Corde de piano

[NIiCcOoWw]

Bonjour a tous,

Dans le but de préparer les oraux qui approchent, mon prof de physique m'a donné un exercice à faire qu'il m'a annoncé assez compliqué. J'ai pu constaté rapidement qu'il ne m'avait pas menti. Je vous pose l'énoncé tel qu'il l'est écrit :

A l'origine des dates, une corde de piano de masse lineique et de longueur L, tendue le long de l'axe horizontal , est frappée par un petit marteau de largeur e très petit devant L entre les abscisses et . Ce coup de marteau communique aux points de la corde frappés une vitesse initiale transversale à partir de la position d'équilibre, et une vitesse nulle pour les autres points.

1) Donner l’équation de propagation que satisfont les petites élongations transversales le long de la corde. Cette dernière se trouvant fixée à ses deux extrémités, quelles sont les solutions de cette équation ? Ecrire la solution générale et définir le spectre du mouvement de la corde.

2) Compte tenu des conditions initiales, determiner les amplitudes des harmoniques presents dans le spectre du mouvement de la corde.

3)En admettant que le spectre d'intensité sonore est proportionnel à l'energie cinétique moyenne de la corde, montrer qu'il est proportionnel à .

Le début de la question 1) me semble faisable, c'est l’équation de D'alembert classique que l'on démontre dans le cours sur la corde vibrante c'est ça ?

Les solutions de l'equation si on fixe les deux extrémités sont des ondes stationnaires de la forme non ?

Pour ce qui est de la suite aucune idée, d'ailleurs le terme " spectre du mouvement " c'est la première fois que je le rencontre.

Quelqu'un pourrait m'aider ?
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[LPFR]

Bonjour.
Oui, c'est assez compliqué et surtout on ne sait quelles sont les approximations qu'il peut accepter.

Car déjà, ou départ, il y a une contradiction dans les conditions initiales. Vous ne pouvez avoir un point de la corde en mouvement avec une vitesse 'u' et le point contigu avec vitesse nulle. Une telle discontinuité est physiquement impossible.

Dans la réalité, le marteau communique un profil de vitesse "en cloche", sans discontinuité.

Cette impulsion en cloche va se propager dans les deux directions et se réfléchir aux extrémités en s'inversant de signe. Remarquez qu'ils se rejoignent au point symétrique de l'autre côté de la corde. Se croisent, et se rejoignent à nouveau on point de départ et ce processus se répète à l'infini, s'il n'y a pas d'atténuation.

Donc, au départ, le spectre est celui de la cloche et s'il n'y a pas d'atténuation, il n'y pas de raison que cela change.
Effectivement, nous savons, par expérience, qu'à long terme, seuls les harmoniques de la fondamentale subsisteront.

Mais j'avoue que je ne vois pas le processus physique qui atténue les autres fréquences préférentiellement. Où est donc passé leur énergie?
Au revoir.

[NIiCcOoWw]

Pourriez vous m'expliquer ce qu'est le spectre ?

[LPFR]

Bonjour.
L'explication correcte est un peu longue.
Je vous suggère de lire wikipedia.
Si vous avez des choses que vous ne comprenez pas, revenez poser des questions plus précises.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

La méthode de propagation d'Alembert est différente de la méthode par separation de variables!

L'idée sous-jacente de la première méthode est de considérer des ondes se propageant dans les deux sens de la corde.
A chaque fois, que l'onde atteint les limites de la corde, on ajoute une nouvelle onde se propageant dans le sens inverse pour simuler la réflexion de l'onde. C'est la technique des sources images.

La prise en compte des conditions initiales est aussi importante. En effet, suivant que tu considères un déplacement ou une vitesse initiale, le front de la perturbation sera différent.
Dans le premier cas, tu engendres deux perturbations identiques se propageant dans des directions opposées aux célérités -c et +c, avec une amplitude deux fois moindre que la perturbation initiale. Enfin les deux perturbations ne se déforment pas au cours de leurs propagation: caractéristique d'un milieu non dispersif.

Dans le cas d'une condition initiale en vitesse (ce qui est dzemandé dans cet exercice) , c'est la perturbation elle-même qui s'étend et qui change de forme,
mais avec toujours une vitesse de propagation de +ou-c.

[NIiCcOoWw]

La méthode de propagation d'Alembert est différente de la méthode par separation de variables!

L'idée sous-jacente de la première méthode est de considérer des ondes se propageant dans les deux sens de la corde.
A chaque fois, que l'onde atteint les limites de la corde, on ajoute une nouvelle onde se propageant dans le sens inverse pour simuler la réflexion de l'onde. C'est la technique des sources images.

La prise en compte des conditions initiales est aussi importante. En effet, suivant que tu considères un déplacement ou une vitesse initiale, le front de la perturbation sera différent.
Dans le premier cas, tu engendres deux perturbations identiques se propageant dans des directions opposées aux célérités -c et +c, avec une amplitude deux fois moindre que la perturbation initiale. Enfin les deux perturbations ne se déforment pas au cours de leurs propagation: caractéristique d'un milieu non dispersif.

Dans le cas d'une condition initiale en vitesse (ce qui est dzemandé dans cet exercice) , c'est la perturbation elle-même qui s'étend et qui change de forme,
mais avec toujours une vitesse de propagation de +ou-c.

D'accord je pense avoir saisi ça, mais pourriez m'expliquer alors la réponse à la question 1) ?

Merci LPFR ! Je vais allez voir ça de suite

[invitef17c7c8d]

L'équation de l'énergie cinétique , calculé à l'instant initial, est:
.

