Aide sur les tenseurs et les notions de covariance et contravariance svp:(

[invitebe6e0521]

Bonjour,
J'étudie actuellement la relativité restreinte et je rencontre un problème concernant les tenseurs. En fait je lis le livre "Relativité restreinte des particules à l'astrophysique" et il est écrit en définition de tenseur:
"T:E*x...x E*x E x...x E-->R
(w1,...,wk,v1,...,vl) --->T(w1,...,wk,v1,...,vl)
Il est dit ensuite que T est un tenseur k fois contravariant et l fois covariant."
Or j'ai lu que l'espace dual E* est formé de vecteurs covariants et que l'espace E contient des vecteurs contravariants alors pourquoi il n'est pas plutôt écrit dans le livre k fois covariant (car l'espace dual est formé de covecteur) et l fois contravariant? Enfin j'ai beaucoup réfléchi et fait des recherches et je ne comprends pas alors je serai très reconnaissante si quelqu'un pouvait m'expliquer
Merci d'avance.
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[Amanuensis]

Bonjour,
J'étudie actuellement la relativité restreinte et je rencontre un problème concernant les tenseurs. En fait je lis le livre "Relativité restreinte des particules à l'astrophysique" et il est écrit en définition de tenseur:
"T:E*x...x E*x E x...x E-->R
(w1,...,wk,v1,...,vl) --->T(w1,...,wk,v1,...,vl)
Il est dit ensuite que T est un tenseur k fois contravariant et l fois covariant."
Or j'ai lu que l'espace dual E* est formé de vecteurs covariants et que l'espace E contient des vecteurs contravariants alors pourquoi il n'est pas plutôt écrit dans le livre k fois covariant (car l'espace dual est formé de covecteur) et l fois contravariant? Enfin j'ai beaucoup réfléchi et fait des recherches et je ne comprends pas alors je serai très reconnaissante si quelqu'un pouvait m'expliquer

T est quelque chose qui s'applique sur le produit des espaces, ce n'est pas un élément du produit des espaces.

Prenons le cas le plus simple, un tenseur 0 fois contravariant et 1 fois covariant. Si on applique la définition indiqué, il s'agit d'une application (linéaire)

T : E --> R

C'est donc une forme linéaire sur E, et donc bien un élément de E*, le dual de E, qui est, par définition l'ensemble des applications linéaire de E --> R (--> le corps de base, plus généralement).

Un tenseur 0 fois contravariant et 1 fois covariant est donc bien un vecteur covariant.

Le raisonnement se généralise à tous les cas.

Le point crucial est de bien distinguer le tenseur comme fonction et l'espace sur lequel il s'applique ; la dualité signifie que E* s'applique sur E (et réciproquement, via l'isomorphisme canonique entre E** et E en dimension finie).

[invitebe6e0521]

Il me semble avoir compris quelque chose mais je ne sais pas si c'est correct...
Si je reprends ce vous avez choisi comme exemple à savoir (0,1) on obtient T:E-->R et comme c'est une forme linéaire elle appartient à E* comme les covecteurs d'où covariance. Et si je prends (1,0) j'obtiens T:E*-->R et l'application T appartient alors à E, espace des vecteurs et on parle alors de contravariance. En fait ça serait le résultat de l'application qui expliquerait pourquoi c'est k fois contravariant et l fois covariant?

[Amanuensis]

En fait ça serait le résultat de l'application qui expliquerait pourquoi c'est k fois contravariant et l fois covariant?

C'est juste de la terminologie, on dit covariant pour les éléments du dual E*, et, vus comme applications linéaires, ce sont des applications s'appliquant sur l'espace contravariant (E).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe6e0521]

Merci c'est beaucoup plus clair