Transformation spéciale de Lorentz

[Skippy le Grand Gourou]

Bonjour,

Voici deux petites questions sur les transformations de Lorentz spéciales.

1) J'ai trouvé dans plusieurs cours nénichés sur internet que les transformations de Lorentz spéciales s'écrivaient sous la forme :
.
Or il me semblait que toute transformation de Lorentz pouvait se mettre sous cette forme... D'ailleurs, dans mon cours, il est indiqué que le groupe des rotations spatiales SO(3) :

et le groupe des transformations de Lorentz spéciales :

étaient des sous-groupes du groupe de Lorentz... Donc quelle forme est celle des transformations spéciales : celle en et ou celle en ? A moins qu'elle ne reviennent au même ?

2) Ma seconde question, en rapport direct avec la première, concerne un exercice, dont je ne comprend simplement pas l'énoncé :

Dérivez (sous la forme matricielle sus-indiquée) de l'équation

Qu'est-ce qu'il faut faire ???

Merci.
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[invité576543]

celle en et ou celle en ? A moins qu'elle ne reviennent au même ?

Elles reviennent au même. Permutes x et z pour mettre les 1 et 0 au même endroit, et regarde comment et peuvent être écrits comme des cos et sin hyperbolique de la même chose.

Cordialement,

[Sephi]

La seconde question te demande de retrouver la forme générale d'une transformation de Lorentz (avec des cosh et sinh), en partant du fait que doit laisser la métrique invariante. Il te suffit d'écrire explicitement (avec des indices) et de se souvenir que cosh² x - sinh² x = 1.

[Skippy le Grand Gourou]

Ok, merci beaucoup. Et en fait la différence entre une transformation spéciale et une transformation générale c'est que la première ne transforme qu'une seule coordonnée d'espace alors que la seconde s'applique à toutes les coordonnées, si j'ai bien compris.

Par contre, bien que le but de l'exercice me paraîsse maintenant bien plus clair, j'y arrive toujours pas... Mais bon, je vais essayer de cogiter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sephi]

Je crois que par transformation "spéciale", tu désignes en fait ce qu'on appelle un "boost", càd un changement de coordonnées entre un premier référentiel, et un second en mouvement uniforme suivant l'un des axes du premier. Une transformation "générale" de Lorentz est alors simplement un changement de coord. entre deux référentiels inertiels tout court (en mouvement relatif dans une direction quelconque, et avec rotations d'espace éventuelles).

[Skippy le Grand Gourou]

Je crois que par transformation "spéciale", tu désignes en fait ce qu'on appelle un "boost"

Oui, je crois que c'est la même chose.

[Skippy le Grand Gourou]

La seconde question te demande de retrouver la forme générale d'une transformation de Lorentz (avec des cosh et sinh), en partant du fait que doit laisser la métrique invariante. Il te suffit d'écrire explicitement (avec des indices) et de se souvenir que cosh² x - sinh² x = 1.

Par explicitement, tu entends en sommation d'Einstein ou alors je suis obligé de résoudre un système de 10 équations à 10 inconnues ?

[invité576543]

Par explicitement, tu entends en sommation d'Einstein ou alors je suis obligé de résoudre un système de 10 équations à 10 inconnues ?

Sauf erreur, travailles d'abord les équations où intervient le terme temps/temps, un changement de repère uniquement spatial (rotation) permet de mettre deux termes temps/espace à 0. Faut démontrer d'abord que la multiplication par une rotation d'espace laisse invariante l'équation...

En espérant pas d'induire en erreur...

Cordialement,

[Rincevent]

bonsoir,

j'ai pas lu le reste du fil, mais y'a une coquille lorsque tu écris :

et le groupe des transformations de Lorentz spéciales :

ce truc-là n'est pas de déterminant égal à 1. Y'a bien correspondance avec les beta, mais pour ça, il faut que ton soit égal à (y'a éventuellement un signe - selon le sens de déplacement du deuxième référentiel le long de l'axe choisi dans le premier) mais tu dois avoir des signes identiques pour les deux sinh dans ta matrice (comme c'était le cas pour les beta) : c'est pas exactement une rotation

[Skippy le Grand Gourou]

y'a une coquille

Bien sûr, on est d'accord.

Faut démontrer d'abord que la multiplication par une rotation d'espace laisse invariante l'équation.

Oui mais alors là, je pense qu'on s'éloigne du but de l'exercice, car il faudrait alors montrer qu'on peut également déduire les matrices R₃ de l'équation . On tournerait un peu en rond, non ?

Mais y'a un truc que je pige pas : l'équation implique dét= . Or on nous demande d'en déduire L₃, telle que dét=+1... Y'a pas comme un petit problème ?

[Rincevent]

l'équation implique dét= . Or on nous demande d'en déduire L₃, telle que dét=+1... Y'a pas comme un petit problème ?

le groupe de Lorentz complet contient effectivement des matrices de déterminants négatifs (par exemple l'inversion de la flèche du temps). Ce que tu dois déduire est la forme générale d'une matrice appartenant à un sous-groupe et pas au groupe en entier. Regarde le chapitre 4 de ce cours pour plus de détails :

http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/delamotte.html

[Skippy le Grand Gourou]

Bingo !
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Je crois qu'il suffit de prendre pour une matrice
avec ,
qui s'applique donc sur le vecteur . Ensuite avec la formule on montre qu'on peut prendre et et le tour est joué...

Il ne me manque plus qu'un bon argument pour passer de à (x,y,z), soit à introduire les 1 dans L₃. Et là je sèche... Je pourrais dire qu'en particulier, pour un déplacement le long de l'axe z, on a etc..., mais je crois qu'il faudrait pour cela avoir déjà introduit une relation avec la vitesse, non ?