démonstration nyquist

[invite6cb6dc63]

Bonjour,
J'ai déjà cherché sur internet une démonstration du théorème de nyquist mais sans succès ...
A chaque fois je tombe sur l'énonce du théorème mais ce que je cherche c'est la démonstration, c'est la que je fais appel à ce forum pour savoir si quelqu'un pourrait me débloquer?

J'aimerais entre autre répondre à ces questions:
Comment prouver que lorsque la courbe passe à gauche du point (-1;0) le système linéaire est divergent?
De plus une courbe du type de celle que j'ai placée en pièce jointe, est elle divergent ou pas? pourquoi ?

merci par avance pour vos réponse,
-----

[b@z66]

http://webcache.googleusercontent.co...=www.google.fr

Je n'ai pas vraiment regardé la démonstration complète mais elle fait appel au théorème des résidus dont je savais déjà qu'il permettait de démontrer la stabilité ou non d'un système suivant dans quel demi-plan se trouve les pôles de la fonction de transfert.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_r%C3%A9sidus

[b@z66]

Également, http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_l%27argument .

[invite6cb6dc63]

Ok merci, ca me donne déjà une piste de réléxion. Pas forcément facile à exploiter vu mon niveau en math mais je vais regarder ca de près

Une idée par rapport à la courbe que j'avais mise en pj?

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

De ce que j'ai compris du lien(le premier que je t'ai donné), le critère de Nyquist utilise conjointement la forme graphique(en coordonnées polaires) de la fonction de transfert en BO et la connaissance initiale du nombre de pôles instables en BO pour déterminer le nombre de pôles instables en BF(ainsi donc que sa stabilité). En conséquence, sans connaitre initialement le nombre de pôles instables de ta fonction en BO, on ne peut pas répondre à ta question... Toutefois, si par hasard ton système en boucle ouverte est stable(pas de pôle instable en BO) et comme ta courbe ne semble pas "entourer" le -1(il faudrait sur ta courbe que la FT pour les fréquences "négatives" soit aussi représenter pour voir ta courbe se fermer), on pourrait en déduire que ce système serait stable.

Sinon, pour le bagage mathématique, il faut aller voir du côté de l'analyse complexe(j'avais vu ça en licence) mais, si tu as déjà fait des intégrales curvilignes en physique, cela n'est pas très compliqué: au lieu de faire des intégrales dans l'espace, par exemple, on fait à la place des intégrales dans le plan complexe. D'ailleurs, le théorème des résidus a un air de familiarité avec le théorème d'ampère en magnétostatique, c'est dire...

Je te donne encore quelques liens si tu veux approfondir la question:

http://www.scribd.com/doc/14530659/I...lity-Analysis-
http://planetmath.org/encyclopedia/A...Principle.html
http://perso.ensem.inpl-nancy.fr/Emm...aut/ac/ac.html

[invite6cb6dc63]

Ok merci impeccable, grâce à tes indications je pense avoir trouvé ce que je cherchais.

Une dernière question: le tracé dans le plan de nyquist des fréquences négatives n'est t-il pas nécessairement symétrique par rapport au tracé dans les fréquences négatives?

[b@z66]

Ok merci impeccable, grâce à tes indications je pense avoir trouvé ce que je cherchais.

Une dernière question: le tracé dans le plan de nyquist des fréquences négatives n'est t-il pas nécessairement symétrique par rapport au tracé dans les fréquences négatives?

Oui, effectivement. Dans le cas, par exemple, d'un filtre passe-bas ou passe-haut du premier ordre, cela permet donc de fermer la courbe pour voir si elle "enferme" ou non le -1. De plus, tu as peut-être appris le critère du revers, dans ce cas là le critère de Nyquist est simplifié de la manière suivante.

http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/...n07/r07-02.htm

[gcortex]

Sans démonstration, quand Vs = Ve, tu as un oscillateur

Et d'ailleurs pour moi ce n'est pas un point, mais la droite x = - 1

[b@z66]

Sans démonstration, quand Vs = Ve, tu as un oscillateur

Et d'ailleurs pour moi ce n'est pas un point, mais la droite x = - 1

D'abord, c'est pour Vs=-Ve que l'on obtient un système instable puisque la contre-réaction d'un système asservi est conventionnellement et généralement considérée comme négative. Enfin, il s'agit bien du point x=-1...+0j.

