le puits est un puits plat", ce qui me laisse penser que le potentiel dans la coquille sphérique n'est pas constant et que le puits à une "forme" particulière... d'ou ma question initiale....
Merci de votre aide.
Au revoir

[invite2b0e0324]

Bonjour,

Je viens de passer ma matinée sur le sujet et je vous avoue que je suis très sceptique....
En admettant que je peux modéliser ce problème à l'aide d'un puits infini, de valeur V=0 par exemple à l'intérieur de la coquille sphérique.

Je montre ensuite que H, L² et Lz commutent et que je peux rechercher des états propres communs (c'est uniquement du à l'invariance par rotation du potentiel à inclure dans H).

ensuite j'écris l'équation de Schrodinger pour la partie radiale de la fonction d'onde:


La résolution m'amène alors vaguement une quantification de la forme

Mais j'ai du mal à me convaincre de ça.... Auriez vous une indication ou un commentaire à faire sur cette résolution?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e083ab]

Coucou,

Je viens de lire ton message. Nous avons donc le même DM à faire pendant les vacances et le même prof de PC Pour ce qui est de ta question, je suis moi aussi perplexe. Dans le doute je mettrais potentiel infini sur les côté et nul dans la coquille (je sais qu'il n'est pas plat, mais sinon je suis un peu perdue).

Dans le cours, on a pris le potentiel coulombien pour l'atome d'hydrogène (V=-e.e/r) donc j'avais pris celui là. Quand j'avais écrit le potentiel effectif, j'avait rajouté le terme provenant du moment cinétique (avec les l) et après ils te demandent d'approximer à l'ordre zéro. Dans mon potentiel effectif, j'avais donc deux termes constants (un terme -e.e/r0, et un terme en 1/(r0/r0)) mais après le terme e n'intervient pas dans l'expression de l'énergie qu'ils demandent. Pour moi, ça veut dire qu'il faut "supprimer" ce terme du potentiel.

Bref, je suis un peu perdue comme toi. je pense que je vais écrire un mail au prof de PC. A tout hasard, aurais-tu fait la dernière question de l'exercice 2?

Merci de ta réponse

[invite2b0e0324]

Bonjour,

Je viens de passer ma matinée sur le sujet et je vous avoue que je suis très sceptique....
En admettant que je peux modéliser ce problème à l'aide d'un puits infini, de valeur V=0 par exemple à l'intérieur de la coquille sphérique.

Je montre ensuite que H, L² et Lz commutent et que je peux rechercher des états propres communs (c'est uniquement du à l'invariance par rotation du potentiel à inclure dans H).

ensuite j'écris l'équation de Schrodinger pour la partie radiale de la fonction d'onde:


La résolution m'amène alors vaguement une quantification de la forme

Mais j'ai du mal à me convaincre de ça.... Auriez vous une indication ou un commentaire à faire sur cette résolution?
Merci

[invite2b0e0324]

J'ai pas cherché à ajouter de potentiel comme dans le cas de l'hydrogène, j'ai juste supposé que globalement les atomes de carbone créaient un potentiel uniforme dans la coquille, et après on a juste le laplacien sphérique... mais c'est un peu bizarre, ça me fait une drole de quantification....

[invite2dcc8876]

Bonjour.
Je ne comprends pas où est votre problème: on vous donne la forme du puits de potentiel que vous devez utiliser: une coquille sphérique de rayon moyen 'r' et d'épaisseur 2a.
Vous n'avez pas à calculer des potentiels électrostatiques. Ce potentiel est zéro partout en dehors de la coquille et infini dans l'épaisseur de la coquille. Ou l'inverse: zéro dans la coquille et infini ailleurs.
C'est à dire que les électrons sont restreints à rester dans l'épaisseur de la coquille et que la condition de bord est que la fonction d'onde est nulle pour r+a et r-a.
C'est la généralisation du puits carré infini monodimensionnel classique à trois dimensions.
Au revoir.

+1
Votre réponse est parfaite

Pouvez vous nous informer, sur la généralisation du puits carré infini bidimensionnel classique à trois dimensions.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
L'époque où j'ai fait ce type de calculs est bien trop loin. Je ne sais plus les faire.
Je crois qu'il faut aller chercher du côté des harmoniques sphériques. Mais même de ça je ne suis pas sur.
Je parierais un petit café (pas plus) que parmi les solutions il y a une fonction de Bessel qui sévit.
Au revoir

[invite2b0e0324]

Bonjour,

Il me semble que les harmoniques sphériques sont introduites dans le cadre de la quantification du moment cinétique, ce sont les états propres conjoints des opérateurs L² et Lz.
Pour le puits infini à trois dimensions, ça fonctionne comme le puits carré normal, avec trois quantification différentes...
En opération une séparation des variables, on obtient trois équations différentielles séparées, chacune étant la même que l'équation de Schrodinger dans le cas unidimensionnel.