problème de conduction

[invitecce23f01]

Bonjour,

Mon problème concerne une conduite d'eau enfouie dans le sol à une profondeur d'environ 10m (on peut ainsi considérer la température du sol comme une constante).

La température en entrée de la conduite est imposée.
Il me faut estimer la longueur de conduite nécessaire pour récupérer une certaine quantité d'énergie (connue). C'est un problème similaire à celui du puits canadien en fait.
Je connais les propriétés du sol (λ, Cp), de l'eau, de la conduite...

Comment poser correctement les équations ?

On a un débit constant dans la conduite, on peut considérer que le problème est stationnaire.
J'ai pensé à découper le problème ainsi : pour une tranche élémentaire de conduite, on peut poser une équation de conduction entre le sol et le fluide. Puis on intègre jusqu'à avoir la longueur de conduite voulue... Malgrès tout ça ne me semble pas être une bonne approche.
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[LPFR]

Bonjour en bienvenu au forum.
En régime stationnaire, la température du sol près du tube sera différente de celle du sol loin du tube.
Commencez plutôt par faire un calcul préalable de la distribution de température à l'équilibre dans le sol autour d'un tube à température constante et uniforme avec un flux thermique par mètre linéaire de tube donné, et comparable à celui que vous ce comptez avoir.
La symétrie cylindrique fait que le calcul est simple.
Cela vous donnera une idée de la distance à laquelle le tube perturbe la température du sol.
Il faudra que la longueur du tube soit bien plus grande que la longueur de perturbation.
Avec cette hypothèse simplificatrice, on peut faire une autre qui consiste à diviser le problème en rondelles de largeur infinitésimale, et calculer le flux calorique et la variation de température du liquide par tranche. Il ne restera qu'à intégrer tout ça.
Et conserver à l'esprit que malgré tout ce n'est qu'un calcul approché.
Au revoir.

[gatsu]

Salut,

Je pense qu'avant de se lancer dans les gros calculs il convient de trouver le temps typique sur lequel l'eau se trouvant dans une conduite cylindrique (à l'équilibre hydrostatique peut être au départ) enfouie sous terre passe à la température voulue.
Cela doit dépendre des propriétés du sol (notamment de sa température) mais surtout de l'eau et de la conduite.
Une fois ce temps trouvé, il faut que grosso modo chaque tranche de fluide passe au moins ce temps là sous terre pour être à la température souhaitée.

[invitecce23f01]

Merci pour cette réponse,

Commencez plutôt par faire un calcul préalable de la distribution de température à l'équilibre dans le sol autour d'un tube à température constante et uniforme avec un flux thermique par mètre linéaire de tube donné

Le problème, c'est justement de pouvoir évaluer le flux thermique linéique qui peut varier fortement en fonction du type de sol rencontré.

D'autre part, ayant calculé la distance d'influence de la conduite, à quoi m'avance cette valeur ?
Pour le calcul j'utilise la formule (conductivité à travers un cylindre) :
ΔT=Φ/2π * {1 / λ₁ * LN(R2/R1) + 1 / λ₂ * LN(x/R2)}
λ₁ étant la conductivité du plastique constituant la conduite
λ₂ celle du sol
Φ une valeur approchée du flux thermique linéaire pris à 50W/ml
La conduite ayant un diamètre de 25mm, j'arrive à un x=35mm ce qui est très petit face à la longueur de la conduite (plusieurs centaines de m).

Le problème pour moi c'est qu'en prenant une valeur arbitraire de Φ, même pertinente, on ne tient pas bien compte des propriétés thermiques du sol.
De plus, le calcul devient trivial : j'ai besoin de 5000W, je gagne 50W/m, il me faut donc 100m de conduite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecce23f01]

Oui je suis entièrement d'accord avec toi, gatsu, on peut traiter le problème de cette façon.
Mais quand je prends l'équation de la chaleur :
ρCp δT/δt = λ div(gradT)
je ne voit pas comment l'appliquer dans ce cas (prendre une ou deux dimensions dans l'espace ? où introduire les propriétés du sol...)

C'est pourquoi je me suis rabattu sur la première méthode.

[gatsu]

Oui je suis entièrement d'accord avec toi, gatsu, on peut traiter le problème de cette façon.
Mais quand je prends l'équation de la chaleur :
ρCp δT/δt = λ div(gradT)
je ne voit pas comment l'appliquer dans ce cas (prendre une ou deux dimensions dans l'espace ? où introduire les propriétés du sol...)

C'est pourquoi je me suis rabattu sur la première méthode.

