invariance des lois et tenseurs

[invitee09fc305]

Bonjour,

je me posais la question suivante: en physique on quantifie les caracteristiques de notre systeme sous forme de grandeurs (vitesse, temperature etc) et on modelise son comportement en utilisant des equations faisant intervenir ces memes grandeurs.

Ce que l on aimerait c est que ces equations soient invariantes par changement de referentiel et comme toute equation peut etre mise sous la forme grandeur=0 (en faisant passer tous les termes d un cote) cela revient a modeliser les grandeurs de facon a ce que si la grandeur = 0 dans un referentiel, elle est egale a 0 dans tout referentiel.

On nous dit en general que les tenseurs remplissent ce role, mais je me demandais s il n y avait pas d autres structures mathematiques que les tenseurs pour faire ca? et comment passer de cette definition physique du tenseur (a savoir si 0 dans un referentiel alors 0 dans tout referentiel) a la definition tres formelle qu on en a en mathematiques (en utilisant l espace dual etc)

Merci pour vos reponses!
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[arrial]

Salut,

Mon simple avis :

♦ L'espace tensoriel est la généralisation de l'espace vectoriel à des dimensions supérieures [un vecteur étant cependant un tenseur].

♦ Un tenseur représente avant tout une propriétés physique d'un système, d'un milieu … c'est pourquoi on teste toujours s'il est bien un tenseur en faisant ce test d'invariance.

Alors, quoi d'autre ? des scalaires ? mais ils peuvent être considérés comme des formes élémentaires de tenseurs …
et si on trouve des êtres purement mathématiques [ça doit être possible], ils échappent à la définition de tenseur de par leur nature, non physique.


@+

[doul11]

Bonsoir,

Alors, quoi d'autre ? des scalaires ? mais ils peuvent être considérés comme des formes élémentaires de tenseurs …

C'est pas qu'ils peuvent : il le sont, ce sont des tenseur d'ordre 0, un vecteur c'est un tenseur d'ordre 1, une matrice est un tenseur d'ordre 2.

Il ne faut pas confondre ordre et dimensions, on peut avoir un tenseur d'ordre 1 en 3 dimensions.

[arrial]

C'est pas qu'ils peuvent : il le sont, ce sont des tenseur d'ordre 0, un vecteur c'est un tenseur d'ordre 1, une matrice est un tenseur d'ordre 2.

Je sais, merci
Mais on s'en soucie peu, et je ne sais pas à qui j'ai affaire.
STP, réponds au questionneur et pas à moi.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58a61433]

Bonsoir,

♦ L'espace tensoriel est la généralisation de l'espace vectoriel à des dimensions supérieures [un vecteur étant cependant un tenseur].

Euh tu peux préciser ? Je ne veux pas faire mon emm*rdeur mais ça me semble faux.

[arrial]

STP, réponds au questionneur et pas à moi.

… et tous les scalaires ne sont pas des tenseurs. Ni toutes les matrices ‼ …

[arrial]

Bonsoir,



Euh tu peux préciser ? Je ne veux pas faire mon emm*rdeur mais ça me semble faux.

Tout à fait : lapsus idiot. Remplace dimension par ordre …

Mais un espace vectoriel EST un espace tensoriel …

@+


[non ? ]

[invite58a61433]

En fait je dirais plutôt un espace tensoriel est un espace vectoriel.
On construit un espace tensoriel comme produit tensoriel d'espace vectoriel cependant la structure d'espace vectoriel de cet espace "produit" est plus "englobante" que la structure d'espace tensoriel.
Il faut bien se rappeler qu'un tenseur est un vecteur (au sens élément d'un espace vectoriel). Bon je veux bien admettre que le vocabulaire n'est pas des plus éclairant...

[arrial]

L'espace tensoriel, à mon sens, est une généralisation ou une extension de la notion d'espace vectoriel.
C'est pourquoi je considère que l'espace vectoriel est un espace tensoriel, et non l'inverse.