[b@z66]

D'abord, c'est pour Vs=-Ve que l'on obtient un système instable puisque la contre-réaction d'un système asservi est conventionnellement et généralement considérée comme négative. Enfin, il s'agit bien du point x=-1...+0j.

La démonstration est d'ailleurs mentionnée plusieurs fois dans les liens plus haut. Tiens, j'en remet une nouvelle couche...

http://asi.insa-rouen.fr/enseignemen...ns/nyquist.htm

PS: j'ai moi aussi personnellement une interrogation mais je repasserai plus tard pour la poser...

[gcortex]

D'abord, c'est pour Vs=-Ve

çà dépend si on tient compte du soustracteur ou pas

[invite6cb6dc63]

J'avais trouvé pas mal la démonstration du théorème de Cauchy faite ici :http://www.scribd.com/doc/35039799/7...reme-de-Cauchy

Sinon j'ai une autre question qui m'est venu en rapport avec la pj que je viens de rajouter. On voit dessus une fonction F(s) passant par le point m1 de coordonnée (-1;0) pour une fréquence ω1 et qui est donc forcément instable ( cf critère de nyquist). Mais si je me met au point m2 avec une fréquence ω2, je suis alors loin du point (-1;0), et je peux me dire chouette je suis stable... mais en réalité je serais toujours instable, pourquoi?

[gcortex]

pourquoi je sais pas, mais ton système va se caler sur w1

[invite6cb6dc63]

Après réflexion voilà ce que je pense:
En considérant que F(s) est une fonction de transfert, d'un système linéaire du type F(s)= Vout(s)/Vin(s). Si je met une entrée de fréquence ω2 le seul cas pour lequel mon système ne divergera pas c'est dans la cas ou mon entrée est une sinusoïde parfaite (sans bruit).

En effet si je prend un autre signal, comme un carré par exemple et que j'en fait la décomposition en série de Fourier je me rendrais compte alors que j'aurais forcément une partie de mon signal avec une fréquence suffisamment élevé pour allez jusqu'en ω1 et donc déstabiliser le système ...

ça paraît cohérent?

[gcortex]

de toute façon un oscillateur démarre toujours grâce au bruit
car il y en a une infime partie à la bonne fréquence

[gcortex]

Enfin, il s'agit bien du point x=-1...+0j.

La partie en quadrature ne compte pas, donc c'est bien une droite

[b@z66]

J'avais trouvé pas mal la démonstration du théorème de Cauchy faite ici :http://www.scribd.com/doc/35039799/7...reme-de-Cauchy

Sinon j'ai une autre question qui m'est venu en rapport avec la pj que je viens de rajouter. On voit dessus une fonction F(s) passant par le point m1 de coordonnée (-1;0) pour une fréquence ω1 et qui est donc forcément instable ( cf critère de nyquist). Mais si je me met au point m2 avec une fréquence ω2, je suis alors loin du point (-1;0), et je peux me dire chouette je suis stable... mais en réalité je serais toujours instable, pourquoi?

Ce n'est pas vraiment la bonne façon de raisonner avec ce critère que de considérer la courbe pour des fréquences particulières. Au contraire, ce critère et la forme générale de la courbe pour toutes les fréquences permettent seulement de savoir(pour un système en boucle ouverte de fonction de transfert H(p)) si la fonction 1+H(p) a des zéros dans le demi-plan complexe de droite(zéros qui correspondent à des pôles instables dans le cas du système en boucle fermée).