En fait, si je devais faire le calcul, j'imposerais la température du sol comme un thermostat et je modéliserais la paroi de la conduite par une perméabilité thermique linéique P de telle sorte que, sur une échelle de temps grande devant devant l'établissement du régime stationaire dans la paroi, le flux thermique net à au niveau d ela paroi séparant le sol de l'eau J soit égal à P(Teau-Tsol) à un signe près.
Ce flux thermique te donne une indication sur la chaleur fournie à l'eau par unité de temps. En utilisant la chaleur spécifique de l'eau, tu peux en déduire l'élévation de température correspondante.

Dans ce calcul grossier, la géométrie cylindrique n'intervient que dans le rapport entre le volume et la surface de la conduite (rapport entre flux thermique et chaleur spécifique volumique en gros). Il est supposé ici qu'on ne s'intéresse qu'à la température moyenne dans la conduite estimée par CpDelta T = Q et pas au profil exact dans la conduite.

Avec ça tu devrais pouvoir trouver l'ordre de grandeur de l'échelle de temps pour l'équlibration de la température de l'eau et comparer avec des tables numériques pour voir si ça fait sens.

[invite2313209787891133]

Bonjour

Le coefficient de transfert entre la conduite et le sol est très petit (typiquement de 3 à 8 W/m².°C) devant le transfert à travers la conduite, par conséquent il est absolument inutile de passer par le calcul d'un transfert en géométrie cylindrique.

Je me souvient avoir répondu à une question similaire, je vais essayer de retrouver.

Edit: http://forums.futura-sciences.com/ph...-enterree.html

[invitecce23f01]

Merci à tous pour vos réponses.
J'ai finalement opté pour une discrétisation du problème sous excel en prenant l'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques avec une symétrie de révolution.
J'ai modélisé ainsi la conduite, la paroi de la canalisation et une couche de sol "très grande face à la section de la conduite".
en faisant avancer les pas de temps jusqu'à avoir la température voulue j'obtiens le temps que le liquide doit passer dans la conduite pour s'échauffer et j'en déduit la longueur de conduite nécessaire.

[invite2313209787891133]

Donc si je comprend bien tu n'as pas pris le coefficient d'échange sol/conduite, donc ton résultat ne voudra rien dire du tout.

Ce que je trouve phénoménal sur ce forum c'est la propension qu'on certains à rendre complexe un problème très simple pour trouver un résultat totalement extravagant (et s'en féliciter).

[invitecce23f01]

En fait il s'agit d'un dispositif géothermique, donc l'échange avec le sol est la raison d'être du problème. J'ai bien pris en compte un échange entre le sol et la conduite.
Où trouves-tu des tables de valeurs de coefficients d'échanges propres aux sols ?
Si ça existe je suis preneur. Mais dans ce cas je veux justement évaluer l'efficacité du système en fonction de la nature du sol, je ne peux donc pas utiliser un coefficient fixé.
Pourquoi les résultats seraient-ils extravagants ?

[invite2313209787891133]

Je pensais que tu voulais estimer l'énergie apportée au système en négligeant le coefficient d'échange sol/conduite, mais si tu utilises le raisonnement inverse (calculer le coef à partir des performances) alors je n'ai rien dis

Juste un petit détail: Si l'épaisseur de la conduite est petite devant son diamètre il n'est pas vraiment utile de se placer en coordonnées cylindriques; si tu prend simplement la surface en contact tu obtiendra quasiment le même résultat.

[gatsu]

Juste un petit détail: Si l'épaisseur de la conduite est petite devant son diamètre il n'est pas vraiment utile de se placer en coordonnées cylindriques; si tu prend simplement la surface en contact tu obtiendra quasiment le même résultat.

Oui c'est ce que je mentionnais plus haut. En ce qui concerne le coefficient de transfert conduite/sol, il intervient où exactement ? Dans quelle formule ?

[invitecce23f01]

pour moi le coefficient de transfert se calcul comme ça :
le flux transmis à la conduite vaut un coefficient "h" * la surface * le differentiel de températures soit Φ = h.S.ΔT
Tout le problème est justement de trouver cette valeur de h.

[gatsu]

pour moi le coefficient de transfert se calcul comme ça :
le flux transmis à la conduite vaut un coefficient "h" * la surface * le differentiel de températures soit Φ = h.S.ΔT
Tout le problème est justement de trouver cette valeur de h.

Oui c'est ce que je pense aussi mais je me demandais si il y avait autre chose...ma terminologie sur le sujet n'est pas vraiment à jour.

[invitecce23f01]

en fait je viens de tomber sur un cours de transferts thermiques, dans lequel le calcul de ce fameux h est détaillé.
C'est peut-être ce que Dudulle voulais dire plus haut, ce coefficient caractérise les échanges convectifs entre un fluide et un solide.
Le sol n'a en fait rien à voir dedans, il se caractérise par les propriétés du fluide et de l'écoulement. Pour ceux que ça intéresse voici le lien :
http://www.mssmat.ecp.fr/IMG/pdf/coursEF.pdf