Mais je n'en fais pas une affaire d'état …

@+

[arrial]

Mais je n'en fais pas une affaire d'état …

… dans le doute, je gogolise, et vois que je ne suis pas totalement isolé …


« C'est une généralisation de l'idée du champ vectoriel, qui peut être conçu comme un « vecteur qui varie de point en point ».»

http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_tensoriel


Bonsoir, @+

[invite58a61433]

Oui enfin de même qu'un champ vectoriel est la généralisation d'un champ scalaire, cependant un "scalaire" est un élément d'un espace vectoriel à une dimension (en prenant des scalaires dans un corps K).
Et dire que un espace tensoriel est plus général que l'espace vectoriel n'a pas vraiment de sens il me semble, en effet l'espace tensoriel se construit à partir d'espace vectoriel, sans espace vectoriel : pas d'espace tensoriel. On peut tout à fait considérer un espace tensoriel sans s'intéresser à sa structure d'espace tensoriel (c'est à dire construit comme produit tensoriel d'espace vectoriel), cependant si l'on ne s'intéresse pas à cette sous structure il reste toujours la structure d'espace vectoriel, bref... Je n'en fais pas une affaire d'état non plus surtout sachant que sur ce forum ce genre de discussion vire souvent au cauchemard malheureusement...

De mon point de vue un tenseur est une forme multilinéaire, hors ces formes multilinéaires habitent un espace vectoriel (exemple parmi d'autre : les matrices).

[invite6754323456711]

C'est pourquoi je considère que l'espace vectoriel est un espace tensoriel, et non l'inverse.

Connaissez-vous des d'exemples d'espace tensoriel qui ne soit pas un espace vectoriel ? Comme le fait remarquer Magnétar une définition possible de l'espace tensoriel se fait sur la notion d'espace vectoriel. http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur#Introduction


Patrick

[invitea29d1598]

Bonsoir,

Le problème dans cette discussion récurrente c'est que pour certains le mot "vecteur" a un sens avant tout mathématique, alors que pour les autres il a son sens avant tout physique [et même parfois "newtoniennement physique"].

En clair, si (comme pour les matheux en général) un "vecteur" est un objet qui appartient à un espace vectoriel, alors il est trivial de dire que les tenseurs sont un cas particulier de vecteurs.

Par contre, si (comme pour les physiciens en général), un "vecteur" est une flèche tracée dans l'espace (en termes techniques on pourrait définir ça comme une représentation particulière du groupe des rotations ou d'un "surgroupe" de celui-ci), alors les tenseurs sont effectivement une généralisation construite à partir des vecteurs qui sont donc un cas particulier de tenseurs...

C'est la même histoire avec les spineurs qui sont ou ne sont pas des vecteurs selon le sens que l'on donne à ce terme...

Comme souvent le tout est donc juste de commencer par se mettre d'accord sur le sens des mots employés avant de partir dans des dialogues de sourds sans fin...

[invite58a61433]

Je plussoie du début à la fin

[invite6754323456711]

Le problème dans cette discussion récurrente c'est que pour certains le mot "vecteur" a un sens avant tout mathématique, alors que pour les autres il a son sens avant tout physique [et même parfois "newtoniennement physique"].

Est-ce la définition formelle de tenseur qui serait définie différemment (on aurait deux objets distincts) ou est-ce juste son interprétation ?

Patrick

[arrial]

Par contre, si (comme pour les physiciens en général), un "vecteur" est une flèche tracée dans l'espace (en termes techniques on pourrait définir ça comme une représentation particulière du groupe des rotations ou d'un "surgroupe" de celui-ci), alors les tenseurs sont effectivement une généralisation construite à partir des vecteurs qui sont donc un cas particulier de tenseurs...

Salut,



Bien vu.
Je suis donc irrémédiablement un physicien …

C'est pourquoi j'ai bien insisté dans ma réponse première sur la primordialité du fait qu'un tenseur devait représenter un "phénomène" physique.