Enfin, tu as raison notamment sur un point: le bruit est toujours présent quelque soit les fréquences. Aussi petit qu'il puisse être, si un domaine de fréquence particulière permet à la courbe d'entourer le point critique, on peut imaginer que le système va se mettre à osciller naturellement sans application de signal d'entrée.

[b@z66]

La partie en quadrature ne compte pas, donc c'est bien une droite

Ben non, une droite se serait écrite x=1+j.a avec "a" un paramètre pour parcourir la droite. Ça s'apprend même avant le lycée me semble t-il...

[gcortex]

Ben non, une droite se serait écrite x=1+j.a avec "a" un paramètre pour parcourir la droite.

je sais

Ça s'apprend même avant le lycée me semble t-il.

Il faut savoir remettre en question ce qu'on a appris.
C'est comme çà que la science évolue le plus...

Si tu exerces une force en quadrature sur une balançoire,
elle n'aura aucun effet.

As tu un autre argument que de dire "on apprend çà au lycée" ?

[b@z66]

Bon, j'ai dit tout à l'heure que j'avais une question, je la pose maintenant. On sait déjà que le critère de Nyquist permet de connaitre le nombre de zéros dans le demi-plan complexe de droite de la fonction de transfert 1+BO(p) avec BO(p) la fonction de transfert en boucle ouverte(la boucle fermée étant considérée à retour unitaire). Or on sait également que la fonction de transfert en boucle fermée d'un tel système entre l'entrée et la sortie est:

BF(p)=BO(p)/(1+BO(p)).

De même, la fonction de transfert entre l'erreur issue du comparateur et le signal d'entrée s'écrit:

E(p)=1/(1+BO(p)).

Alors voilà, pour la fonction de transfert de l'erreur(E(p)), je suis d'accord que les zéros de 1+BO(p) vont indiquer, en principe, tous les pôles instables de E(p) et donc la stabilité du système. Dans le cas de la fonction de transfert entre l'entrée et la sortie (BF(p)), on peut aussi faire la remarque que les zéros de 1+BO(p) vont aussi indiquer des pôles instables de BF(p) mais, dans ce cas de BF(p), on a aussi toutefois BO(p) au numérateur...donc les pôles instables de BO(p) devraient aussi être en plus des pôles instables de BF(p)!

Et c'est donc là que je ne comprend pas: en considérant la fonction de transfert de "l'erreur", seuls les zéros de 1+BO(p) devraient jouer sur la stabilité du système alors qu'en considérant la fonction de transfert entre l'entrée et la sortie, il me semble que les pôles instables de BO(p) devraient également être pris en compte...Or il s'agit bien du même système qui est étudié à travers ces deux fonctions de transfert donc je ne voie pas pourquoi chacune d'elles mènerait à des critères de stabilité différents...si quelqu'un de familier avec l'automatique a une idée, merci de m'en faire part SVP.

[b@z66]

je sais



Il faut savoir remettre en question ce qu'on a appris.
C'est comme çà que la science évolue le plus...

Si tu exerces une force en quadrature sur une balançoire,
elle n'aura aucun effet.

As tu un autre argument que de dire "on apprend çà au lycée" ?

Non, je n'ai rien d'autre à dire à ce sujet. Je fais une remarque quand il me semble qu'une petite erreur est commise dans une déclaration mais sinon je ne vois pas l'intérêt de me lancer plus loin dans une petite chamaillerie provoquée par une certaine susceptibilité.

[b@z66]

Bon, j'ai dit tout à l'heure que j'avais une question, je la pose maintenant. On sait déjà que le critère de Nyquist permet de connaitre le nombre de zéros dans le demi-plan complexe de droite de la fonction de transfert 1+BO(p) avec BO(p) la fonction de transfert en boucle ouverte(la boucle fermée étant considérée à retour unitaire). Or on sait également que la fonction de transfert en boucle fermée d'un tel système entre l'entrée et la sortie est:

BF(p)=BO(p)/(1+BO(p)).

