Fonction de partition

[lordchameau]

Bonjour,
j'ai un petit problème pour trouver ma fonction de partition d'un problème plutôt simple. En fait je n'arrive pas à voir comment je vais faire la somme. Voici l'exemple

Un solide contient N noyaux mutuellement non-interagissants de spin 1. Chaque noyau peut se trouver dans n'importe lequel des trois états de spin, spécifiés par la composante z du spin mh (planck), où m = 0, ±1. L'interaction entre chaque spin et le champ électromagnétique à l'intérieur du solide est de telle sorte qu'un noyau dans l'état m = 1 ou m= -1 a une énergie £ plus grand que 0, tandis que son énergie dans l'état m= 0 est zéro.
Trouvez la fonction de partition Z du système de N noyaux en fonction de la température.
Pour l'instant j'ai écrit Z = (sommation) exp ((-£/kT).E(m)
Mon probl'eme c<est que je ne vois pas comment écrire E9m) en fonction des variables que j'ai. Si quelqu'un peut m'aider avec ce petit problème je pourrais faire la sommation facilement.
Merci beaucoup
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[invite58a61433]

Bonsoir,

J'essaye de reformuler pour que tu vois mieux. On te dit que dans les états l'énergie des états est £ et dans l'état m=0 l'énergie E(0) de l'état est nulle.
En plus tes noyaux sont non intéragissant donc tu devrais pouvoir utiliser une relation liant la fonction de partition du système avec un seul noyau à celle avec N noyaux. Comme celle à un seul noyau se trouve facilement (il y a peu de terme dans la somme donc tu peux la calculer explicitement)....

[lordchameau]

D'accord mais je comprend pas comment écrire E(m)
J'avais pensé écrire ceci
Z= (sommation, entre 0 et 2 au lieu de -1 à 1) exp((£/kT)(m-1))
Est ce que ça fait du sens?
Merci

[invite58a61433]

Ok, bon si ton problème c'est de faire la somme c'est plutôt simple elle n'a que trois termes. E(m) il t'est donné pas besoin de l'écrire sous une forme compliqué.
Après si tu veux vraiment une expression pour E(m), tu peux toujours l'écrire comme ça :

E(m) = £|m| pour m = -1,0,1

Pour ton expression tu vois que ça ne marche pas car l'énergie de l'état m=1 est -£ au lieu de £.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

Si ça marche mais pour |m-1| et non (m-1) en sommant sur m de 0 à 2. Mais pourquoi s'embêter à faire ça, alors qu'il suffit de prendre |m| en sommant de -1 à 1, comme l'a dit Magnétar. C'est quand même plus naturel, vu l'énoncé, et cela ne pose aucun problème de sommer sur un indice négatif(je pense que c'est ça qui te bloquais)

[lordchameau]

Merci beaucoup, je me jettes la dessus et je vous reviens si je bloque.
Bonne journée

[lordchameau]

Bonjour, j'ai fait les calculs et si je ne me suis pas trompé
Z= exp(-£/kT)+ exp(£/kT)+1
Est ce que ça fait du sens.

[lordchameau]

Bonjour, c'est encore moi.
Je viens de voir que cette expression peut se simplifier par
Z = 2cosh(£/kT) + 1
Ce qui fait du sens je crois.
Merci de pouvoir confirmer ce que je dis.

[invite58a61433]

Bonsoir,

Bon il me semble que tu t'es trompé (à moins que je ne sois pas très frais), pour moi la fonction de partition d'un seul noyau est z=2exp(-£/kT)+1, pour les N noyaux Z=z^N.

[lordchameau]

Si c'est z= 2 exp(£/kT) + 1, lorsqu'on fait la sommation exp(£/kT).m, on devrait obtenir deux arguments différents. Ou alors il faut se dire que pour m=1 l'énergie est égal à -£ et pour m=-1 l'énergie est égal à +£. Mais dans la définition du problème on dit que pour m=1 et m=-1 £ est plus grand que 0, alors les deux sont positifs et ça mrevient à mon équation.

Z= exp(-£/kT)+ exp(£/kT)+1

[invite58a61433]

on devrait obtenir deux arguments différents

Pourquoi ça ? On a la même énergie pour deux états de spin différents donc on a bien le même argument pour ces deux états de spin.

Bon on va reprendre en détail.
La fonction de partition de ton système s'écrit comme une somme sur tes états de spin m (en fait on pourrait aller plus vite que ça mais passons pour le moment).
où .

On a vu précédemment que l'on pouvait écrire E(m)= £|m|= (j'ai changé de symbole pour la suite), donc E(m) ne peut pas dépendre du signe de m. En écrivant tout en détail on a donc :



Soit :



En fait j'ai l'impression que tu fais une erreur dans la définition de la fonction de partition. Fonction de partition
Ce que tu a écrit dans ton premier message comme étant Z est plutôt l'énergie moyenne.

Bon en réalité tu ne nous a pas dit ce que E(m) représentait pour toi, par défaut j'ai pensé que c'était l'énergie, mais ça pourrait être un indicateur de la dégénérescence cependant dans ce cas ça ne dépendrait pas de m mais de l'énergie... Bref dans tout les cas la bonne expression de la fonction de partition est celle que je t'ai donné.

[lordchameau]

Je suis d'Accord avec ce que tu as fait, c'Est juste ta valeur absolu que je n'arrive pas à comprendre. Pourquoi y aurait-il une valeur absolu?

[lordchameau]

En fait c'Est parce que l'énergie de l'interaction entre le champ et chaque spin ne peut pas être négative?

[invite60be3959]

Pourquoi y aurait-il une valeur absolu?

C'est tout simplement marqué dans l'énoncé : "si m =1 ou -1 alors l'énergie vaut £, et 0 sinon". Donc on peut écrire E(m) = £|m|, telle que

[invite58a61433]

c'Est juste ta valeur absolu que je n'arrive pas à comprendre. Pourquoi y aurait-il une valeur absolu?

C'est l'énoncé qui le dit, citation de ton premier message :

L'interaction entre chaque spin et le champ électromagnétique à l'intérieur du solide est de telle sorte qu'un noyau dans l'état m = 1 ou m= -1 a une énergie £ plus grand que 0

Donc E(m=1)=E(m=-1)=£. Une façon d'écrire cette forme pour l'énergie est de dire : E(m)=£|m|. Tu vois bien que pour m=0 on a bien (en utilisant l'écriture juste avant) E(0)=0, et pour m=1 ou m=-1 on a E(m=1)=£|1|=E(m=-1)=£|-1|=£.

[lordchameau]

Merci beaucoup, Je suis en train de trouver l'entropie et la capacité calorifique du système.
À la prochaine peut-être.
Merci beaucoup pour ton aide car il doit être tard chez toi en France.