Pour conclure, l'idée reste la même, et c'est l'essentiel …



@+

[Amanuensis]

Est-ce la définition formelle de tenseur qui serait définie différemment (on aurait deux objets distincts) ou est-ce juste son interprétation ?

Ce sont des structures distinctes.

Espace vectoriel : structure de groupe commutatif + multiplication externe

Espace tensoriel : structure d'espace vectoriel + produit tensoriel.

Parler de tenseur n'est utile qu'avec un produit tensoriel (et la contraction).

Dire qu'un espace de tenseurs est un espace vectoriel, c'est comme dire que l'ensemble des matrices carrées est un espace vectoriel ; c'est correct, mais c'est incomplet en termes de structure : il manque la multiplication entre matrices.

Encore plus bas, on a la même chose entre R² et C, C est un espace vectoriel sur R (isomorphe à R²) mais ce n'est pas ce qu'on entend par C : faut la multiplication en plus.

[invitef17c7c8d]

Je voudrais prouver ci-dessous de la façon la plus rigoureuse qui soit, qu'il est plus difficile d'être pizzayolo que joueur de pétanque

Commençons si vous le voulez bien par le joueur de pétanque :
Au moment de tirer, il se concentre ... Il fait appel aux lois de Newton et de la gravitation pour espérer faire un carreau sur place.
Il utilise alors "simplement" la notion de position (scalaire) et de vitesse (vecteur): Il a supposé que sa boule était "indéformable" ou rigide.

Passons maintenant au pizzayolo. Il a préparé sa pâte et s’apprête à l'étaler. Il fait alors appel au lois de la mécanique des milieux continus : Pour étaler sa pâte, il exerce sur elle une pression de haut en bas (contre intuitif pour le joueur de pétanque)! Il utilise alors la notion de tenseurs et de matrices de contraintes, d'élongation, etc ...

Moralité : Je viens de prouver pourquoi il y a plus de joueurs de pétanques que de pizzayolo.

P.S. Il s'agit d'une "loi de probabilité" locale, qui peut varier en fonction de la température et de la position géographique (Densité de probabilité plus forte dans le Sud que dans le Nord)

[arrial]

Re -

Si je puis me permettre ;

« Bonjour,

je me posais la question suivante: en physique on quantifie les caracteristiques de notre systeme sous forme de grandeurs (vitesse, temperature etc) et on modelise son comportement en utilisant des equations faisant intervenir ces memes grandeurs.

Ce que l on aimerait c est que ces equations soient invariantes par changement de referentiel et comme toute equation peut etre mise sous la forme grandeur=0 (en faisant passer tous les termes d un cote) cela revient a modeliser les grandeurs de facon a ce que si la grandeur = 0 dans un referentiel, elle est egale a 0 dans tout referentiel.

On nous dit en general que les tenseurs remplissent ce role, mais je me demandais s il n y avait pas d autres structures mathematiques que les tenseurs pour faire ca? et comment passer de cette definition physique du tenseur (a savoir si 0 dans un referentiel alors 0 dans tout referentiel) a la definition tres formelle qu on en a en mathematiques (en utilisant l espace dual etc)

Merci pour vos reponses! »



@+

[Amanuensis]

On nous dit en general que les tenseurs remplissent ce role, mais je me demandais s il n y avait pas d autres structures mathematiques que les tenseurs pour faire ca? et comment passer de cette definition physique du tenseur (a savoir si 0 dans un referentiel alors 0 dans tout referentiel) a la definition tres formelle qu on en a en mathematiques (en utilisant l espace dual etc)

Pour essayer de répondre à la question initiale, plutôt que de dériver sur la terminologie...

La particularité essentielle des tenseurs est la multilinéarité.

Il est très courant en physique de "simplifier" un problème en prenant une approximation linéaire. C'est ce qui amène par exemple à parler de vitesse. Une trajectoire non linéaire x(t) est difficile à traiter, mais on va étudier en chaque point l'approximation linéaire locale ~x(t) = x(t0) + v (t-t0). C'est ce qu'on fait aussi en thermo avec des écritures genre dU = PdV + VdP + ..., on s'intéresse à la linéarisation "locale" (à l'état). Et il y a plein d'autres exemples.

