Moment d'inertie et période

[invitefd4d1cac]

Bonjour,

Je souhaiterai faire appel à vos lumières sur le calcul des périodes d'oscillation d'un oscillateur harmonique.

J'ai un système composé de 2 ressorts de raideur Kr passant par un axe ∆, lié au solide. En faisant osciller ce pendule assimilé à un pendule de torsion autour de l'axe ∆, il est normalement possible de déterminer le moment d’inertie du solide.
Je joins un schéma de mon montage à ce message.

Soit I le moment d'inertie recherché du solide. En négligeant les frottements, l'équation différentielle du mouvement s’écrit :
I + d²/dt²(Theta) + K_rTheta = 0

On obtient ainsi un oscillateur harmonique dont on mesure la période d'oscillation T :
T = 2*pi*racine(I/K)

Cette inertie I correspond à l’inertie du solide et du système de fixation. Nous avons donc I=I₁+I₀ avec I₁ inertie du solide recherché et I₀ l'inertie à vide.

C'est là que ça coince... Je suis censé arriver sur la formule suivante :
I=I₁+I₀=(T₁²+K_r)/(4*pi²)

Pourriez-vous m'aider à retrouver les étapes intermédiaires svp ?

Merci !
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous avez une faute de frappe dans votre formule de départ (un '+' en trop):
Id²/dt²(Theta) + KrTheta = 0

Mais la formule que "vous devez trouver":
I=I₁+I₀=(T₁²+Kr)/(4*pi²)
est une horreur dimensionnellement.
C'est très heureux que vous ne l'ayez pas trouvée.
Au revoir.

[invitefd4d1cac]

Bonjour LPFR,

Autant pour moi pour le '+', j'ai effectivement fait une faute de frappe.

Quant à la solution "dimensionnellement" horrible à laquelle je cherche à arriver, j'ai bien remarqué le souci ! J'ai trouvé ça dans un document de mon entreprise et ne comprend pas d'où elle peut venir. Ne trouvant pas, je me suis permis de poser la question...

Merci

[invite6dffde4c]

Re.
J'ai regardé un peu pour trouver l'erreur dans la formule et, effectivement, elle doit être:
I=I₁+I₀=(T₁²K_r)/(4*pi²)
sans le signe '+' (encore!).
J'espère que vous trouverez sa démonstration immédiate.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd4d1cac]

Re bonjour,

J'arrive également à ce même résultat bien entendu. Je me demande comment une telle coquille a pu trainer aussi longtemps dans un document interne

Bonne journée