Écoulement dans un récipient cylindrique

[invite3b50103a]

Bonjour a tous.

Je dois préparer un exercice pour lundi et je sèche sur une question, je vous pose l'énoncé :

On représente sur la figure ci-jointe un récipient cylindrique de génératrice verticale contenant un fluide parfait de masse volumique incompressible. On note R son rayon et S sa section d'ouverture. La hauteur initiale du liquide est H. Au fond se trouve un coude a 90° de section s fermée par un robinet. Ce coude se trouve à une hauteur h sous la base du cylindre.

1) On ouvre le robinet. La pression du fluide à la sortie du robinet vaut la pression P0. Calculer la vitesse v du liquide au début de l'écoulement à la sortie du coude en admettant que l'on obtient immédiatement le régime permanent.

2) Établir l'expression du débit volumique, et du débit massique initiaux de vidange.

3) Quelle est la durée T de la vidange du récipient cylindrique, en admettant l'hypothèse du régime quasi permanent à chaque instant ?

4) Calculer la force F qu'exerce le liquide sur le coude à l'ouverture du robinet

Pour la 1) j'applique Bernoulli et je trouve :



Pour la 2) pour le debit volumique j'ai multiplié ma vitesse par la section .
Pour le debit massqiue j'ai multiplié mon débit volumique par .

Par contre pour la 3) je sèche, une idée ?

J’essaierais de mettre une image de la figure
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Quel est le rapport entre la vitesse de l'eau en sortie et la vitesse de descente de niveau d'eau dans le cylindre ?
Cette vitesse de descente est aussi dH/dt.
Donc, vous avec une équation différentielle qui relie H au temps. "Yaka" intégrer.
Au revoir.

[invite3b50103a]

Si j'ai bien compris, on a aussi :

, mais pour le mettre sous la forme d'une equadiff je vois pas du tout, car la racine pose problème et je ne peux pas non plus séparer les variables
Je vais ressayer, merci en tout cas !

[invite3b50103a]

Donc en posant , j'arrive a intégrer facilement et j'obtient :



Cela voudrait dire que T diminue quand H augmente, ce qui n'est pas logique car plus le réservoir est rempli et plus il faudrait de temps pour le vider, Bon aller je détail mes calculs :

En posant , j'obtient alors :



D'ou

Puis j'intègre en et a gauche et entre t=T et t=0 et j'obtiens la relation écrite plus haut, quelqu'un pourrait me dire ou je me suis trompé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Il faut que vous intégriez entre H et 0 et non le contraire et t entre 0 et T.
Au revoir.

[invite3b50103a]

En fait c'est ce que j'ai fait je me suis trompé dans ce que j'ai dis auparavant. J'ai intégré comme vous l'aviez dit et je tombe sur le résultat que j'ai énoncé plus haut. Donc je suis toujours bloqué

Un truc qui me tracasse aussi c'est que en faisant un autre changement de variable , je ne tombe pas sur le meme résultat ..

[invite6dffde4c]

Re.
Vous avez raison, l'erreur ne vient pas de là, mais de l'équation de départ:



Il faut le signe moins, car quand la vitesse de sortie de l'eau est positive, H diminue.
A+

[invite3b50103a]

Ah oui ça doit être cela, en tout cas ma formule devient cohérente ! Merci beaucoup

[invite3b50103a]

Pour la question 4) j'ai dit que la force qu'exerce le fluide sur le coude était la force de pression qui exerce sur le coude de section s F=P*s

Grace a Bernoulli je calcule la pression au niveau du coude et j'en déduis alors la force correspondante, cela vous semble correct ?

[invite6dffde4c]

Re.
Peut-être que cela donne le bon résultat, mais je le ferais en utilisant le changement de moment linéaire:
F.t = m.v
F = v (m/t)
La force de recul est le débit par la vitesse.
A+

[invite3b50103a]

Je ne connais pas cette formule donc je ne pense pas que je puisse l'appliquée.

En utilsant Bernoulli j'obtient :



Trouvez vous la même chose avec votre formule ? Je vais essayer de l'appliquer aussi

[invite6dffde4c]

Re.
Votre formule me "déplait".
Je ne vois pas ni le signe moins ni la raison de l'apparition de Po.
Si je transforme ma formule pour me rapprocher de Bernoulli j'obtiens
F = alpha.s.2.g.(H+h)
A+

[invite3b50103a]

Oui j'obtient ca aussi en appliquant votre formule.

Pour mon expression j'ai appliqué Bernoulli entre un point au niveau de la surface du liquide et un point au niveau de l'entrée du coude :



et car j'ai choisi mon l'axe Oz pour que l'origine soit au niveau de la surface de liquide ( j'avais oublié de le précisé désolé )
J'ai alors :



Or

D'ou :

Et j'en déduis F

J'ai fais une erreur ?

[invite6dffde4c]

Re.
Vous oubliez que le coude subit la pression de l'eau (PB) d'un côté et la pression atmosphérique de l'autre. Il faut vous décider si vous travaillez en pression absolue ou relative.
Cela veut dire que dans les deux cas, la pression atmosphérique ne joue pas.

La formule que je vous ai donnée est garantie 100% pur Newton. Si on ne retrouve pas la même valeur avec Bernoulli, c'est Bernoulli qui est mal appliqué.
Et c'est le cas ici: dans votre formule où vous trouvez que PB et plus faible que PA
Continuez un peu plus loin vers la sortie: la pression devrait être la même car la hauteur reste constante, et quand vous sortez du tuyau, c'est quoi la pression: PB ou PA ?
A+

[invite3b50103a]

La question demande juste de déterminer la force qu'exerce le liquide à l'ouverture du robinet, donc il n'y a pas à considérer la pression atmosphérique ici non ?

4) Calculer la force F qu'exerce le liquide sur le coude à l'ouverture du robinet

Sinon pour répondre a votre question, la valeur de la pression en sortie c'est PA=P0, mais je ne comprend pas ce que vous voulez me faire comprendre ..

[invite6dffde4c]

La question demande juste de déterminer la force qu'exerce le liquide à l'ouverture du robinet, donc il n'y a pas à considérer la pression atmosphérique ici non ?

4) Calculer la force F qu'exerce le liquide sur le coude à l'ouverture du robinet

Sinon pour répondre a votre question, la valeur de la pression en sortie c'est PA=P0, mais je ne comprend pas ce que vous voulez me faire comprendre ..

Re.
Vous avez trouvé que PB était plus faible que PA. Mais si vous allez un peux plus loin vous retrouvez PA (= P0).

Appliquer Bernoulli à un tuyau ouvert ne donne pas toujours des bons résultats.
La pression que Bernoulli vous donne est la pression dynamique. Et elle est exercée sur les deux parois du tube. Donc le tube ne sent pas de force latérale.
S'il y a une force, c'est que la pression statique est plus élevée en B et qu'il n'y a pas de paroi en face.
C'est pour cela que je préfère utiliser Newton. Ce sont des valeurs sûres.
A+