De même, la fonction de transfert entre l'erreur issue du comparateur et le signal d'entrée s'écrit:

E(p)=1/(1+BO(p)).

Alors voilà, pour la fonction de transfert de l'erreur(E(p)), je suis d'accord que les zéros de 1+BO(p) vont indiquer, en principe, tous les pôles instables de E(p) et donc la stabilité du système. Dans le cas de la fonction de transfert entre l'entrée et la sortie (BF(p)), on peut aussi faire la remarque que les zéros de 1+BO(p) vont aussi indiquer des pôles instables de BF(p) mais, dans ce cas de BF(p), on a aussi toutefois BO(p) au numérateur...donc les pôles instables de BO(p) devraient aussi être en plus des pôles instables de BF(p)!

Et c'est donc là que je ne comprend pas: en considérant la fonction de transfert de "l'erreur", seuls les zéros de 1+BO(p) devraient jouer sur la stabilité du système alors qu'en considérant la fonction de transfert entre l'entrée et la sortie, il me semble que les pôles instables de BO(p) devraient également être pris en compte...Or il s'agit bien du même système qui est étudié à travers ces deux fonctions de transfert donc je ne voie pas pourquoi chacune d'elles mènerait à des critères de stabilité différents...si quelqu'un de familier avec l'automatique a une idée, merci de m'en faire part SVP.

En y repensant, je crois que j'ai ma réponse: dans le cas de BF(p), quand p tend vers un pôle instable de BO(p), BO(p) devient très grand(en particulier devant 1) donc:

BF(p)=BO(p)/1+BO(p)#BO(p)/BO(p)=1.

Pour les valeurs de p proches des pôles(stables ou instables) de BO(p), BF(p) ne tend donc pas vers l'infini. Ces pôles "s'auto-compensent" en quelque sorte entre le numérateur et le dénominateur. Les seuls pôles à prendre en compte dans BF(p) pour l'étude de la stabilité restent donc bien les zéros de 1+BO(p). Comme quoi, un peu de réflexion ne fait jamais de mal!

[invite6cb6dc63]

Bonjour,

Les seuls pôles à prendre en compte dans BF(p) pour l'étude de la stabilité restent donc bien les zéros de 1+BO(p). Comme quoi, un peu de réflexion ne fait jamais de mal!

Effectivement pour chaque zéros du dénominateur cela correspond à BO(p)=-1 on à alors BF(p)=-1/(1-1) ce qui est divergent.

Mais on sais que pour un système linéaire lorsque la fonction BO(p) passe à gauche du point (-1;0) alors a BF(p) divergera. Seulement si je résonne comme je l'ai fais juste au dessus alors j'obtiendrais pour une BO(p) passant par exemple (-2;0) une BF(p) = -2/(1-2) = 1 ce qui, si j'arrête mon raisonnement la ne diverge pas... Et pourtant ca diverge quand même, je pense que la phase y est pour quelque chose mais j'arrive pas à faire le lien ...

Une idée ?

merci

[b@z66]

...une BF(p) = -2/(1-2) = 1 ce qui, si j'arrête mon raisonnement la ne diverge pas...

Je crois que l'erreur dans ton raisonnement vient précisément de là: de ton calcul! Je ne te ferais pas l'affront de corriger ton erreur et je vais en conséquence te laisser le soin de le faire tout seul par toi-même...

Sinon effectivement, on se doute instinctivement que lorsque le gain de la boucle de retour est supérieur à 1(en réalité -1 puisque la contre-réaction est négative), le signal va "tourner" dans cette boucle et se rajouter à lui-même en étant amplifié plus fort à chaque fois. On se doute alors que, de cette façon, son amplitude finale ne peut de toute manière pas se stabiliser.

[invite6cb6dc63]

Je crois que l'erreur dans ton raisonnement vient précisément de là: de ton calcul! Je ne te ferais pas l'affront de corriger ton erreur et je vais en conséquence te laisser le soin de le faire tout seul par toi-même...

