Vibrations - exam - poutre encastrée/libre - modes/fréquences propres - HELP !!

[zepeu]

Bonjour à tous et à toutes,

étant en école d'ingénieur de mécanique, j'ai un partiel à faire à la maison (oui, un partiel à la maison, c'est une longue histoire..) donné hier et à rendre mercredi.

Toute fois, j'aurais besoin d'un coup de pouce pour démarrer car je ne saisis pas certaines choses du cours...

Toutes les réponses sont dans le cours, seulement il me faut le développement allant derrière (j'en ai besoin aussi pour un aspect personnel, CF un de mes sujets). Comme bien souvent, il me faut juste un peu d'aide pour le démarrage, la suite découlera toute seule.

Pour résumer (sujet disponible en téléchargement ici : XXXXXXXXXXXXXXXXXX), on étudie les vibrations d'une règle sur le bord d'une table. on la maintient avec une main collée à la table, on la fais vibrer et on la recule pour réduire sa taille et changer le son.
En fin de compte, il s'agit d'une poutre en vibrations étant encastrée d'un coté et libre de l'autre.

on donne les rappels suivants (c'est la que ca bloque) :
XXXXXXXXXXXXXXXXXX

il nous faut les fréquences propres du modèle étudié...

le document http://laurent.champaney.free.fr/per...-Champaney.pdf donne bien la réponse a la page 3, mais je ne comprends pas comment il en arrive à l'équation (17)...
Je suppose qu'il part de l'expression des déformée modales en appliquant les conditions aux limites, mais je ne m'en sors pas...

je pense que mon soucis est un sérieux manque de bases en vibrations, quelqu'un pourrais-t-il me renseigner?

La flèche est la déformée du matériau, mais qu'est ce que sont ses dérivée premières, secondes et troisièmes? déplacement? vitesse? accélération?

a défaut d'écrire une réponse complète, si vous trouvez un cours pouvant expliquer tout ca, ca me sauverais un peu la vie... (j'ai déjà beaucoup farfouillé sur le net sans grand succès...)

en conclusions, je suis complètement perdu, je pense que ce que je viens d'écrire est loin d'être clair, mais je reste dans les environs en espérant qu'on me vienne ne aide et en continuant à chercher (j'abandonne pas si facilement)

Merci d'avance

zepeu
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[obi76]

Bonjour,

merci de mettre vos images ainsi que vos pdf en pièce jointe, pas sur un hébergeur de fichier externe (et qui plus est illégal).

Pour la modération,

[zepeu]

Ok, je saurais...

Imageshack illégal? ô.Ô
ok...

merci.

[zepeu]

un collegue de classe a fait le fichier en piece jointe.

a quoi correspondent A, B, C et D?

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Imageshack illégal? ô.Ô
ok...

Non, MU.

[invitef17c7c8d]

A et B sont les amplitudes des ondes propagatives.
C et D sont les amplitudes des ondes évanescentes.

Comme tu peux le voir, l'exo consiste à calculer les dérivés première, seconde et troisième du déplacement. Ces dérivés correspondent physiquement à la vitesse, le moment fléchissant et l'effort tranchant.

En encastrant une poutre, tu supposes que son déplacement et sa vitesse sont nulles en ce point.

En laissant libre une poutre, tu supposes que son moment fléchissant et son effort tranchant sont nuls en ce point.

[invitef17c7c8d]

Pardon, j'ai dis une grosse bêtise.
La dérivé première correspond à la rotation et non pas à la vitesse!

On peut aussi définir les deux autres conditions limites usuelles que sont les conditions d'appui et de guidage.

C.L. appui: Déplacement nul, Moment fléchissant nul
C.L. Guidage : Rotation nulle, Effort tranchant nul

[zepeu]

d'accord, merci, c'est déja un peu plus clair

par contre, donc, V et dV (dérivée de V) sont donc les équations pour un encastrement, et d²V et d^3V (dérivée troisieme de V) sont les équations pour une poutre libre...

Je me demande quand meme ce que valent d²V et d^3V pour un encastrmeent et, pour une poutre libre, que vallent V et dV? des valeurs à déterminer?

merci

zepeu

[invitef17c7c8d]

d'accord, merci, c'est déja un peu plus clair

par contre, donc, V et dV (dérivée de V) sont donc les équations pour un encastrement, et d²V et d^3V (dérivée troisieme de V) sont les équations pour une poutre libre...

Oui. signifie que le déplacement (transversal) en est nul.
signifie que la rotation en est nulle.

Pour les moments fléchissants et efforts tranchants, les équations sont en fait :
: Moment fléchissant nulen x0
: Effort tranchant nul en X0

Puisqu'il y a 0 à droite de l'équation, on s'affranchit du terme EI...

Je me demande quand meme ce que valent d²V et d^3V pour un encastrmeent et, pour une poutre libre, que vallent V et dV? des valeurs à déterminer?

Une fois que tu as déterminé tes 4 constantes (A,B, C, D) grâce aux conditions limites, tu n'as plus qu'à calculer les valeurs des déplacements, rotations, moments fléchissants et efforts tranchants aux points qui t'intéressent.

[zepeu]

ok, merci beaucoup, je suis au travail, je regarderais ca plus en détail ce soir.

merci

zepeu

[invitef17c7c8d]

Il est interessant de voir sur cet exercice comment les 4 quantités - déplacement, rotation, moment fléchissant et effort tranchant - sont reliées entre elles.
Pour mieux s'en rendre compte, il peut être utile de "penser" en terme de différence fini plutôt qu'en utilisant les dérivées.

En regardant le déplacement tranversal de 2 points très proches l'un de l'autre sur la poutre, on voit comment est définie la rotation, c'est en quelque sorte la "pente" entre ces deux points. Si les deux points ont le même déplacement, la rotation est donc nulle. C'est tipiquement le cas sur un ventre de vibration... Par contre sur un noeud de vibration, c'est l'inverse, la rotation est maximale...

Pour comprendre le moment fléchissant, c'est la même démarche en un peu plus compliquée...
On part donc de deux rotations en deux points toujours très proches l'un de l'autre. Le moment fléchissant est proportionel à la différence de deux rotations proches l'une de l'autre, mais aussi deux autre quantités : le module d'Young E et le moment d'inertie (celui de la section de la poutre située entre les deux points). En y réfléchéchissant un peu, c'est logique.
Au plus le module d'Young est élevé, au plus la poutre est rigide et au plus le moment fléchissant est important.
Au plus la section a un moment d'inertie élevé et au plus le moment fléchissant est important.

Pour finir, l'effort tranchant peut s'envisager comme la différence de deux moments fléchissants toujours en deux points proche l'un de l'autre ...

[zepeu]

Super, merci pour tout, ca m'a bien aidé

je posterais ce que j'ai fait ce soir ou demain (plutot demain je pense, ce soir j'aurais peu de temps à consacrer a quoi que ce soit.)

merci encore

zepeu