echantillonage et periodicite

[invitea2b3c195]

Bonjour,

j'ai une préparation de TP a effectuer mais nous n'avons pas eu le temps de faire le cours lié au TP.
pouvez-vous m'aider ?

voici l'énoncé:

On considère les trois signaux suivants :
; ;

1) Démontrer que la période du signal z(t) vérifie la relation : avec pgcd
Exemple : si , , alors , .

2) Quelle condition doit vérifier le pas d'échantillonnage pour éviter le récouvrement spectral ou le sous échantillonnage des signaux x(t), y(t), z(t).

3) Le signal périodique x(t) de période est, après échantillonnage à la fréquence , lui même périodique de période si le rapport est rationnel .
On définit alors la période numérique comme suit :


On a de même avec les signaux y(t) et z(t) et des notations évidentes correspondantes :
;

les couples entiers intervenant dans les différentes égalités sont premiers entre eux. Les conditions des questions 1) et 2) étant satisfaites, montrer que est une période des signaux échantillonnés à la fréquence .

4) Soit et .
On prend . Donner, s’ils existent, , , , puis , , , , , , .
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[obi76]

Bonjour,

où bloquez-vous et qu'avez vous essayé de faire ?

Cordialement,

[invitea2b3c195]

rien pour l'instant je ne sais pas faire

[invitea2b3c195]

tu ne veux pas m'aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pio2001]

Bonjour,
Pour la question 1, il s'agit de montrer que deux sinusoïdes superposées donnent un signal périodique.

Tu dois pouvoir t'en sortir en partant de la définition d'une fonction périodique (genre f(x) = f(x+période)).

Tes trois fonctions, les deux sinusoïdes et leur sommes, sont des fonctions du temps f(t). Tu dois démontrer que la somme des deux sinusoïdes vaut toujours la même valeur après un certain temps t qui est la durée de répétition du signal.

La question 2 est une question de cours pure et simple. Cherche le théorème de Nyquist, ou de Shannon, je ne sais plus la différence entre les deux. Je crois qu'il répond à la question.

Les questions 3 et 4 me paraissent être de simples exercices de maths. Pas besoin de cours. Juste du calcul.

[invitea2b3c195]

je n'arrive tjs pas à faire la question 1 ..

[phuphus]

Bonjour,

si tu considères 2 phénomènes périodiques, l'un de période T1 et l'autre de période T2, es-tu d'accord pour dire que T3 = T1 * T2 est une période commune aux deux phénomène initiaux ?

Par exemple : avec ta main gauche, tu tapes sur une table toutes les 4 secondes. Avec ta main droite, tu tapes toutes les 6 secondes. Pris dans son ensemble, on peut dire que le rythme (très lent...) que tu fais avec tes deux mains se répète globalement toutes les 4x6 = 24 secondes.

Ensuite : 24 secondes : est-ce réellement la plus petite période que l'on puisse trouver pour ton rythme à 2 mains ? N'y aurait-il pas une période globale plus courte ?

Enfin : cette plus petite période, comment est-elle reliée mathématiquement à 4 et à 6 ? Par exemple une histoire de ppcm et de décomposition en facteurs premiers...

Avec cet exemple simple, la solution à la première question devrait être OK. Pour les autres questions, Pio2001 a déjà tout dit.