Sinon effectivement, on se doute instinctivement que lorsque le gain de la boucle de retour est supérieur à 1(en réalité -1 puisque la contre-réaction est négative), le signal va "tourner" dans cette boucle et se rajouter à lui-même en étant amplifié plus fort à chaque fois. On se doute alors que, de cette façon, son amplitude finale ne peut de toute manière pas se stabiliser.

Faute de frappe ^^
merci
c'est surtout le fait que ca ne tendait pas vers l'infini qui m'interpelais...

Je pense saisir l'idée du signal qui "tourne" dans la boucle, mais pour que ce signal "tourne" dans cette boucle il faut forcément boucler autour de -1 ?
Parce que si j'ai une BO(p) du type de la courbe que j'ai remis en pj j'ai à deux reprises un gain supérieur 1 pour une phase de -180° mais je ne boucle pas autour de -1. Du coup qu'est ce que je peux en conclure?

[gcortex]

ton truc est instable car une partie à gauche de -1
relire mes explications

[invite6cb6dc63]

En fouillant sur le web j'ai trouvée aussi cette courbe (cf pj) qui est un peu dans l'idée de celle que j'ai posté dans mon message précédent. Malheureusement je n'ai pas l'expression de celle-ci. Mais en admettant que ce soit ma BO(p), qu'est ce que je peux conclure sur la stabilité de la BF(p)?

[b@z66]

Faute de frappe ^^
merci
c'est surtout le fait que ca ne tendait pas vers l'infini qui m'interpelais...

Je pense saisir l'idée du signal qui "tourne" dans la boucle, mais pour que ce signal "tourne" dans cette boucle il faut forcément boucler autour de -1 ?
Parce que si j'ai une BO(p) du type de la courbe que j'ai remis en pj j'ai à deux reprises un gain supérieur 1 pour une phase de -180° mais je ne boucle pas autour de -1. Du coup qu'est ce que je peux en conclure?

Je t'avais déjà répondu à ce sujet. Sans connaitre le nombre de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte, le critère de Nyquist ne permet pas de déduire de cette courbe si le système sera stable ou non en boucle fermée. De plus, ton système semble se comporter comme un intégrateur pour w=0, cela veut dire que ta fonction de transfert à un pôle en p=0, ce qui pose problème pour fermer la courbe entre les fréquences w=0⁺ et w=0⁻. Ce problème se règle apparemment en modifiant le contour de Nyquist de sorte qu'il contourne par un petit demi-cercle ce pôle(voir la page 72 du document dont tu avais donné le lien). Ce n'est pas quelque chose que j'ai bien regardé ou analysé mais cela doit permettre de se faire une idée pour savoir comment doit se fermer complètement la courbe image du contour de Nyquist et si elle entoure ou non le -1. Pour info, je te rappelle(ou non si tu ne le savais pas) que l'image de l'axe des imaginaires pur(p=j.w et qui est notamment utilisé dans le contour de Nyquist) par la fonction BO donne tout simplement la courbe de ta fonction de transfert en module et argument, BO(p=jw)!

Au final, si ta courbe de BO(p) se referme sans entourer -1(nombre de tour N=0), il faut appliquer la formule Z=P-N donc on a alors Z=N. Cela signifie donc que le dénominateur de BF(p) a autant de zéro "instable"(dit autrement "BF(p) a autant de pôle instable") que la fonction en BO en a. En gros dans le cas N=0, si le système en BO était instable alors il le sera en BF et si le système en BO était stable alors il le sera aussi en BF.
en boucle ouverte en avait.

[b@z66]

ton truc est instable car une partie à gauche de -1
relire mes explications

Ben non, il ne sera pas nécessairement instable: relis l'énoncé du critère de Nyquist avant de dire des âneries...

http://www.tn.refer.org/hebergement/robuste/stab.html

[invite6cb6dc63]

ok ok, merci. Désoler parfois je m'embrouille ^^