Compte tenu de la définition de u, on a donc

.


D'autre part, la vitesse initiale u peut s'exprimer en fonction des amplitudes modales



avec et

Bon, je te laisse finir le calcul...

[NIiCcOoWw]

Merci Lionelod pour tes explication mais je suis toujours bloqué à la question 2) et je ne me suis pas encore penché sur les questions suivantes.

Mon prof m'a conseillé de calculer les et de la serie de fourier du signal creneau d'amplitude u constante entre et . Ma fonction étant impaire les termes devant le cosinus est nul et il me reste le à calculer. Est ce le bon cheminement ? Ou il y a t-il autre chose à voir avant cela ? D'autant que l'énonce me demande de tenir compte des conditions initiales ...

[invite9f80122c]

D'autre part, la vitesse initiale u peut s'exprimer en fonction des amplitudes modales



avec et

Bon, je te laisse finir le calcul...

Je me demande si ce n'est pas en sinus plutôt, non ???

Tu appliques certaines conditions initiales et tu obtiens des valeurs pour les bn (ou an)

Je pense que par spectre il entend transformée de fourier du signal carré. Ensuite tu calcules les coefficients. Et par les conditions aux limites z(0)=0 et z(L) = 0 aux extrémités tu peux extraire des valeurs pour n ou wn.

L'énergie cinétique moyenne est donnée plus haut en prenant comme fonction : u e /L,
je pense qu'elle vaut : mu e² u² /2L
Tu multiplies tes coéfficients par n et éleve au carré et tu obtiens une amplitude proportionnelle à l'énergie cinétique indépendamment de n. Si tu réexprimes la masse comme m = mu L
tu devrais remarquer que les deux grandeurs sont proportionnelles et que les seuls paramètres sont la masse m et des constantes. L'amplitude des fréquences sonores est donc directement liée à l'énergie cinétique et variera en fonction de la masse, ou de la masse linéique de la corde.

[stefjm]

Bonjour à tous et en particulier à LPFR,

Mais j'avoue que je ne vois pas le processus physique qui atténue les autres fréquences préférentiellement. Où est donc passé leur énergie?

Transférée dans le fondamentale?
Comment? C'est vous le physicien...

(J'ai des idées en transposant le problème à de la commande de procédé.)

Cordialement.

[LPFR]

Bonjour à tous et en particulier à LPFR,

Transférée dans le fondamentale?
Comment? C'est vous le physicien...

(J'ai des idées en transposant le problème à de la commande de procédé.)

Cordialement.

Bonjour Stefjm.
J'ai continué à réfléchir au problème et je crois que j'ai fini par comprendre.
Dans un système linéaire l'énergie ne peut pas passer d'une fréquence à une autre. Et les cordes des instruments, surtout le clavecin et le piano, sont des systèmes linéaires.
Bien sur, il peut avoir des va-et-vient dans des systèmes couplés (comme dans les cordes doubles ou triples d'un piano, mais c'est du va-et-vient, et non du "va-et-ne-renvient-pas".
C'est à dire que quand vous pincez une corde, vous la lâchez avec une forme triangulaire et cette forme triangulaire va se répéter à la fréquence de la fondamentale (un tour complet de la corde).
Comme c'est répétitif, seuls les multiples de la fondamentale seront entendus. Du moins à long terme. C'est comme l'a dit Higgsdiscoverer, les multiples de la fondamentale dans l'enveloppe de la transformée de Fourier (soit le développement en série de Fourier). Et je pense que c'est cela que le problème original demande.

À court terme, on "entend" la transformée de Fourier du signal répétitif, mais uniquement dans la durée de l'écoute. C'est à dire, on commence par entendre la transformée de Fourier d'une seule période, puis de deux, 3, 4, et ainsi de suite. Des raies (en réalité des sinus cardinaux) apparaissent dans le spectre pour devenir infiniment fines à long terme.

Il n'empêche que l'énoncé originel est physiquement impossible pour les raisons que j'ai dites dans mon premier post.
Mais rien n'empêche de faire un problème de maths.

Cordialement.

[invitef17c7c8d]

Je me demande si ce n'est pas en sinus plutôt, non ???

Non, sinus pour le déplacement, cosinus pour la vitesse...

Tu appliques certaines conditions initiales et tu obtiens des valeurs pour les bn (ou an)

Oui, c'est ça.

Je pense que par spectre il entend transformée de fourier du signal carré. Ensuite tu calcules les coefficients. Et par les conditions aux limites z(0)=0 et z(L) = 0 aux extrémités tu peux extraire des valeurs pour n ou wn.

Par spectre, il entend la réponse vibratoire fréquentielle écrite comme une somme infinie de modes. Les Conditions Limites (CL) (et donc le fait d'avoir affaire à une structure finie) nous font dire que l'approche modale est la plus appropriée pour résoudre cet exo.

L'énergie cinétique moyenne est donnée plus haut en prenant comme fonction : u e /L,
je pense qu'elle vaut : mu e² u² /2L

Là je ne suis pas certain... Si ta corde est infinie, l'énergie injectée tend vers zéro! C'est pas physique non? Mais cela fait tellement longtemps que je n'ai pas fais ce type d'exo, que je ne suis plus très sur...

Tu multiplies tes coéfficients par n

n n'est pas le nombre de modes?

L'amplitude des fréquences sonores

Ne surtout jamais dire cela! Tu te discréditerais immédiatement auprès d'un jury!