Cela amène naturellement à exprimer les lois comme des relations locales entre termes "linéarisés". Dans les cas "simples" (vitesse), cela donne des vecteurs (linéarité) ; dans les cas plus compliqués (contraintes, élongations, dans l'exemple du message de lionelod), on est en présence de multilinéarité, et on obtient des relations multilinéaires entre "objets", des tenseurs.

C'est la linéarité qui amène les tenseurs. Et, à ce sens, c'est bien une structure mathématique "naturelle" pour faire de la physique quand celle-ci modélise des relations linéaires.

Le questionnement "philosophique" porte donc plutôt sur pourquoi les équations physiques sont si souvent des relations linéaires entre quantités différentielles, locales à un "lieu-moment".

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Par ailleurs, dans ce message initial, le mot "référentiel" est, disons, ambigu.

Le mot tenseur aussi, d'ailleurs. En physique sont "confondus" (ou plus exactement la distinction est implicite, contextuelle) les tenseurs et les champs de tenseurs.

Un tenseur est local, une quantité en un lieu-moment, comme la vitesse d'u point matériel. Un champ de tenseur est global, la donnée (en général différentiable) d'un tenseur en chaque lieu-moment de l'espace-temps, ou en chaque point de l'espace, selon les cas. (Penser à un champ de vitesse pour le vent par exemple.)

Un référentiel proprement dit est une référence pour la notion de mouvement.

Une notion un peu distincte est celle de base locale à l'espace vectoriel "tangent" (celui des vitesses, on va dire), et, ensuite de "champ de bases", la donnée (différentiable) d'une base en chaque point (de l'espace ou de l'espace-temps). Ces changements sont localement linéaires (un changement de base dans un espace vectoriel est "linéaire").

Il y a des relations entre changement de référentiel et changement de champs de base, mais la question du message prend son sens si on parle de changement de champ de bases.

On cherche en physique à ce que les équations locales soient invariantes par changement de base locale. Les équations entre tenseurs ont cette propriété.

Plus compliqué, on cherche à ce que des équations entre champs de tenseurs soit "invariantes" par changement de champ de bases (notion de covariance).

Comme tout cela est fondé sur la notion de changement de base, la multi-linéarité est essentielle, et cela amène automatiquement aux tenseurs et aux champs de tenseurs.

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Caveat : J'ai simplifié la présentation, pour ne pas trop compliquer quelque chose qui l'est déjà peut-être trop pour la question.

[Amanuensis]

a la definition tres formelle qu on en a en mathematiques (en utilisant l espace dual etc)

Un complément spécifique sur ce point.

La physique est formelle, et la définition mathématiques des tenseurs, à partir de l'espace dual en particulier, est la définition en physique tout autant.

Simplement, les présentations en physique cherchent à mettre l'accent (et c'est normal) sur la relation entre les termes formels et les observations (les expériences, les mesures), c'est-à-dire sur la signification physique des termes formels, plutôt que de "s'encombrer" des détails, des nuances et de la rigueur des mathématiques.

L'espace dual par exemple apparaît peu dans ce qui est présenté en physique, mais il est là et bien là, le plus souvent déguisé (1).

Il n'y a pas une définition formelle des tenseurs en math et une autre en physique. Il n'y a qu'une définition formelle, et il y a, en plus, une interprétation de tel ou tel classe de tenseurs en termes physiques, c'est à dire en termes d'observations et de mesures.

(1) Pour faire du mauvais esprit, on parle de tenseur en physique quand il n'est plus possible de les déguiser en quelque chose d'apparence plus simple et n'évoquant pas l'algèbre tensorielle, e.g., vecteurs axiaux.

