Bonsoir, je ne sais pas grand chose sur les lagrangiens à part qu'ils interviennent dans la définition de l'action S qui doit être extrémale. Je voudrais savoir, malgré mes faibles connaissances, comment je peux retrouver facilement qu'un lagrangien possible pour une particule dans un champ électromagnétique s'écrit :
Où A et phi sont les potentiels habituels.
Merci !
Bonsoir,
l'éléctromagnétisme est décrit par le 4-potentiel
le lagrangien dépend alors de A, de sa dérivée, chacun au plus au carré.
A^2 n'intervient pas car elle est incompatible avec l'invariance de jauge (cela revient à donner une masse au photon).
A intervient avec J et constitue le couplage aux sources (densité de charges e de courant)
la dérivée de A n'apparait pas à l'ordre 1 car on peut l'intégrer à l'ordre 2 (intégration par partie).
la dérivée de A au carré apparait avec le tenseur de faraday/electromagnétique et donne les equations constitutives du champ
pour avoir la dynamique de la particule il faut ajouter le lagrangien de la particule libre, gamma*m*c^2 (on travaille en relativiste)
Merci de ta réponse, Gémunu, je m'en souviendrai quand je serai un peu plus à l'aise avec le lagrangien. Mais ma question est beaucoup plus basique : je ne cherche pas à traiter du problème de manière relativiste ni même à m'intéresser à l'invariance de jauge (ça vient après dans mon livre). Juste à savoir comment on retrouve l'équation que j'ai mentionnée dans le cadre de la mécanique analytique. En fait, mon but est de comprendre la forme du hamiltonien pour le même problème dans le cas quantique, mais il faut apparemment passer par le lagrangien puis le principe de correspondance (ou une transformée de Legendre en gros).
Donc, j'aimerais savoir s'il y a un moyen simple de retrouver mon équation autrement, car je suis un peu trop perdu dans ta réponse. Ou bien, dis-moi, à partir de tes précisions, comment je suis censé écrire le lagrangien. Moi, ce que j'ai vu, c'est juste l'équation de Lagrange, la définition de l'impulsion généralisée, les équations canoniques de Hamilton-Jacobi et les crochets de Poisson pour faire le lien avec les commutateurs. Est-ce que tu n'exprimes plus du tout le lagrangien en fonction de x, p et t, mais en fonction des potentiels ? Et dans ce cas, comment tu fais ?
Dernière modification par DarK MaLaK ; 04/10/2011 à 21h18.
Pour traiter l'electromagnétisme de manière quantique, il faut faire appel au formalisme de la théorie des champs (d'abord classique, puis quantique) qui correspond à un nombre infini (continu) de degrées de liberté, contrairement à la mécanique analytique qui traite un nombre fini de paramètres. La première chose à faire serait de s'approprier ce formalisme, pour ensuite passer à la version quantique qui permet de traiter l'electromagnétisme.
Dans ce cadre les "x" deviennent les "A" effectivement.
D'ailleurs, l'electromagnétisme doit être traité dans un cadre relativiste : les équations de Maxwell ne sont pas invariantes par transformation de galilée, ce qui la rend incompatible avec l'expression classique de l'énergie cinétique.
Ok merci de ton aide. Je vais garder tout ça dans un coin de ma tête pour approfondir mes connaissances là-dessus plus tard. Malheureusement, je n'en ai pas le temps dans l'immédiat, donc j'essaie de faire un calcul et ce serait bien que tu me dises si à partir de ce dernier, je peux retrouver ma formule. C'est pour l'instant tout ce qui m'intéresse pour avancer, même si ce n'est pas parfaitement exact à cause de ce que tu as cité.
Comme j'obtiens une formule contenant un produit du potentiel vecteur par la vitesse comme dans le lagrangien recherché, je me demandais si à partir de ce calcul je pouvais le retrouver...
Tu y es presque,
il suffit de passer le terme en dA/dt à gauche et de voir que F=mdv/dt et tu devrais voir apparaitre l' equation de Lagrange avec le lagrangien que tu as mis plus haut.
Ok, ai-je le droit d'utiliser le fait que E=E(cinétique)+E(potentielle) avec les formules habituelles ? ça semble me donner le bon résultat mais je ne suis pas sûr de comprendre le principe du lagrangien du coup...
Or, j'ai trouvé que l'énergie s'exprimait comme :
Du coup, par identification, si je peux exprimer l'énergie comme 0,5 mv² + q phi, j'ai le bon résultat...
il te manque une dernière étape pour retomber sur euler lagrange. des petits indices :
Ah merci ! En fait, ton message m'a permis de me rendre compte de la forme que prenait l'équation d'Euler-Lagrange dans ce problème !
C'est bien ça ?
Parfait. C'est tout à fait ça.
