fonction de partition, mécanique statique

[lordchameau]

Bonjour, j'ai une question concernant la fonction de partition pour une particule ultrarelativiste.
Voici la question de l'exercice:
On considère un gaz parfait de particules ultra-relativistes dans une boîte de volume L³. Les impulsions permises sont les mêmes que dans le cas non-relativiste : Pn=(pi.h/L).n
n = (nx; ny; nz); ni >1 . L'énergie et l'impulsion obéissent à la relation E = |p|c

Trouvez la fonction de partition d'UNE telle particule, Z1. (Si vous approximez une somme par une intégrale [indice subtile], quelle est la condition de validité de cette approximation ?) Votre réponse devrait être de la forme Z = aL^bT^c, a; b; c
sont à déterminer.

Bon je sais que la fonction de partition Z= sommation exp(-BE).
On me donne le E, mais je vois pas comment faire pour le n, je sais que mes états doivent être n>1, mais ces états sont en trois dimensions alors je ne vois pas comment les intégrer dans la sommation.
Merci si quelqu'un peut m'éclairer.
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[lordchameau]

Bon je viens de répondre en/ partie à ma question, mais je ne comprends pas quel approximation je dois faire.
Z= (sommation (entre n=1 et n=infini) exp -B|p|.c)³
L'exposant 3 pour les trois dimensions.
Je vois poas quel approximations je dois faire pour cette intégrale.

[invite93279690]

Bon je viens de répondre en/ partie à ma question, mais je ne comprends pas quel approximation je dois faire.
Z= (sommation (entre n=1 et n=infini) exp -B|p|.c)³
L'exposant 3 pour les trois dimensions.
Je vois poas quel approximations je dois faire pour cette intégrale.

Salut,

C'est pas plutot
Z= (sommation (entre n=1 et n=infini) exp -B|p|.c n)^3
que tu dois calculer ?
En tout cas ça devrait être ça si E=|p|c et si p_x=n_x pi h/L (idem pour y et z).
Dans ce cas là c'est une simple série géométrique non ?

[lordchameau]

C'est exactement ce que j'ai trouvé, merci de me le confirmer, j'ai oublié de venir marquer ce résultat, car je l'ai trouvé une demi-heure après avoir écrit mon message. Je ne comprends juste pas de quel approximation on parle, car c'Est l'intégrale d'une exponentielle simple exposant 3.
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

C'est exactement ce que j'ai trouvé, merci de me le confirmer, j'ai oublié de venir marquer ce résultat, car je l'ai trouvé une demi-heure après avoir écrit mon message. Je ne comprends juste pas de quel approximation on parle, car c'Est l'intégrale d'une exponentielle simple exposant 3.
Merci.

En fait l'approximation est de passer de la série à l'intégrale. Mais normalement le résultat de la série peut également être trouvé de façon simple (c'est une série géométrique). De cette façon tu peux voir quand est ce que la forme intégrale est valide.

[lordchameau]

Je n'arrive tout simplement pas à trouver comment faire cette série.
sommation (-z)ⁿ=(1+z)^-1 ?
Je n'arrive pas a formuler le dans la forme demandée Z=aL^bT^c.
Merci pour l'aide

[invite93279690]

Je n'arrive tout simplement pas à trouver comment faire cette série.
sommation (-z)ⁿ=(1+z)^-1 ?
Je n'arrive pas a formuler le dans la forme demandée Z=aL^bT^c.
Merci pour l'aide

Bon en fait je me suis trompé dans ma première réponse (je n'ai pas assez bien regardé le sujet).
En fait ta fonction de partition pour une particule s'écrit :

Cette somme n'est pas simple à calculer et pour le faire de façon approcher il faut essayer de la rapprocher d'une intégrale qu'on sait calculer.
Pour se faire on se rappelle que ce qui implique que .
Maintenant, deux voisins sont séparés par un pour lequel . Si peut donc presque re considéré comme un élement infinitésimal (on ne fait rien de rigoureux ici).
Je remplace donc par dans la somme ci dessus et j'obtiens :

Cette somme peut être vue comme une somme de Riemann dont la limite pour la série est une intégrale et je peux écrire :

Comme l'énergie ne fait intervenir que la norme de , il est préférable de faire intervenir une mesure d'intégration dans laquelle apparait explictement la norme 3D de . Le passage aux coordonnées sphériques parait tout à fait adapté puisque dans ce système de coordonnées on a
. Pour faire ce changement de variable correctement, il faut mettre les bornes pour les variables angulaires en faisant attention et en partiuclier en notant que la condition implique que l'on intègre seulement sur la moitié de l'angle solide total.
On a donc finalement :

Si je ne me suis pas trompé. Avec un changement de variable adapté, l'intégrale n'est rien d'autre qu'une fonction Gamma d'Euler que je te laisse le soin de déterminer.