démonstration principe de moindre action pour les champs ?

[Christian Arnaud]

Bonjour à tous

Après une incursion dans les réflexions spéculatives (cordes, susy etc...), revenons à des choses établies comme la QFT :

dans l'excellent ouvrage de Jean-Perre Derendinger "Théorie quantique des champs"( Presses polytechniques et universitaires romandes), je suis arrêté dès la page 3 :
" le principe de moindre action stipule que les champs physiques du système correspondent aux extrema de l'action S"

effectivement, ce principe est défini pour les particules et pour les champs, mais si Lagrange l'a démontré pour les sytèmes classiques, je n'ai rien trouvé concernant la démonstration pour les champs
Est-ce que quelqu'un aurait un lien ? merci

@+
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[invite58a61433]

Bonjour,

En fait le principe de moindre action est en général pris comme fondamental, c'est à dire qu'il ne se démontre pas et à partir de lui on démontre les lois de Newton etc... Il est équivalent de prendre les lois de Newton et de remontrer le principe de moindre action à partir de là.
Après que ce soit pour les champs ou des solides c'est exactement la même chose sauf que dans le cas des champs on a un nombre infini de degré de liberté.

Dans le cas de la théorie quantique des champs et de l'utilisation des méthodes fonctionelle le principe de moindre action peut facilement se voir comme "découlant" de la limite classique (au sens non quantique) de la théorie.

[Christian Arnaud]

En fait le principe de moindre action est en général pris comme fondamental, c'est à dire qu'il ne se démontre pas

Bonjour,

l'énoncé de Maupertuis a été démontré par Lagrange :http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_moindre_action
Pour les champs, je sais qu'on passe par une densité lagrangienne, mais ensuite, c'est ...le vide
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[invitef17c7c8d]

Bonjour,

l'énoncé de Maupertuis a été démontré par Lagrange :http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_moindre_action
Pour les champs, je sais qu'on passe par une densité lagrangienne, mais ensuite, c'est ...le vide
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Pour établir une similitude formelle entre d'une part pour un système mécanique et d'autre part pour les champs d'ondes, on pose .
On doit alors avoir.

Maintenant, alors que le Lagrangien pour un un système mécanique dépend de toutes les valeurs de et de leurs dérivées par rapport au temps, le Lagrangien est déterminée par les valeurs de et en tous les points de l'espace.
On doit donc considérer le point R de l'espace comme l'indice de la fonction d'onde.
On est donc en présence de deux sortes d'indices, un indice qui varie de façon discrète et un indice R qui varie de façon continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58a61433]

l'énoncé de Maupertuis a été démontré par Lagrange

Oui c'est ce que j'ai dit, peut-être pas assez clairement, soit tu acceptes le principe de moindre action comme fondamental et en découle Newton et ses conséquences, soit tu prends Newton (enfin plus indirectement le principe des puissances virtuelles) et tu démontres le principe de moindre action. C'est de toute façon circulaire et il faut se baser sur quelque chose de non démontré (normal on est en physique pas en maths). Honnêtement je trouve le principe de moindre action plus large et puissant car il s'applique très naturellement aux champs, tandis que les puissances virtuelles (qui lui aussi a simple valeur de principe, donc "non démontré")... Sans compter qu'il a une interprétation physique très naturelle dans le cadre des intégrales de chemin.

[Christian Arnaud]

Honnêtement je trouve le principe de moindre action plus large et puissant

oui, tout à fait d'accord l'intuition de Maupertuis (1744!) est des plus étonnantes

@+

[Christian Arnaud]

Maintenant, alors que le Lagrangien pour un un système mécanique dépend de toutes les valeurs de et de leurs dérivées par rapport au temps, le Lagrangien est déterminée par les valeurs de et en tous les points de l'espace.

bonjour lionelod et merci de ta réponse détaillée et du temps passé pour le Latex
ok pour le volume d'intégration l'ouvrage précité précise en effet que suivant les systèmes considérés l'intégration de la densité se fait sur un volume fini ou infini

j'ai maintenant ma réponse, et vous remercie tous les deux

[invite473b98a4]

Il y a une bonne page wiki sur le principe variationnel, ça fait longtemps que je me dis qu'il faut que j'y fasse un tour quand j'aurais le temps. La formulation lagrangienne a l'avantage de s'appliquer à tout ce qu'on connait, et c'est pour ça que les gens la considère comme fondamentale. Mais pourtant je me dis que ça n'est pas impossible que ce principe réunisse des choses diverses pour d'autres raison qu'un principe unificateur sur l'énergie. Je dirais que tout système entièrement déterminé, et donc physique au sens classique obéit à un principe variationnel car il existe forcément des contraintes pour le déterminer. le principe variationnel exhibe les contraintes. Ces contraintes s'expriment à un moment ou un autre par l'énergie, et donc on peut toutes les mettre dans la même équation et sous le même principe, rien ne dit que ces contraintes soient d'une "origine" identique, mais bon c'est de la philo là...

PS: en fait il existe des systèmes "sous déterminés", c'est à dire où plusieurs situations donnent le même état physique final, qui peuvent exhiber qu'il existe un choix de jauge.

[Christian Arnaud]

bonjour kalish, et content de te revoir dans une discussion

le principe variationnel exhibe les contraintes.

ça fait penser à une condition d'équilibre stable

ça fait un moment que ce principe m'intrigue j'avais à l'époque ouvert un fil http://forums.futura-sciences.com/ph...re-action.html
mais avec un succès très mitigé (seul skeptikos avait répondu)
en effet, j'avais été surpris de voir des ténors de la quantique(De broglie, Schrödinger, et même Feynman) citer ou reprendre Fermat et Maupertuis Maintenant, je comprends pourquoi
en revanche, Hilbert pour la RG, je ne savais pas du tout.
Et puis, inscrire les symétries dans l'action (i.e une symétrie est une transformation qui laisse l'action invariante) là, c'est la consécration.

@+

[invite473b98a4]

En fait c'est une consécration nécessaire puisque on sait que les lois de la physique sont invariantes sous certaines transformations, comme on cherche à ce que le principe de moindre action redonne ces mêmes lois il est indispensable que l'action respecte ces symétries, et donc qu'elle soit invariante sous ces symétries.

[Christian Arnaud]

En fait c'est une consécration nécessaire

oui, évidemment

Cependant, à l'action , aux densités lagrangiennes et aux symétries , je rajouterai le nom de Emmy Noether (théorème et courants) comme clé de voute de l'édifice QFT

@+