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Coefficients de Fresnel et coupure (au sens mathématique)



  1. #1
    coussin

    Coefficients de Fresnel et coupure (au sens mathématique)


    ------

    Salut à tous

    Je considère une interface vide-métal. L'interface est le plan (xy). La région z>0 est pleine de vide () caractérisé par un indice de réfraction égal à 1 quelque soit la fréquence. La région z<0 est un métal que je modèle par un (modèle de Drude, peu importe pour le cas qui m'intéresse en fait…)

    Sous ces conditions, les coefficients de Fresnel sont bien connus et s'écrivent, pour les 2 polarisations s et p:


    et (je pose c=1 ())
    Ça, c'est dans tous les bouquins mais ce qui suit, par contre, n'est pas discuté (d'après mes recherches). et sont définis via des racines carrées. On peut alors se poser la question de quelle coupure choisir pour ces racines carrées. Mon problème est que je calcule des valeurs différentes pour les coefficients de Fresnel selon la coupure que je choisis…

    Il se trouve que est soit réel soit imaginaire pur mais c'est parce que c'est du vide. , lui, est un nombre complexe quelconque. Choisir une coupure revient en fait à restreindre les racines carrées à tomber dans une certaine moitié du plan complexe .

    J'ai testé avec deux choix de coupures que j'ai trouvé dans différents articles :
    - coupure 1 : les racines carrées tombe dans le 1/2 plan complexe qui comprend le quadrant en haut à droite i.e.
    - coupure 2 : les racines carrées tombe dans le 1/2 plan complexe qui comprend le quadrant en bas à droite i.e.

    Maintenant, je teste et représente les coefficients de Fresnel pour ces deux choix de coupure. J'obtient la figure jointe. Que représente cette figure : à gauche et à droite (leurs modules plutôt). et sont fixés à des valeurs arbitraires et c'est la fréquence en abscisse. La ligne verticale est la ligne de lumière qui sépare le secteur évanescent (à gauche de cette ligne) du secteur propageant (à droite). Les courbes noires correspondent à la coupure 1, les courbes rouges à la coupure 2. résonne : c'est normal, c'est le plasmon qui se trouve, avec les valeurs que j'ai utilisé, tout près de la ligne de lumière. Pile sur la ligne de lumière, est nul et .

    Dans le secteur évanescent, les courbes noires et rouges sont confondues. Mais pas dans le secteur propageant. C'est donc qu'il y a une coupure qui est fausse. Des considérations physiques me font dire que ce sont les courbes noires qui sont correctes car reste inférieur à 1 (ce qui fait du sens puisque la polarisation s ne peut exciter aucun plasmon, ce coeff. doit, à mon avis, rester <1 partout).

    Voilà, ma question est donc comment déterminer a priori (et pas a posteriori) la coupure correcte pour les quantités et définies par des racines carrées de nombres complexe. Pourquoi les coefficients de Fresnel dépendent de ce choix de coupure ?

    Merci d'avance

    -----
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  2. #2
    GregNorg

    Re : Coefficients de Fresnel et coupure (au sens mathématique)

    Salut,

    Trés intéressant ta question. Je crois que le choix de la coupure dépend de considération sur les variation temporelles du champ incident et la causalité dans ton milieu. En prenant en compte ces contraintes sur le champ et la permiitvité (et perméabilité) dans le domaine temporel, et en fourier ou laplace transformant le tout, on devrait déboucher sur des conditions sur les grandeurs complexes? peut être que cela permet de choisir la bonne coupure pour tes vecteurs d´onde et par suite les bonnes valeurs des coéfficients de réflection.
    En tout cas, si tu trouves la réponse, cela m´intéresse

    Greg

  3. #3
    coussin

    Re : Coefficients de Fresnel et coupure (au sens mathématique)

    Citation Envoyé par GregNorg Voir le message
    En tout cas, si tu trouves la réponse, cela m´intéresse
    Je n'ai pas la réponse. En continuant mes expérimentations, je vois que seul le choix de ce qu'on appelle la branche principale (i.e. ) donne les correctes valeurs pour les coefficients de Fresnel. D'autres coupures mènent à des valeurs fausses pour ces coefficients…
    Mais cela reste phénoménologique. J'aurais bien aimé connaître la raison physique du fait que l'on doit choisir la branche principale pour ces vecteurs d'onde de manière à avoir des coefficients de réflexion corrects

    Faut peut-être déplacer ce post dans la section Mathématiques…

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