[invitef17c7c8d]

C'est la linéarité qui amène les tenseurs

Comme tout cela est fondé sur la notion de changement de base, la multi-linéarité est essentielle, et cela amène automatiquement aux tenseurs et aux champs de tenseurs

Mais oui, tout devient limpide tout à coup! Je comprends très bien le lien de causalité entre linéarité et tenseurs!

On cherche en physique à ce que les équations locales soient invariantes par changement de base locale. Les équations entre tenseurs ont cette propriété.

Plus compliqué, on cherche à ce que des équations entre champs de tenseurs soit "invariantes" par changement de champ de bases (notion de covariance).

Est ce que cela signifie, que suivant la base locale choisie, les matrices sont plus ou moins pleines ou disons plus ou moins diagonales ?? Mais que la relation entre élongation et contrainte est toujours conservée ???

Amanuensis, merci sincèrement pour cette explication!!

[Amanuensis]

Est ce que cela signifie, que suivant la base locale choisie, les matrices sont plus ou moins pleines ou disons plus ou moins diagonales ?? Mais que la relation entre élongation et contrainte est toujours conservée ???

Oui, bon exemple.

En pratique, on va chercher une base où la "matrice" (qui représente un tenseur d'ordre 2) est diagonale (directions principales) pour "mieux voir", mais l'objet même, le tenseur, ne dépend pas de la base, pas plus que la vitesse (vectorielle) d'une voiture ne dépend de la base choisie pour la mettre en composantes.

[invite6754323456711]

Le questionnement "philosophique" porte donc plutôt sur pourquoi les équations physiques sont si souvent des relations linéaires entre quantités différentielles, locales à un "lieu-moment".

Est-ce vraiment de la philosophie plutôt qu'une approximation que nous utilisons car il faut que cela soit calculable de manière relativement aisé ?

Patrick

[Amanuensis]

Est-ce vraiment de la philosophie plutôt qu'une approximation que nous utilisons car il faut que cela soit calculable de manière relativement aisé ?

Je pensais au principe de covariance générale, qui peut être vu comme disant que les seules interactions sont ponctuelles dans l'espace-temps et descriptibles par des relations entre tenseurs tangents, pris au point considéré.

S'il y avait des effets "à distance", il me semble que la linéarisation serait une approximation. Mais si toute interaction est "ponctuelle", alors ce n'est plus une approximation, du moins pas plus que l'approximation par un point de l'espace-temps.

Dans la même veine, il me semble comprendre que c'est bien parce qu'on peut tout mettre sous forme d'équations locales (entre tenseurs ?) qu'on se pose la question de l'espace-temps comme arrière-plan.

Tout ça c'est plutôt du bla-bla, et ça éloigne du sujet... Je n'aurais pas dû mettre cette phrase invoquant la philo.

[invitef17c7c8d]

Ma science est la vibro-acoustique, et lorsque je fais des mesures expérimentales et que j'analyse le tout à travers le prisme du linéaire voila ce que je vois :
L'exemple suivant est celui de la recherche des modes propres d'une structure:

1. La structure est super forte en algèbre linéaire et est capable de diagonaliser une matrice de taille 10x10 (je me demande où elle a appris à faire ça, peut-être sur ce forum )

2. Au-delà, ça devient trop difficile pour elle et elle se met à répondre au hasard!
(les résultats ne sont plus reproductibles)
Bien évidement c'est parce que j'analyse tout cela d'après nos concepts de linéarité et aussi d'analyse spectrale!

Donc ma question, qui s'adresse essentiellement aux mathématiciens :
N'existe t-il pas un outil mathématique qui englobe l'algèbre linéaire? Un peu comme la mécanique newtonienne est une approximation d'une théorie plus générale : celle de la relativité.

[Amanuensis]

2. Au-delà, ça devient trop difficile pour elle et elle se met à répondre au hasard!
(les résultats ne sont plus reproductibles)

Il n'y a pas de difficulté théorique ni même algorithmique à diagonaliser des matrices bien plus grandes.

Ce qu'on rencontre couramment en physique, c'est que les petites incertitudes sur les mesures introduisent de grosses erreurs dans la diagonalisation. C'est une opération qui peut être "instable" aux erreurs.

