problème en conduction

[invite4a1a9329]

bonjour a tous
j'ai un probleme en conduction

j'ai un cylindre de longueur L section S sur un axe x
-avec 2 temperatures differentes aux extremites
-traversé par une intensité I repartie uniformement


on me demande de faire un bilan d'energie pour trouver l'equa diff de la temperature mais je ne sai pas comment faire donc je fait un bilan de puissance mais j'ai un dx qui me gene :
je fait la puissance entre x et x+dx
ca me donne la derivé de jq multiplié par Sdx plus RI² =0

je dois mal m'y prendre
quelqu'un pourrait il m'expliquer
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[invitedae5532a]

Salut !
Je ne sais pas exactement si l'équation différentielle est celle du régime stationnaire... Si tel n'est pas le cas :
En faisant le bilan d'énergie (interne) sur une tranche dx pendant un temps dt :
dU = (puissance électrique reçue + puissance thermique) dt
L'expression de ta puissance électrique correspond à la totalité de la barre, il faut donc que tu la multiplies par un terme en dx/L. Quant à l'expression de la puissance thermique, elle est bonne, au signe près. Il faut ensuite la transformer en utilisant une loi phénoménologique (je te laisse trouver laquelle ). Il faut aussi que tu relies dU à dT grâce à la capacité thermique et le tour est joué !
Par contre, si tu cherches l'équation du régime stationnaire, tu dis directement que dU = 0.
A la fin ton équation doit ressembler à une équation de diffusion avec terme de forçage.

[invite4a1a9329]

merci de ta reponse

j'ai oublié quelques precisions:
les parois sont adiabatiques
R c'est pour le cylindre entier
le systeme est en regime stationnaire
donc j'obtient

-lambda*d²T/dx²+RI²/L=0

est ce correcte car ca me parrait un peut leger pour une equa diff

[invitedae5532a]

Mmmh, il me semble qu'il manque un S et qu'un signe est faux, à vérifier... En tout cas, ne t'inquiètes pas pour la simplicité, tout n'est pas forcément compliqué en physique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a1a9329]

exacte pour le S j'ai oublié de le recopier
par contre pour le signe du Jq ca depend des vecteurs dS du system non ?est ce qu'un sens est imposé?

[invitedae5532a]

En fait le signe du Jq est bien faux, et il ne dépend pas, malgré les apparences, de ta convention de signe sur les dS. En effet, le but est de compter positivement l'énergie qui entre dans le système.
Si le dS est orienté vers l'intérieur du système, alors il faut mettre un signe + devant j.dS, pour que si les deux vecteurs sont dans le même sens, leur produit scalaire soit bien positif.
Considérons à présent le même j (vers l'intérieur) avec dS orienté vers l'extérieur du système cette fois ; alors -j.dS représente ce qui entre dans le système. En effet, les deux vecteurs sont alors dans des sens opposés, le produit scalaire est alors bégatif, et tu retrouves une quantité positive, ce qui est bien cohérent !
S'il t'arrive d'avoir des doutes, reviens toujours à la formule de continuité pour l'énergie (appelée aussi équation de conservation), la convention de signe n'apparaissant pas.
Si cette dernière remarque te semble obscure, fais-moi signe !

[invite4a1a9329]

donc si je met les dS vers l'exterieur c'est pour calculer la puissance qui sort et si je les met vers l'interieur c'est pour calculer celle qui rentre?

et oui ta derniere remarque me semble obscure

[invitedae5532a]

Bon, déjà désolé pour le temps de réponse
A propos de l'équation de continuité :

Pour toute grandeur conservative extensive U, on peut écrire un bilan local du type : d(u)/dt + divJ_u = s,
où u est la grandeur volumique, J_u le vecteur courant volumique, et s un terme de création volumique par unité de temps de la grandeur en question. C'est ce qu'on appelle l'équation de continuité ou de conservation, car en fait tu peux la lire comme "augmentation+sortie = création". Intègre cette équation sur un volume quelconque en utilisant la formule d'Ostrogradsky pour t'en convaincre. Appliquons cette formule à ton cas, en prenant U énergie interne.

En l'absence de tout travail, ton jq coïncide avec mon J_u. A une dimension, divJ_u devient d(J_u)/dx. On est en régime stationnaire, donc du/dt = 0. Le terme de "création" est quant à lui RI^2/(LS). En effet, le signe + est là pour dire que le système gagne de l'énergie (fournie par l'utilisateur qui a branché le courant), et le terme LS est là pour donner une puissance volumique. En utilisant la loi de Fourier, on obtient bien le résultat voulu, sans se prendre la tête avec les conventions de signe...