Du point de vue algorithmique, les arrondis mêmes peuvent être source d'instabilité. Si la matrice est "mal conditionnée" (i.e., très sensible aux petites erreurs, comme, cas trivial, si le déterminant est très proche de 0), les arrondis peuvent être suffisants pour entraîner une instabilité. Faut alors prendre une représentation plus fine des réels.

N'existe t-il pas un outil mathématique qui englobe l'algèbre linéaire?

On continuerait à l'appeler "algèbre linéaire", j'imagine Ou alors c'est toutes les maths...

[invitef17c7c8d]

Il n'y a pas de difficulté théorique ni même algorithmique à diagonaliser des matrices bien plus grandes.

Oui, mais qu'une structure, disons une table, puisse faire ça en 1/4 de seconde c'est fortiche. En fait quand je vois une structure, je lui prète toujours des facultés intellectuelles hors du commun comme une sorte d'autiste de haut niveau.

Ce qu'on rencontre couramment en physique, c'est que les petites incertitudes sur les mesures introduisent de grosses erreurs dans la diagonalisation. C'est une opération qui peut être "instable" aux erreurs.

Dans le dessin animé "titi et grominet" , j'ai toujours été pour grominet. C'est pareil avec les incertitudes et les erreurs. J'ai beaucoup de "sympathie" pour les erreurs. Beaucoup moins pour la fonction sinus qui a toute la "gloire".

Tout ça pour dire :"n'existe-il pas l'équivalent de la transformée de Fourier mais au lieu d'utiliser des fonctions sinus, utiliser des fonctions aléatoires ?
Au lieu de la période de la fonction sinus, avoir un temps de corrélation ?

[invitee09fc305]

J'ai trouvé ta réponse très claire Amanuensis. Un point important quand même: quand je parlais de passer des tenseurs physiques aux tenseurs mathématiques, je sais qu'il s'agit de la même chose, mais pour moi le passage de "0 dans un réferentiel donc 0 partout" à tenseur (cad au truc multilinéaire qu'on sait utiliser) n'est pas immédiat..et personne n'en parle plus en profondeur dans aucun cours.

Je pensais au principe de covariance générale, qui peut être vu comme disant que les seules interactions sont ponctuelles dans l'espace-temps et descriptibles par des relations entre tenseurs tangents, pris au point considéré.

S'il y avait des effets "à distance", il me semble que la linéarisation serait une approximation. Mais si toute interaction est "ponctuelle", alors ce n'est plus une approximation, du moins pas plus que l'approximation par un point de l'espace-temps.

Dans la même veine, il me semble comprendre que c'est bien parce qu'on peut tout mettre sous forme d'équations locales (entre tenseurs ?) qu'on se pose la question de l'espace-temps comme arrière-plan.

Là était le point de départ de ma réflexion aussi, j'entame une thèse l'année prochaine sur les non localités et intrication et cette utilisation abusive d'algèbre linéaire (qui découle comme tu l'as très bien dit de linéarisation sur des choses différentiables en des points donnés) me gêne.

[invitee09fc305]

On cherche en physique à ce que les équations locales soient invariantes par changement de base locale. Les équations entre tenseurs ont cette propriété.

Plus compliqué, on cherche à ce que des équations entre champs de tenseurs soit "invariantes" par changement de champ de bases (notion de covariance).

Comme tout cela est fondé sur la notion de changement de base, la multi-linéarité est essentielle, et cela amène automatiquement aux tenseurs et aux champs de tenseurs.

Là est le point essentiel à mes yeux de la question aussi: pourquoi les changements de base sont des notions linéaires, elles le sont si nos objets de bases sont des tenseurs, j'ai l'impression que c'est un raisonnement circulaire..on pourrait imaginer travailler avec des structures avec la simple propriété de covariance, n'y a-t-il que les tenseurs pour ça?

J'espère que j'ai été assez clair, je pense que cette dernière question est au coeur du problème.